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| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, die alle offenen Teilmengen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] enthält. |
Meine Argumentation erscheint mir so verdächtig einfach. Deswegen wollte ich mal fragen, ob das so geht.
[mm] $\left(1\right)$ [/mm] Nach definition ist [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle offenen Mengen von [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] enthält. Weil [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, enthält sie auch die komplemente, also auch die abgeschlossenen Mengen. D.h. [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] ist eine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle abgeschlossenen Mengen enhält.
[mm] $\left(2\right)$ [/mm] Sei [mm] $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle abgeschlossenen Mengen enthält. Sei [mm] $O\subset\mathbb{R}$ [/mm] eine offene Menge [mm] $\Rightarrow$ $O^c$ [/mm] ist abgeschlossen [mm] $\Rightarrow$ $O^c\in\mathcal{A}$ [/mm] und [mm] $O^c,O\in\mathcal{A}$ $\Rightarrow$ $\mathcal{A}$ [/mm] enthält alle offenen Mengen [mm] $\Rightarrow$ $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\subset\mathcal{A}$. [/mm] Also ist [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die alle abgeschlossenen Mengen enthält.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Do 02.02.2017 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, die alle offenen Teilmengen von
> [mm]\mathbb{R}[/mm] enthält.
>
Wenn ich Deine Argumentation unten lese, kommt mir der Verdacht, dass zu zeigen ist (vermutlich hast Du Dich verschrieben):
Zeige, dass [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] die kleinste
[mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, die alle abgeschlossenen Teilmengen von
[mm]\mathbb{R}[/mm] enthält.
Wenn mein Verdacht richtig ist, so hast Du unten einen korrekten Beweis abgeliefert.
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> Meine Argumentation erscheint mir so verdächtig einfach.
> Deswegen wollte ich mal fragen, ob das so geht.
>
> [mm]\left(1\right)[/mm] Nach definition ist
> [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle offenen Mengen von [mm]\mathbb{R}[/mm]
> enthält. Weil [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, enthält sie auch die komplemente, also
> auch die abgeschlossenen Mengen. D.h.
> [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] ist eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra,
> die alle abgeschlossenen Mengen enhält.
>
> [mm]\left(2\right)[/mm] Sei
> [mm]\mathcal{A}\subset\mathcal{P}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle abgeschlossenen Mengen enthält.
> Sei [mm]O\subset\mathbb{R}[/mm] eine offene Menge [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]O^c[/mm]
> ist abgeschlossen [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]O^c\in\mathcal{A}[/mm] und
> [mm]O^c,O\in\mathcal{A}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\mathcal{A}[/mm] enthält alle
> offenen Mengen [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\subset\mathcal{A}[/mm]. Also
> ist [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die alle abgeschlossenen Mengen enthält.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 02.02.2017 | | Autor: | tobi91_nds |
Der Verdacht war richtig. Habe mich vertippt. Sorry. :D
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