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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:52 Mi 16.07.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{1&i\\-i&0} \in M_{22}(\IC) [/mm] und sei [mm] \sigma : \IC^2 x \IC^2 \to \IC [/mm] definiert durch [mm] \sigma(x,y) = x^TA\overline{y} [/mm].
Bestimmen Sie den Index und die Signatur von [mm] \sigma. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich weiss, dass der Index 1 ist und die Signatur 0 ist, weiss aber nicht, wie man auf die Signatur dieser Abbildung kommt.
Danke, Susanne.
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> Sei [mm]A=\pmat{1&i\\-i&0} \in M_{22}(\IC)[/mm] und sei [mm]\sigma : \IC^2 x \IC^2 \to \IC[/mm]
> definiert durch [mm]\sigma(x,y) = x^TA\overline{y} [/mm].
> Bestimmen
> Sie den Index und die Signatur von [mm]\sigma.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo,
> ich weiss, dass der Index 1 ist und die Signatur 0 ist,
> weiss aber nicht, wie man auf die Signatur dieser Abbildung
> kommt.
Hallo,
wie habt Ihr Signatur und Index denn definiert?
In meinem Skript finde ich nur eine Definition für symmetrische Bilinearformen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Do 17.07.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
ich habe jetzt die Lösung gefunden:
Man wählt einen beliebigen Vektor - z.B. den 1. Standardbasisvektor.
Dann sucht man einen 2. der senkrecht auf dem 1.steht:
[mm] v_1^TA\overline{v_2} = 0 [/mm],
das ist ein LGS und liefert [mm] v_2.
[/mm]
Mit diesen beiden Vektoren muss man dann die Darstellungsmatrix der Abbildung bilden.
Diese ist eine Diagonalmatrix.
Die Anzahl der positiven Diagonaleinträge ist der Index, die Anzahl positive Einträge minus die Anzahl der negativen Einträge ist die Signatur.
Ganz vielen Dank für Deine Mühe !!!
Liebe Grüsse, Susanne.
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> Hallo Angela,
> ich habe jetzt die Lösung gefunden:
>
> Man wählt einen beliebigen Vektor - z.B. den 1.
> Standardbasisvektor.
> Dann sucht man einen 2. der senkrecht auf dem 1.steht:
> [mm]v_1^TA\overline{v_2} = 0 [/mm],
> das ist ein LGS und liefert
> [mm]v_2.[/mm]
> Mit diesen beiden Vektoren muss man dann die
> Darstellungsmatrix der Abbildung bilden.
> Diese ist eine Diagonalmatrix.
>
> Die Anzahl der positiven Diagonaleinträge ist der Index,
> die Anzahl positive Einträge minus die Anzahl der negativen
> Einträge ist die Signatur.
Hallo,
ja, aber da bekomme ich nicht den Index 1, Du?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Do 17.07.2008 | | Autor: | SusanneK |
Senkrecht auf [mm] e_1 [/mm] steht [mm] \vektor{i\\1} [/mm]
(Die rechte Seite bei der Sesquilinearform wird immer konjugiert)
Dann ergibt [mm] v_1^TAv_1 = 1,
\vektor{1&0}A\vektor{-i\\1}= 0,
\vektor{i&1}A\vektor{1\\0}= 0,
\vektor{1&1}A\vektor{-i\\1}=-1 [/mm]
d.h es ist eine 1 und eine -1 auf der Diagonalen
Liebe Gruesse, Susanne.
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