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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Lycka |
| Aufgabe | Im Stadtrat von Oberhausen wird der Ausbau der Stadtautobahn auf drei Spuren diskutiert. Ein Abgeordneter behauptet, dass mindestens 80% der Einwohner von Oberhausen für diesen Ausbau seien.
a) Um diese Behauptung zu testen, werden auf der Autobahnraststätte von Oberhausen 100 zufällig ausgewählte Autofahrer befragt. Wie muss die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn die Behauptung des Abgeordneten mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10% irrtümlich abgelehnt werden soll?
b) Bewerte den in Teilaufgabe a) durchgeführten Test hinsichtlich seiner Eignung, die Behauptung des Abgeordneten zu überprüfen. |
Ich war leider krank, als wir mit dem Thema begonnen haben, deswegen verstehe ich sogut wie gar nichts - allerdings bin ich der Meinung, es handelt sich bei Teilaufgabe a) um einen Fehler 1. Art? Weiter komme ich momentan nicht, denn mir fehlt schon der Ansatz für die Aufgabe.
Zu b) ist meiner Meinung nach zu sagen, dass der Test sich eher nicht zur Überprüfung der Aussage eignet. Schließlich fahren mehr als 100 Leute auf einer Autobahn, und viele davon sind Auswärtige, die nicht unbedingt beurteilen können, welche Auswirkungen ein Ausbau für die Stadt hätte. Es wäre also sinnvoller, bspw. eine Umfrage unter den Bewohnern der Stadt zu starten und dabei so viele von ihnen zu befragen wie möglich. Sehe ich das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Im Stadtrat von Oberhausen wird der Ausbau der
> Stadtautobahn auf drei Spuren diskutiert. Ein Abgeordneter
> behauptet, dass mindestens 80% der Einwohner von Oberhausen
> für diesen Ausbau seien.
>
> a) Um diese Behauptung zu testen, werden auf der
> Autobahnraststätte von Oberhausen 100 zufällig
> ausgewählte Autofahrer befragt. Wie muss die
> Entscheidungsregel mit einem möglichst großen
> Ablehnungsbereich lauten, wenn die Behauptung des
> Abgeordneten mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens
> 10% irrtümlich abgelehnt werden soll?
>
> b) Bewerte den in Teilaufgabe a) durchgeführten Test
> hinsichtlich seiner Eignung, die Behauptung des
> Abgeordneten zu überprüfen.
> Ich war leider krank, als wir mit dem Thema begonnen
> haben, deswegen verstehe ich sogut wie gar nichts -
> allerdings bin ich der Meinung, es handelt sich bei
> Teilaufgabe a) um einen Fehler 1. Art? Weiter komme ich
> momentan nicht, denn mir fehlt schon der Ansatz für die
> Aufgabe.
>
> Zu b) ist meiner Meinung nach zu sagen, dass der Test sich
> eher nicht zur Überprüfung der Aussage eignet.
> Schließlich fahren mehr als 100 Leute auf einer Autobahn,
> und viele davon sind Auswärtige, die nicht unbedingt
> beurteilen können, welche Auswirkungen ein Ausbau für die
> Stadt hätte. Es wäre also sinnvoller, bspw. eine Umfrage
> unter den Bewohnern der Stadt zu starten und dabei so viele
> von ihnen zu befragen wie möglich. Sehe ich das richtig?
Hallo Lycka,
deine Meinung, dass es darum geht, die Wahrscheinlichkeit
eines Fehlers 1.Art klein zu halten, ist richtig.
Kleine Anleitung zur Berechnung:
1.) Formuliere die Nullhypothese
2.) Wie muss die Entscheidungsregel qualitativ aussehen ?
( Nullhypothese ablehnen, falls ...... )
3.) Mach dir klar, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hier
benützt werden sollte (mit den nötigen Parametern)
4.) Nutze wenn möglich eine Skizze, um dir die Verteilung,
die Entscheidungsregel und den Bereich der (irrtümlichen)
Ablehnung anschaulich zu machen.
5.) Benütze eine Tabelle oder den Rechner, um das kritische
k zu ermitteln, also z.B.
$\ [mm] k_{krit}\ [/mm] =\ $ maximales k, für welches die Behauptung
gerade noch abgelehnt werden soll
zu b) :
Dein Argument ist richtig. Die Behauptung des Abgeordneten
bezog sich ja nur auf die Einwohner von Oberhausen, und auf
der Oberhausener Raststätte tummeln sich wohl vorwiegend
Auswärtige.
Die Umfrage bei der Autobahnraststätte zu machen, ist wohl
insbesondere auch deshalb eine ziemlich schlechte Idee, weil bei
einem derartigen Entscheid in einer Demokratie nicht nur die
Auto fahrenden, sondern eine repräsentative Auswahl der Einwohner
beteiligt werden sollten.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo Al-Chwarizmi,
erstmal vielen Dank für deine Antwort, die mir schon relativ gut weiter geholfen hat. Einige Dinge sind mir allerdings noch nicht so ganz klar.
Die Nullhypothese würde ich folgendermaßen aufstellen: Ho : p = 0,8
Zu einer Annahme der Behauptung kommt es, wenn die richtige Entscheidung > 1 - 0,10 ist. Das Ablehnen der Hypothese wäre eine Fehlentscheidung (ein Fehler 1. Art); hier ist gegeben: [mm] \le [/mm] 0,10.
Die Formel für die Annahme ist E : X [mm] \ge [/mm] k und für die Ablehnung muss X < k sein. Gesucht wird hier also k.
Dadurch kann ich folgende Rechnung aufstellen:
[mm] \alpha [/mm] = Po (Gegenereignis E) = Po (0 [mm] \le [/mm] X < k) = B (100;08;k) [mm] \le [/mm] 0,10
Das kann ich dann in der Tabelle zur Binomialverteilung nachschauen, bin mir aber nicht sicher, bei welchem Wert für k. Ich würde 85 sagen, jedoch eher "spontan", weil ich ehrlich gesagt keine Begründung dafür wüsste bzw. nicht sicher bin, was ich denn nun für k einsetzen muss.
Würde man nun also diese 85 nehmen, müssten 85 oder mehr der befragten Autofahrer für den Ausbau stimmen, damit die Behauptung des Abgeordneten zu mindestens 10% richtig wäre.
Wäre die Aufgabe damit korrekt gelöst?
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort, die mir schon
> relativ gut weiter geholfen hat. Einige Dinge sind mir
> allerdings noch nicht so ganz klar.
>
> Die Nullhypothese würde ich folgendermaßen aufstellen:
> Ho : p = 0,8
eigentlich ist [mm] H_0 [/mm] : [mm] p\ge0.8
[/mm]
für die Rechnung benützt man aber dann p=0.8 (als kleinstes
p , für welches [mm] H_0 [/mm] gerade noch erfüllt ist)
> Zu einer Annahme der Behauptung kommt es, wenn die richtige
> Entscheidung > 1 - 0,10 ist. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
das scheint mir unklar formuliert zu sein
> Das Ablehnen der Hypothese
(im Falle, dass tatsächlich [mm] p\ge0.8 [/mm] zutrifft !)
> wäre eine Fehlentscheidung (ein Fehler 1. Art); hier ist
> gegeben: [mm]\le[/mm] 0,10.
das müsste auch klarer formuliert sein:
wir streben an, dass P(Fehler 1.Art) [mm] \le [/mm] 0.10 sein soll.
> Die Formel für die Annahme ist E : X [mm]\ge[/mm] k und für die
> Ablehnung muss X < k sein. Gesucht wird hier also k.
dabei steht X für die Anzahl der Befragten (von insgesamt 100
Befragten), welche den Ausbau befürworten
> Dadurch kann ich folgende Rechnung aufstellen:
>
> [mm]\alpha[/mm] = Po (Gegenereignis E) = Po (0 [mm]\le[/mm] X < k)
> = B (100;08;k) [mm]\le[/mm] 0,10
was genau meinst du mit B(100;0,8;k) ?
(beachte das Komma, das ich noch eingefügt habe !)
> Das kann ich dann in der Tabelle zur Binomialverteilung
> nachschauen, bin mir aber nicht sicher, bei welchem Wert
> für k. Ich würde 85 sagen, jedoch eher "spontan", weil
> ich ehrlich gesagt keine Begründung dafür wüsste bzw.
> nicht sicher bin, was ich denn nun für k einsetzen muss.
Das stimmt nicht. Ich erhalte jedenfalls für k einen Wert,
der kleiner als 80 ist.
> Würde man nun also diese 85 nehmen, müssten 85 oder mehr
> der befragten Autofahrer für den Ausbau stimmen,
> damit die
> Behauptung des Abgeordneten zu mindestens 10% richtig
> wäre.
Letzteres ist so nicht richtig formuliert. Richtig ausgedrückt
könnte dies etwa so lauten:
Mit der Entscheidungsregel "Behauptung des Abgeordneten
akzeptieren, falls [mm] X\ge{k}" [/mm] (mit dem richtig bestimmten
Zahlenwert für k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Behauptung falsch ist, obwohl sie durch den Test "akzeptiert"
wurde, höchstens 10% .
LG Al-Chwarizmi
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:23 Sa 22.01.2011 | | Autor: | koepper |
Hallo Al,
> Mit der Entscheidungsregel "Behauptung des Abgeordneten
> akzeptieren, falls <img class="latex" _cke_realelement="true" [mm] alt="$X\ge{k}" [/mm] $="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$X%5Cge%7Bk%7D$"> (mit dem richtig bestimmten
> Zahlenwert für k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> die
> Behauptung falsch ist, obwohl sie durch den Test
> "akzeptiert"
> wurde, höchstens 10% .
das stimmt so nicht. Bei dieser Testkonstruktion kann man nur sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, die Hypothese des Abgeordneten zu Unrecht abzulehnen höchstens 10% beträgt. Das bedeutet: Der Test kann nur dann eine statistisch gesicherte Aussage liefern, wenn es gelingt, die Nullhypothese abzulehnen. Insbesondere ist der Test damit nicht geeignet, die Aussage des Abgeordneten zu beweisen, sondern allenfalls sie zu widerlegen.
Das beantwortet dann auch eine weitere Frage aus der Aufgabenstellung und war wohl eher die vom Aufgabensteller erwartete Antwort, obwohl das Argument der Repräsentativität der Befragtengruppe natürlich auch nicht von der Hand zu weisen ist.
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Hallo koepper,
klar, das war ein Irrtum (der wieder einmal bestätigt,
dass ich ein Mensch bin ...  )
Ich hätte anstatt:
Mit der Entscheidungsregel "Behauptung des Abgeordneten
akzeptieren, falls [mm] X\ge{k}" [/mm] (mit dem richtig bestimmten
Zahlenwert für k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Behauptung falsch ist, obwohl sie durch den Test "akzeptiert"
wurde, höchstens 10% .
schreiben sollen:
Mit der Entscheidungsregel "Behauptung des Abgeordneten
akzeptieren, falls [mm] X\ge{k}" [/mm] (mit dem richtig bestimmten
Zahlenwert für k) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die
Behauptung durch den Test "abgelehnt" wird, obwohl sie
eigentlich zutrifft, höchstens 10% .
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 23.01.2011 | | Autor: | Lycka |
Hallo Al,
ich habe leider keine Ahnung, welcher Wert für k herauskommen soll und wie ich diesen berechne, auch wenn ich es jetzt schon seit einiger Zeit versucht habe.
Vielleicht kannst du mir den Weg und das richtige Ergebnis verraten?
Ich wär dir wirklich dankbar.
EDIT:
Ist es richtig, dass k = 79 ist? Ich erhalte dann für B (100;0,8;79) einen Wert von 0,09457, was zwar kleiner als 0,10 ist, aber sehr nahe daran.
Setze ich allerdings k = 80, erhalte ich 0,09930. Dieser Wert ist - zumindest gerundet - größer als 0,10. Somit müsste k = 79 die richtige Lösung sein?
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> Hallo Al,
>
> ich habe leider keine Ahnung, welcher Wert für k
> herauskommen soll und wie ich diesen berechne, auch wenn
> ich es jetzt schon seit einiger Zeit versucht habe.
> Vielleicht kannst du mir den Weg und das richtige Ergebnis
> verraten?
> Ich wär dir wirklich dankbar.
>
> EDIT:
> Ist es richtig, dass k = 79 ist? Ich erhalte dann für B
> (100;0,8;79) einen Wert von 0,09457, was zwar kleiner als
> 0,10 ist, aber sehr nahe daran.
> Setze ich allerdings k = 80, erhalte ich 0,09930. Dieser
> Wert ist - zumindest gerundet - größer als 0,10.
das meinst du aber nicht im Ernst, oder ??
(du hast bestimmt auch noch k=81 ausprobiert und
mit Schrecken festgestellt, dass der entsprechende Wert
wieder kleiner ist als der für k=80 ... )
> Somit
> müsste k = 79 die richtige Lösung sein?
Nein, das stimmt nicht. Du hast die falsche Funktion bzw.
die falsche Tabelle benützt. Was du brauchst, ist die
kumulierte Binomialfunktion
$\ binomcdf(n,p,k)\ =\ [mm] \summe_{j=0}^{k}binompdf(n,p,j)$
[/mm]
und nicht die "normale" Binomialfunktion
$\ binompdf(n,p,k)\ =\ [mm] \pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}$
[/mm]
Eine Tabelle dazu (für n=100) gibt es zum Beispiel da:
http://www.doktus.de/dok/26462/binomialverteilung-n-100.html
Die richtige Lösung ist: k=74 , d.h. falls höchstens 74
von den insgesamt 100 Befragten den Ausbau befürworten,
soll man die Nullhypothese [mm] "p\ge0.8" [/mm] ablehnen. Die
W'keit eines Fehlers 1.Art ist dann 0.0875 und damit noch
kleiner als 10% . Für k=75 hätte man schon den Wert
0.1314 , der schon klar zu groß ist.
LG Al-Chw.
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