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Simplex: Aufgabe
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 07:33 Fr 27/04/2018
Author: sancho1980

Aufgabe
Ein Bauer bezieht zwei Futtermittel für seine Kühe: Supergras zum Preis von 0.3 € und Turboheu zum Preis von 0.4 € pro Kilo. Beide enthalten pro Kilo die folgende Menge Nährstoffeinheiten (NE) von zwei Nährstoffen [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] :

[mm] \begin{tabular}{lcr} Nährstoff & Supergras 2 & Turboheu 3 \\ N_1 & 4 & 7 \\ N_2 & 7 & 5 \\ \end{tabular} [/mm]

Finden Sie den billigsten Futtermittel-Mix mit dem Simplex-Algorithmus, wenn eine Kuh 11 NE von [mm] N_1 [/mm] und 12 NE von [mm] N_2 [/mm] benötigt.

Hallo!

Wieder ein Simplex-Problem, mit dem ich nerven muss. Wieder komme ich nicht auf die Lösung im Buch: 1 kg Supergras und 1 kg Turboheu.
Ich sehe folgende Nebenbedingungen:

1) [mm] 4x_1 [/mm] + [mm] 7x_2 \ge [/mm] 11
1) [mm] 7x_1 [/mm] + [mm] 5x_2 \ge [/mm] 12

Die Formel, die es zu minimieren gilt:

f = [mm] 0,3x_1 [/mm] + [mm] 0,4x_2 [/mm]

Also maximiere:

f = [mm] -0,3x_1 [/mm] + [mm] -0,4x_2 [/mm]

Interessant hieran, dass auch der []Online-Simplex-Rechner das korrekte Ergebnis nicht liefert. Liegt das daran, dass der zulässige Bereich unbeschränkt ist oder sind meine Bedingungen bzw. Zielfunktion falsch?

Danke und Gruß

Martin

        
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Simplex: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:23 Fr 27/04/2018
Author: Diophant

Hallo,

> Interessant hieran, dass auch der
> []Online-Simplex-Rechner
> das korrekte Ergebnis nicht liefert. Liegt das daran, dass
> der zulässige Bereich unbeschränkt ist oder sind meine
> Bedingungen bzw. Zielfunktion falsch?

Weder noch: also sowohl deine Zielfunktion als auch deine Nebenbedingungen passen soweit. Letztere muss man aber noch umformen, wenn man das Problem händisch per Simplex-Algorithmus lösen möchte.

Es scheint, du hast den Online-Rechner falsch bedient. Ich habe es gerade ausprobiert, bei mir spuckt er die Lösung aus dem Buch aus.

Bist du dir sicher, dass du die Ungleichheiten bei den Nebenbedingungen bei der Eingabe umgestellt hst?


Gruß, Diophant

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Simplex: Frage (reagiert)
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 13:18 Sa 28/04/2018
Author: sancho1980

Was meinst du mit dem Umformen der Nebenbedingungen? Auf der []Seite kannst du für das Problem sowohl "Maximieren" als auch "Minimieren" eingeben. Und bei den Nebenbedingungen kannst du > oder < eingeben. Was kann man da falsch eingeben?

[Dateianhang nicht öffentlich]

attachments:
Attachment # 1 (Type: png) [nicht öffentlich]
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Simplex: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:52 Sa 28/04/2018
Author: Diophant

Hallo,

> Was meinst du mit dem Umformen der Nebenbedingungen?

Dass man ggf. mit (-1) durchmultipliziert, um eine Kleinergleich-Relation zu erhalten.

> Auf der
> []Seite
> kannst du für das Problem sowohl "Maximieren" als auch
> "Minimieren" eingeben. Und bei den Nebenbedingungen kannst
> du > oder < eingeben. Was kann man da falsch eingeben?

Na ja, deine obige Frage legt eben nahe, dass dir exakt letzteres passiert ist. Also dass du vergessen hast, die 'Größer'-Symbole bei den Nebenbedingungen zu setzen.

Denn ich habe es gerade nochmals ausprobiert: der Rechner liefert das korrekte Minimum

[mm] f_{min}=0.3*1+0.4*1=0.7 [/mm]

(Man kann das in diesem Fall ja auch graphisch lösen und zwar durch bloßes Kopfrechnen...).

Worum geht es dir eigentlich? Das Verfahren zu verstehen oder um die Bedienung des Online-Rechners bzw. die korrekte Interpretation seiner Resultate? Die Frage ist ernst gemeint: mir erschließt sich dein eigentliches Anliegen nicht wirklich.


Gruß, Diophant

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Simplex: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:12 Sa 28/04/2018
Author: sancho1980


> Worum geht es dir eigentlich? Das Verfahren zu verstehen
> oder um die Bedienung des Online-Rechners bzw. die korrekte
> Interpretation seiner Resultate? Die Frage ist ernst
> gemeint: mir erschließt sich dein eigentliches Anliegen
> nicht wirklich.

Das sind Übungsaufgaben aus meinem Buch, die ich abarbeite.
Ich denke eigentlich, dass ich das Verfahren prinzipiell beherrsche. Wirklich verstehen - naja so irgendwie.
Die Lösung vom letzten Problem hatte ich mittlerweile auch rausbekommen. Das Problem ist auch, dass man sich ständig verrechnet und dann komplett verwirrt ist. Schau dir bitte meine letzte Frage in diesem Thread nochmal an; da ist mittlerweile eine Grafik sichtbar.

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Simplex: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:12 Sa 28/04/2018
Author: sancho1980

Sorry, ich hatte im Simplex-Rechner Komma statt Punkt bei den Bruchzahlen eingegeben. Jetzt bekomme ich auch das korrekte Resultat ...

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Simplex: Frage (reagiert)
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 08:23 So 29/04/2018
Author: sancho1980

Wie gesagt bekomme ich beim Online-Simplex-Rechner ja jetzt auch das Richtige raus.
In der ersten Iteration wird hier [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_4 [/mm] = 0 angenommen und folglich die -7 als Pivot-Element gewählt. Das führt zum nächsten Tableau, wo für [mm] x_3 [/mm] ein negativer Wert steht.
Der Vorschrift in meinem Lehrbuch zufolge müsste jetzt von vorne begonnen und eine andere Startecke gewählt werden (also z.B. [mm] x_2 [/mm] = 3 = 0). Stattdessen wird in der Lösung einfach weitergemacht und nun -4.14285714286 als Pivotelement gewählt.

1) Das verstehe ich nicht.

Der Vorschrift in meinem Lehrbuch zufolge wird die Pivotspalte gewählt indem in der letzten Zeile (der Funktionszeile) für jedes x das kleinste Negative gesucht wird. Das ist dann die Pivotspalte. Das Pivotelement ermittel man dann, indem für jede Zeile der Quotien aus dem Element in der letzten Spalte und dem zugehörigen Element in der Pivotspalte berechnet wird. Der kleinste positive Wert ist dann das Pivot-Element.

2) Hier wird aber -4.14285714286 das Pivot-Element. Der Wert in dieser Spalte in der letzten Zeile ist 0.185714285714, also nicht negativ. Das verstehe ich auch nicht.

Ich hoffe jetzt ist zumindest mal für diese konkrete Aufgabe mein Problem ist.

Gruß und Danke,

Martin

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Simplex: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:39 So 29/04/2018
Author: Diophant

Hallo,

> Der Vorschrift in meinem Lehrbuch zufolge wird die
> Pivotspalte gewählt indem in der letzten Zeile (der
> Funktionszeile) für jedes x das kleinste Negative gesucht
> wird. Das ist dann die Pivotspalte. Das Pivotelement
> ermittel man dann, indem für jede Zeile der Quotien aus
> dem Element in der letzten Spalte und dem zugehörigen
> Element in der Pivotspalte berechnet wird. Der kleinste
> positive Wert ist dann das Pivot-Element.

>

> ...

>

> Ich hoffe jetzt ist zumindest mal für diese konkrete
> Aufgabe mein Problem ist.

Nein. Diese Vorgehensweise gilt so nur für die Maximierung. Ich habe dir schon in einem anderen Thread die Frage gestellt, wie du das mit dem Minimieren angehst:

a) durch Vorzeichenumkehr der Zielfunktion
b) durch Abänderung der Auswahl der Pivotspalte

Das bleibt in deiner obigen Problembeschreibung nach wie vor unklar.


Gruß, Diophant

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Simplex: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:34 So 29/04/2018
Author: sancho1980

Ich habe mir deine Erklärung im anderen Thread nochmal durchgelesen und bin jetzt nicht sicher, ob deine Interpretation beim Online-Rechner stimmt.
Tatsache ist, dass es beim Online-Rechner egal ist, ob du

1) die Funktion f = 0,3 [mm] x_1 [/mm] + 0,4 [mm] x_2 [/mm] minimieren
oder
2) die Funktion f = -0,3 [mm] x_1 [/mm] - 0,4 [mm] x_2 [/mm] maximieren

willst - das Ergebnis ist immer das Gleiche.

Es hat auch keinen Einfluss aufs Ergebnis, ob du eine Nebenbedingung in der Form

4 [mm] x_1 [/mm] + 7 [mm] x_2 \ge [/mm] 11

oder in der Form

- 4 [mm] x_1 [/mm] - 7 [mm] x_2 \le [/mm] -11

eingibst. Der Online-Rechner macht aus deinen Eingaben immer ein Maximierungsproblem und bringt die Nebenbedingungen (ggf durch Vorzeichenumkehr) auch immer in die Form

[mm] c_1 x_1 [/mm] + ... + [mm] c_n x_n \le [/mm] K

bevor das Simplex-Tableau erstellt wird. Es handelt sich also immer um [mm] \le-Ungleichungen. [/mm] Das deckt sich soweit auch mit der beschriebenen Vorgehensweise in meinem Buch. Insofern erschließt sich mir dieser Satz von dir nicht:

> Nein. Diese Vorgehensweise gilt so nur für die
> Maximierung.

Schließlich handelt es sich letzten Endes doch immer um ein Maximierungsproblem. Wenn also diese Vorgehensweise "so nur für die Maximierung gilt", müsste sie also immer gelten.
Ich weiß nicht, wie das jetzt rüberkommt. Aber irgendwie habe ich den Eindruck, dass wir Beide phänomenal aneinander vorbeireden. Ich versuche nur, die Übungsaufgaben aus meinem Buch stur nach der in selbigem Buch beschriebenen Vorgehensweise zu lösen. Und da ist nur von Maximierung die Rede, dass jedes Minimierungsproblem zu einem Maximierungsproblem gemacht werden kann.

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Simplex: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:00 Di 01/05/2018
Author: Diophant

Hallo,

> ...
> Schließlich handelt es sich letzten Endes doch immer um
> ein Maximierungsproblem. Wenn also diese Vorgehensweise "so
> nur für die Maximierung gilt", müsste sie also immer
> gelten.

Du bist ja ganz schön hartnäckig. Du kennst nur diese Vorgehensweise, es gibt aber noch eine andere, wie ich jetzt schon zum wiederholten Male schreibe. Und aus deinen wirklich wirr vorgetragenen Fragen konnte ich eben nicht wirklich ersehen, welche von beiden Methoden du verwenden möchtest.

Ich verliere hier jetzt aber nichts mehr darüber, das halte ich für sinnlos angesichts der Tatsache, dass es dich nicht zu interessieren scheint und dass du deine Aufgabe mittlerweile gelöst hast. Ich verfasse dies hier nur deshalb als Antwort, damit eben die Existenz einer zweiten Methode zur linearen Minimierung per Simplex-Verfahren nochmals klargestellt wird. (Wenn die Moderation das anders sieht: dann bitte in eine Mitteilung umwandeln).

Nachlesen kann man das bspw. in

Ohse, Dietrich: Mathematik für Wirtschaftwissenschftler, Band II.

> Ich weiß nicht, wie das jetzt rüberkommt. Aber irgendwie
> habe ich den Eindruck, dass wir Beide phänomenal
> aneinander vorbeireden.

Das nehme ich aber nicht auf meine Kappe, das geht jetzt schon ein wenig weit. Mache dir mal Gedanken darüber, wie man seine Anliegen so formuliert, dass sie klar ersichtlich werden!

>Ich versuche nur, die

> Übungsaufgaben aus meinem Buch stur nach der in selbigem
> Buch beschriebenen Vorgehensweise zu lösen.

Ok. Warum um alles in der Welt kommst du dann immer mit diesem Online-Rechner daher? Man kann doch nicht eine solche Methode aus irgendeinem Lehrbuch 'pauken' (offensichtlich ohne den Hintegrund wirklich zu kennen) und dann ernsthaft glauben, dass der erstbeste Online-Rechner das exakt genau so machen muss, wie du es offensichtlich aus !!!EINEM EINZIGEN!!! Lehrbuch kennst?

> Und da ist nur
> von Maximierung die Rede, dass jedes Minimierungsproblem zu
> einem Maximierungsproblem gemacht werden kann.

Siehe oben...


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Simplex: Lösung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:27 Di 01/05/2018
Author: sancho1980

Hallo

der Vollständigkeit halber will ich mal kurz posten, wie ich mittlerweile zu der Lösung gekommen bin. Es hat sich herausgestellt, dass ich mich doch nur immer wieder verrechnet hatte. Die Vorgehensweise, wie sie in meinem Buch beschrieben wird, ist genau so anwendbar:

Nachdem die Zielfunktion durch Vorzeichenumkehr zu maximieren ist und die Nebenbedingungen in [mm] \le-Bedingungen [/mm] umgeformt wurden, haben wir folgendes Tableau:

[mm] \pmat{ -4 & -7 & 1 & 0 & -11 \\ -7 & -5 & 0 & 1 & -12 \\ \bruch{3}{10} & \bruch{4}{10} & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Es wird die Startecke [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0 gewählt, somit ist die -4 das Pivotelement:


[mm] \pmat{ 1 & \bruch{7}{4} & -\bruch{1}{4} & 0 & \bruch{11}{4} \\ 0 & \bruch{29}{4} & -\bruch{7}{4} & 1 & \bruch{29}{4} \\ 0 & -\bruch{5}{40} & \bruch{3}{40} & 0 & -\bruch{33}{40} } [/mm]

Sowohl der Wert für [mm] x_1 (\bruch{11}{4}) [/mm] als auch der für [mm] x_4 (\bruch{29}{4}) [/mm] ist [mm] \ge [/mm] 0, somit ist die Startecke zulässig.

Sie ist jedoch noch nicht die Optimallösung, da in der letzten Zeile noch ein negativer Wert in einer Spalte steht, welche nicht die letzte Spalte ist. Daher ist das nächste Pivot-Element in der zweiten Spalte zu suchen. Da [mm] \bruch{\bruch{29}{4}}{\bruch{29}{4}} [/mm] < [mm] \bruch{\bruch{11}{4}}{\bruch{7}{4}}, [/mm]  ist das Pivotelement dasjenige in der zweiten Zeile. ALso Zeile 2, Spalte 2:  [mm] \bruch{29}{4} [/mm]

Damit landen wir bei:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & \bruch{39}{58} & -\bruch{14}{58} & 1 \\ 0 & 1 & -\bruch{7}{29} & \bruch{4}{29} & 1 \\ 0 & 0 & \bruch{26}{58} & \bruch{1}{58} & -0,7 } [/mm]

Die zu maximierende Funktion ist also bei [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 1 maximal, und sie hat dort den Maximalwert -0,7. Somit hat die ursprüngliche Funktion (auch bei [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = 1) das Minimum von 0,7.

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