Sigma Algebra: Teilmenge auch? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Beweise oder widerlege:
Es seien [mm]\varepsilon_{1}[/mm] und [mm]\varepsilon_{2}[/mm] [mm] \sigma [/mm] -Algebren auf einer Menge [mm] \Omega, [/mm] und [mm]\varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2}[/mm] sei ebenfalls eine [mm] \sigma [/mm] -Algebra.
Dann gilt [mm] \varepsilon_{1} \subset \varepsilon_{2} [/mm] oder [mm] \varepsilon_{2} \subset \varepsilon_{1} [/mm] |
Hallo,
wir haben erst 1 Vorlesung Stochastik gehabt und mir fallen die Übungsaufgaben recht schwer. Ich hoffe mir kann jemand behilflich sein.
Also wir haben die [mm] \sigma [/mm] - Algebra definiert durch:
Sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge und [mm] \varepsilon \subset \mathcal{P}(\Omega).
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] heißt [mm] \sigma [/mm] - Algebra, falls
i) [mm] \emptyset, \Omega \in \varepsilon
[/mm]
ii) E [mm] \in \varepsilon \Rightarrow \Omega \backslash [/mm] E [mm] \in \varepsilon
[/mm]
iii) [mm]E_{1},E_{2},... \in \varepsilon[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm] E_{1} \cup E_{2} \cup ... \in \varepsilon[/mm]
Den einzigen Ansatz den ich habe sind die Borellmengen, da wir im Skript stehen haben:
"Ist [mm] \varepsilon_{0} \subset \mathcal{P}(\Omega), [/mm] so gibt es eine kleinstmögliche [mm] \sigma [/mm] - Algebra die [mm] \varepsilon_{0} [/mm] enthält. Sie wird mit [mm] \sigma(\varepsilon_{0}) [/mm] bezeichnet und heißt die von [mm] \varepsilon_{0} [/mm] erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra."
Wir haben die folgenden Informationen über [mm] \sigma(\varepsilon_{0}) [/mm] notiert:
i) [mm] \sigma(\varepsilon_{0}) [/mm] ist [mm] \sigma [/mm] - Algebra, [mm] \varepsilon_{0} \subset \sigma(\varepsilon_{0})
[/mm]
ii) Ist [mm] \varepsilon^{\sim} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra mit [mm] \varepsilon^{\sim} \supset \varepsilon_{0}, [/mm] so gilt [mm] \varepsilon^{\sim} \supset \sigma(\varepsilon_{0}) [/mm]
Hilft mir das irgendwie weiter? Ich bin echt ratlos.
Vielen Dank & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweise oder widerlege:
> Es seien [mm]\varepsilon_{1}[/mm] und [mm]\varepsilon_{2}[/mm] [mm]\sigma[/mm]
> -Algebren auf einer Menge [mm]\Omega,[/mm] und [mm]\varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2}[/mm]
> sei ebenfalls eine [mm]\sigma[/mm] -Algebra.
> Dann gilt [mm]\varepsilon_{1} \subset \varepsilon_{2}[/mm] oder
> [mm]\varepsilon_{2} \subset \varepsilon_{1}[/mm]
> Hallo,
> wir haben erst 1 Vorlesung Stochastik gehabt und mir
> fallen die Übungsaufgaben recht schwer. Ich hoffe mir kann
> jemand behilflich sein.
>
> Also wir haben die [mm]\sigma[/mm] - Algebra definiert durch:
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge und [mm]\varepsilon \subset \mathcal{P}(\Omega).[/mm]
>
> [mm]\varepsilon[/mm] heißt [mm]\sigma[/mm] - Algebra, falls
> i) [mm]\emptyset, \Omega \in \varepsilon[/mm]
> ii) E [mm]\in \varepsilon \Rightarrow \Omega \backslash[/mm]
> E [mm]\in \varepsilon[/mm]
> iii) [mm]E_{1},E_{2},... \in \varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]E_{1} \cup E_{2} \cup ... \in \varepsilon[/mm]
>
>
> Den einzigen Ansatz den ich habe sind die Borellmengen, da
> wir im Skript stehen haben:
> [...]
Das hat damit nicht viel zu tun.
Fang doch mal so an. Angenommen, [mm] $\sigma_2$ [/mm] ist keine Teilmenge von [mm] $\sigma_1$. [/mm] (Du musst also [mm] $\sigma_1 \subset \sigma_2$ [/mm] zeigen.)
Dann gibt es ein $A [mm] \in \sigma_2$, [/mm] welches nicht in [mm] $\sigma_1$ [/mm] liegt.
Sei jetzt $B [mm] \in \sigma_1$ [/mm] beliebig. Du musst zeigen, dass $B [mm] \in \sigma_2$ [/mm] liegt. Schau dir etwa die Mengen $A [mm] \cap [/mm] B$, $A [mm] \setminus [/mm] B$ und $B [mm] \setminus [/mm] A$ an. Diese liegen in [mm] $\sigma_1 \cup \sigma_2$ [/mm] (warum?).
Es reicht zu zeigen, dass $A [mm] \cap [/mm] B$ und $B [mm] \setminus [/mm] A$ in [mm] $\sigma_2$ [/mm] liegen: dann folgt $B = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \in \sigma_2$.
[/mm]
Nimm doch mal an, dass eine der Mengen nicht in [mm] $\sigma_2$ [/mm] liegt. Dann muss sie in [mm] $\sigma_1$ [/mm] liegen. Versuche damit etwas anzustellen. Etwa $A [mm] \in \sigma_1$ [/mm] zu zeigen; das waer ein Widerspruch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 25.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo,
Ich versuch mich mal an einen Beweis durch Kontraposition:
Ich will zeigen, dass wenn $ [mm] \varepsilon_{1} \subset \varepsilon_{2} [/mm] $ und $ [mm] \varepsilon_{2} \subset \varepsilon_{1} [/mm] $ nicht gilt, dann ist $ [mm] \varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2} [/mm] $ keine [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
Also suche ich [mm] E_{1} \in \varepsilon_{1} [/mm] das nicht in [mm] \varepsilon_{2} [/mm] liegt und ein [mm] E_{2} \in \varepsilon_{2} [/mm] dass nicht in [mm] \varepsilon_{1} [/mm] liegt.
Wenn $ [mm] \varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2} [/mm] $ eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra wär, dann müsste laut Definition auch [mm] E_{1} \cup E_{2} [/mm] in $ [mm] \varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2} [/mm] $ liegen.
Jetzt komm ich aber nicht so recht weiter, kann mir wer helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:35 Di 26.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich versuch mich mal an einen Beweis durch
> Kontraposition:
>
> Ich will zeigen, dass wenn [mm]\varepsilon_{1} \subset \varepsilon_{2}[/mm]
> und [mm]\varepsilon_{2} \subset \varepsilon_{1}[/mm] nicht gilt,
> dann ist [mm]\varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2}[/mm] keine [mm]\sigma[/mm]
> - Algebra.
>
> Also suche ich [mm]E_{1} \in \varepsilon_{1}[/mm] das nicht in
> [mm]\varepsilon_{2}[/mm] liegt und ein [mm]E_{2} \in \varepsilon_{2}[/mm]
> dass nicht in [mm]\varepsilon_{1}[/mm] liegt.
>
> Wenn [mm]\varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2}[/mm] eine [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra wär, dann müsste laut Definition auch [mm]E_{1} \cup E_{2}[/mm]
> in [mm]\varepsilon_{1} \cup \varepsilon_{2}[/mm] liegen.
>
>
> Jetzt komm ich aber nicht so recht weiter, kann mir wer
> helfen?
In [mm] $\sigma_1 \cup \sigma_2$ [/mm] liegen auch [mm] $E_1 \cap E_2$, $E_1 \setminus E_2$ [/mm] und [mm] $E_2 \setminus E_1$.
[/mm]
Mit allen vier Mengen zusammen solltest du etwas reissen koennen.
LG Felix
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