Sigma Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Di 05.03.2019 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo :)
Ich hab mal eine Frage zur Definition einer Sigma Algebra. Die ersten zwei Bedingungen sind mir klar.
1. Omega muss in A enthalten sein und
2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
3. Die Vereinigung von den [mm] a_i [/mm] muss in A sein. Welche Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen Elementen aus A ?
Danke
Mandy_90
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Di 05.03.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :)
>
> Ich hab mal eine Frage zur Definition einer Sigma Algebra.
> Die ersten zwei Bedingungen sind mir klar.
> 1. Omega muss in A enthalten sein und
> 2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
> 3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein. Welche
> Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> Elementen aus A ?
Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen [mm] $a_1,a_2,a_3,....$ [/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die Vereinigung [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] wieder zu A gehören.
Bemerkung: Ist A eine $ [mm] \sigma-$ [/mm] Algebra über [mm] \Omega, [/mm] so ist A eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] \Omega. [/mm] Die Elemente in A mit kleinen Buchstaben zu bezeichnen, ist keine besonders gute Idee.
>
> Danke
> Mandy_90
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Mi 06.03.2019 | | Autor: | Mandy_90 |
> > 2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
> > 3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein. Welche
> > Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> > Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> > Elementen aus A ?
>
> Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen
> [mm]a_1,a_2,a_3,....[/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die
> Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] wieder zu A
> gehören.
Also muss man quadi überprüfen, ob die Vereinigung der ersten beiden Mengen aus A wieder in A liegt, die der ersten und dritten, die der ersten zweiten und dritteb usw.. oder?
Warum steht dann da unendlich ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mi 06.03.2019 | | Autor: | fred97 |
>
> > > 2. Ist a in A, so ist auch das Komplement von a in A
> > > 3. Die Vereinigung von den [mm]a_i[/mm] muss in A sein.
> Welche
> > > Vereinigung genau ? Von allen Elementen aus A die
> > > Vereinigung oder jede Vereinigung von beliebig vielen
> > > Elementen aus A ?
> >
> > Die 3. Bedingung sagt: sind abzählbar viele Mengen
> > [mm]a_1,a_2,a_3,....[/mm] aus A gegeben, so muss auch stets die
> > Vereinigung [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] wieder zu A
> > gehören.
>
> Also muss man quadi überprüfen, ob die Vereinigung der
> ersten beiden Mengen aus A wieder in A liegt, die der
> ersten und dritten, die der ersten zweiten und dritteb
> usw.. oder?
Nein !
> Warum steht dann da unendlich ?
Dir scheint nicht klar zu sein, wie die Menge [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}a_i[/mm] definiert ist.
So: [mm] \xi \in \bigcup_{i=1}^{\infty}a_i \gdw [/mm] es ex. ein i [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \xi \in a_i.
[/mm]
>
|
|
|
| |
|
Die dritte Eigenschaft drückt aus, wenn man Mengen aus einer
sigma algebra Vereinig verlässt man die Sigma Algebra nicht.
Die Sigma Algebra ist gerade so konstruiert, dass möglichst viele Mengenoperationen inerhalb der Sigma Algebra möglich sind.
das Komplement(nach definiton )
auch vereinigungen nach definition
Der Schnitte von 2 Mengen einer Sigma algebra ist wieder in der Sigma Algebra,
Auch die differenz von 2 Mengen einer Sigma Algebra bleibt in der Sigma Algebra.
noch ein Bsp zum prüfen der Dritten Eigenschaft
[mm] \Omega [/mm] = { 1 , 2, 3, 4}
[mm] \sigma [/mm] -Algebra: A = { [mm] \emptyset [/mm] , {1,2} , {3,4} ,{1,2,3,4} }
dies ist eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra
1) [mm] \Omega [/mm] ist enthalten und 2) das Komplement
nun muss nach der 3) eigenschaft auch JEDE denkbar Vereinigung dieser Mengen wieder in [mm] \Omega [/mm] sein also:
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2} in A ?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {3,4} in A ?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2,3,4} in A ?
{1,2} [mm] \cup [/mm] {3,4} in A ?
...
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2} [mm] \cup [/mm] {3,4} in A ?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {1,2} [mm] \cup [/mm] {1,2,3,4} in A?
[mm] \emptyset \cup [/mm] {3,4} [mm] \cup [/mm] {1,2,3,4} in A ? .... usw
schon in diesem Fall gibt es genung Fälle, sodass ich zu faul bin alle aufzuschreiben und das obwohl alles Endlich und
noch nicht mal abzählbar ist.
bsp 2:
Wenn ich also weiß A ist eine Sigma Algebra und enthält die Zahlen { {1}, {2}, {3},{4}, ... }
weiß ich automatisch, dass die Gerade Zahlen in A sind
ebenso die ungeraden.
also {2},{4},{6}... usw in A daraus folgt [mm] \bigcup_{i=1}^{\inf} [/mm] {2*i} [= Menge der geraden Zahlen] ist in A
|
|
|
|
