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Sigma Algebra: Definition
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Di 05.03.2019
Autor: Mandy_90

Hallo :)

Ich hab mal eine Frage zur Definition einer Sigma Algebra. Die ersten zwei Bedingungen sind mir klar.
1. Omega muss in A enthalten sein und
2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
3. Die Vereinigung von den [mm] a_i [/mm] muss in A sein. Welche Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen Elementen aus A ?

Danke
Mandy_90

        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Di 05.03.2019
Autor: fred97


> Hallo :)
>  
> Ich hab mal eine Frage zur Definition einer Sigma Algebra.
> Die ersten zwei Bedingungen sind mir klar.
> 1. Omega muss in A enthalten sein und
>  2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
>  3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein. Welche
> Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> Elementen aus A ?

Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen [mm] $a_1,a_2,a_3,....$ [/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die Vereinigung [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] wieder zu A gehören.

Bemerkung: Ist A eine $ [mm] \sigma-$ [/mm] Algebra über [mm] \Omega, [/mm] so ist A eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] \Omega. [/mm] Die Elemente in A mit kleinen Buchstaben zu bezeichnen, ist keine besonders gute Idee.

>  
> Danke
> Mandy_90


Bezug
                
Bezug
Sigma Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Mi 06.03.2019
Autor: Mandy_90


>  >  2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
>  >  3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein. Welche
> > Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> > Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> > Elementen aus A ?
>  
> Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen
> [mm]a_1,a_2,a_3,....[/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die
> Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] wieder zu A
> gehören.

Also muss man quadi überprüfen, ob die Vereinigung der ersten beiden Mengen aus A wieder in A liegt, die der ersten und dritten, die der ersten zweiten und dritteb usw..  oder?
Warum steht dann da unendlich ?


Bezug
                        
Bezug
Sigma Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mi 06.03.2019
Autor: fred97


>
> >  >  2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A

>  >  >  3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein.
> Welche
> > > Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> > > Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> > > Elementen aus A ?
>  >  
> > Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen
> > [mm]a_1,a_2,a_3,....[/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die
> > Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] wieder zu A
> > gehören.
>  
> Also muss man quadi überprüfen, ob die Vereinigung der
> ersten beiden Mengen aus A wieder in A liegt, die der
> ersten und dritten, die der ersten zweiten und dritteb
> usw..  oder?

Nein !


> Warum steht dann da unendlich ?

Dir scheint nicht klar zu sein, wie die  Menge  [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm]  definiert ist.

So: [mm] \xi \in \bigcup_{i=1}^{\infty}a_i \gdw [/mm] es ex. ein i [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \xi \in a_i. [/mm]

>  


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