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Sigma Algebra: Definition
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:50 Di 05/03/2019
Author: Mandy_90

Hallo :)

Ich hab mal eine Frage zur Definition einer Sigma Algebra. Die ersten zwei Bedingungen sind mir klar.
1. Omega muss in A enthalten sein und
2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
3. Die Vereinigung von den [mm] a_i [/mm] muss in A sein. Welche Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen Elementen aus A ?

Danke
Mandy_90

        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:56 Di 05/03/2019
Author: fred97


> Hallo :)
>  
> Ich hab mal eine Frage zur Definition einer Sigma Algebra.
> Die ersten zwei Bedingungen sind mir klar.
> 1. Omega muss in A enthalten sein und
>  2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
>  3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein. Welche
> Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> Elementen aus A ?

Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen [mm] $a_1,a_2,a_3,....$ [/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die Vereinigung [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] wieder zu A gehören.

Bemerkung: Ist A eine $ [mm] \sigma-$ [/mm] Algebra über [mm] \Omega, [/mm] so ist A eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] \Omega. [/mm] Die Elemente in A mit kleinen Buchstaben zu bezeichnen, ist keine besonders gute Idee.

>  
> Danke
> Mandy_90


Bezug
                
Bezug
Sigma Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:34 Mi 06/03/2019
Author: Mandy_90


>  >  2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
>  >  3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein. Welche
> > Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> > Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> > Elementen aus A ?
>  
> Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen
> [mm]a_1,a_2,a_3,....[/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die
> Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] wieder zu A
> gehören.

Also muss man quadi überprüfen, ob die Vereinigung der ersten beiden Mengen aus A wieder in A liegt, die der ersten und dritten, die der ersten zweiten und dritteb usw..  oder?
Warum steht dann da unendlich ?


Bezug
                        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:21 Mi 06/03/2019
Author: fred97


>
> >  >  2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A

>  >  >  3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein.
> Welche
> > > Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> > > Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> > > Elementen aus A ?
>  >  
> > Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen
> > [mm]a_1,a_2,a_3,....[/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die
> > Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] wieder zu A
> > gehören.
>  
> Also muss man quadi überprüfen, ob die Vereinigung der
> ersten beiden Mengen aus A wieder in A liegt, die der
> ersten und dritten, die der ersten zweiten und dritteb
> usw..  oder?

Nein !


> Warum steht dann da unendlich ?

Dir scheint nicht klar zu sein, wie die  Menge  [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm]  definiert ist.

So: [mm] \xi \in \bigcup_{i=1}^{\infty}a_i \gdw [/mm] es ex. ein i [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \xi \in a_i. [/mm]

>  


Bezug
                        
Bezug
Sigma Algebra: zur 3ten Eigentschaft
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:16 Do 09/05/2019
Author: kleinerPanda

Die dritte Eigenschaft drückt aus, wenn man Mengen aus einer
sigma algebra Vereinig verlässt man die Sigma Algebra nicht.

Die Sigma Algebra ist gerade so konstruiert, dass möglichst viele Mengenoperationen inerhalb der Sigma Algebra möglich sind.


das Komplement(nach definiton )
auch vereinigungen nach definition
Der Schnitte von 2 Mengen einer Sigma algebra ist wieder in der Sigma Algebra,
Auch die differenz von 2 Mengen einer Sigma Algebra bleibt in der Sigma Algebra.

noch ein Bsp zum prüfen der Dritten Eigenschaft
[mm] \Omega [/mm] = { 1 , 2, 3, 4}
[mm] \sigma [/mm] -Algebra:  A = { [mm] \emptyset [/mm] , {1,2} , {3,4} ,{1,2,3,4} }

dies ist eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra
1) [mm] \Omega [/mm] ist enthalten und 2) das Komplement
nun muss nach der 3) eigenschaft auch JEDE denkbar Vereinigung dieser Mengen wieder in [mm] \Omega [/mm] sein also:
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2} in A ?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {3,4} in A ?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2,3,4} in A ?
{1,2} [mm] \cup [/mm] {3,4} in A ?
...
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2}  [mm] \cup [/mm] {3,4} in A ?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2}  [mm] \cup [/mm]  {1,2,3,4} in  A?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {3,4} [mm] \cup [/mm]  {1,2,3,4} in A ? .... usw

schon in diesem Fall gibt es genung Fälle, sodass ich zu faul bin alle aufzuschreiben und das obwohl alles Endlich und
noch nicht mal abzählbar ist.

bsp 2:
Wenn ich also weiß A ist eine Sigma Algebra und enthält die Zahlen { {1}, {2}, {3},{4}, ... }

weiß ich automatisch, dass die Gerade Zahlen in A sind
ebenso die ungeraden.  

also {2},{4},{6}... usw  in A  daraus folgt  [mm] \bigcup_{i=1}^{\inf} [/mm]   {2*i}   [= Menge der geraden Zahlen] ist in A


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