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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Di 02.01.2007 | | Autor: | tux |
| Aufgabe | | Die Definition des Signums von Permutationen heißt [Dateianhang nicht öffentlich] |
ich verstehe das die Notation des Produktzeichens dieser Definition nicht. Handelt es sich um ein geschachteltes Produkt [mm] \produkt_{j=2}^{n}\produkt_{i=1}^{n-1} [/mm] ?
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Guten Tag,
nein, das ist leider nicht richtig, sondern:
[mm] \prod_{i=1}^n\prod_{j=i+1}^frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}
[/mm]
Gruss,
Mathias
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Dieses Produkt zählt die Fehlstände. Wenn man die Zähler und die Nenner zusammenfaßt, so stehen bei beiden betragsmäßig dieselben Faktoren (wenn nämlich [mm]i-j[/mm] alle Differenzen durchläuft, so durchläuft auch [mm]\sigma(i) - \sigma(j)[/mm] alle Differenzen, eventuell verdreht - Fehlstand!). Diese kürzen sich weg, so daß der Wert des Produktes entweder 1 oder -1 ist. Am besten ein Beispiel:
[mm]\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
Das Produkt erstreckt sich nun über alle geordneten Indexpaare [mm]i < j[/mm] zwischen 1 und 4. Das sind
[mm]1,2; \ 1,3; \ 1,4; \ 2,3; \ 2,4; \ 3,4[/mm]
Man rechnet nun
[mm]\prod_{1 \leq i < j \leq 4}~\frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}[/mm]
[mm]= \frac{4-2}{1-2} \cdot \frac{4-1}{1-3} \cdot \frac{4-3}{1-4} \cdot \frac{2-1}{2-3} \cdot \frac{2-3}{2-4} \cdot \frac{1-3}{3-4} = \frac{(2-1)(1-3)(4-1)(2-3)(4-2)(4-3)}{(1-2)(1-3)(1-4)(2-3)(2-4)(3-4)} = 1[/mm]
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