Simplex Grafisch Lösen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Do 15.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
| Aufgabe | Aus Milch und Erdbeeren soll ein Drink gemixt werden, und zwar mindestens 10L, aber höchstens 35L. Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen und es darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im dem Drink enthalten sein.1L Milch kostet 0,70E, 1kg Erdbeeren 3E
Bei wie viel Liter Milch und Kg Erdbeeren ist das Getränk am billigsten? |
Das grafische lösen fehlt mir besonders schwer. Zu erst muss ich die Restriktionen aufstellen, dann nach [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_2[/mm] umstellen und zum Schluss die Zielfunktion nach [mm] y = m*x_x+t[/mm] umformen.
Bei den Restriktionen bin ich soweit gekommen:
[mm] x_1+x_2>10 [/mm]
[mm] x_1+x_2<35 [/mm]
[mm] x_1+6x_2>0 [/mm]
[mm] 0.7x_1+3x_2=min! [/mm]
ab hier muss ich dann umstellen und da weiß ich leider nicht weiter. Hoffentlich kann mir hier einer von euch helfen, mir sagen ob soweit alles stimmt und wie weiter.
Lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:![[]](/images/popup.gif)
Simplex Grafisch Lösen
|
|
| |
|
Hallo!
> Aus Milch und Erdbeeren soll ein Drink gemixt werden, und
> zwar mindestens 10L, aber höchstens 35L. Das Verhältnis
> von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen und es
> darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im dem Drink
> enthalten sein.1L Milch kostet 0,70E, 1kg Erdbeeren 3E
>
> Bei wie viel Liter Milch und Kg Erdbeeren ist das Getränk
> am billigsten?
> Das grafische lösen fehlt mir besonders schwer. Zu erst
> muss ich die Restriktionen aufstellen, dann nach [mm]x_1[/mm] oder
> [mm]x_2[/mm] umstellen und zum Schluss die Zielfunktion nach [mm]y = m*x_x+t[/mm]
> umformen.
>
> Bei den Restriktionen bin ich soweit gekommen:
> [mm]x_1+x_2>10[/mm]
"Mindestens" bedeutet, dass hier auch die 10 dazugehört.
> [mm]x_1+x_2<35[/mm]
s.o.
> [mm]x_1+6x_2>0[/mm]
Vielleicht könntest du hierzu nochmal einige Worte verlieren.
> [mm]0.7x_1+3x_2=min![/mm]
Das ist etwas ungünstig formuliert. Besser: Minimiere Zielfunktion [mm] K(x_{1},x_{2})=0,7x_{1}+3x_{2}
[/mm]
Streng genommen fehlen hier dann noch die sogenannten "Nichtnegativitätsbedingungen" [mm] x_{1},x_{2}\ge0
[/mm]
> ab hier muss ich dann umstellen und da weiß ich leider
> nicht weiter.
Betrachte zunächst die allgemeine Gestalt einer Geradengleichung
f(x)=mx+b
Fragen an dich (mit Skizze!):
1.) An welcher Stelle schneidet der Graph die f(x)-Achse?
2.) An welcher Stelle schneidet der Graph die x-Achse?
3.) Welche Steigung besitzt der Graph?
Schauen wir uns dann die erste Nebenbedingung
I) [mm] x_1+x_2\ge10
[/mm]
an. Um diese Restriktion nun graphisch veranschaulichen zu können, stellt man sie so um, dass sie die Gestalt der bereits oben angedeuteten Form der allgemeinen Geradengleichung annimmt. Für die erste Restriktion erhalten wir also die folgende Ungleichung:
[mm] x_{2}(x_{1})\ge-x_{1}+10
[/mm]
Und nun wieder die Fragen an dich (mit Skizze!):
1.) An welcher Stelle schneidet der Graph die f(x), bzw. die [mm] x_{2}(x_{1})-Achse?
[/mm]
2.) An welcher Stelle schneidet der Graph die [mm] x_{1}-Achse?
[/mm]
3.) Welche Steigung besitzt der Graph?
4.) Darüber hinaus ist es bei linearen Optimierungsproblemen hilfreich, die sogenannte "Wirkungsrichtung" einer Restriktion zu ermitteln. Kannst du damit etwas anfangen?
> Hoffentlich kann mir hier einer von euch
> helfen, mir sagen ob soweit alles stimmt und wie weiter.
>
> Lg
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:
> Simplex Grafisch Lösen
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 15.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
vielleicht hilft dir dieses Beispiel!?
Gruß
barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Do 15.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Moin,
das hilft nur teilweise weil hier drei Restriktionen habe und ich auf die dritte nicht komme :S Trotzdem Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Do 15.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Also,
ich habe das alles mal in einen Graphenzeichner eingegeben.
Die Restriktionen sind:
[mm]x_1\+\x_2\ge10[/mm]
daraus folgt
$ [mm] x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+10 [/mm] $
dann
$ [mm] x_1+x_2\le35 [/mm] $
daraus folgt
$ [mm] x_{2}(x_{1})\ge-x_{1}+35 [/mm] $
dann
$ [mm] x_1+6x_2\ge0 [/mm] $
"Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen und es darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im dem Drink enthalten sein."
Oder muss das sorum?
$ [mm] 6x_1+2x_2\ge0 [/mm] $
Dann
$ [mm] K(x_{1},x_{2})=0,7x_{1}+3x_{2} [/mm] $
daraus folgt
$ [mm] x_{1}=-\bruch{7}{30}x_{2} [/mm] $ und $ [mm] x_{2}=-\bruch{30}{7}x_{1} [/mm] $
Das jetzt mal im Graphen dargestellt:
Graph
Es fehlt halt noch die eine Restriktion.
Darüber hinaus ist es bei linearen Optimierungsproblemen hilfreich, die sogenannte "Wirkungsrichtung" einer Restriktion zu ermitteln. Kannst du damit etwas anfangen?
Damit kann ich auch leider nichts anfangen.
|
|
|
| |
|
> Also,
>
> ich habe das alles mal in einen Graphenzeichner eingegeben.
Ich würde dir dringend empfehlen, dass Ganze selbständig auf einem Blatt Papier zu zeichnen, solange du dabei noch unsicher bist.
> Die Restriktionen sind:
>
> [mm]x_1\+\x_2\ge10[/mm]
>
> daraus folgt
>
> [mm]x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+10[/mm]
>
> dann
>
> [mm]x_1+x_2\le35[/mm]
>
> daraus folgt
>
> [mm]x_{2}(x_{1})\ge-x_{1}+35[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast du vermutlich einfach den vorherigen Ausdruck hineinkopiert. Die Umstellung ist jedenfalls falsch.
> dann
>
> [mm]x_1+6x_2\ge0[/mm]
>
> "Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2
> betragen und es darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im
> dem Drink enthalten sein."
>
> Oder muss das sorum?
>
> [mm]6x_1+2x_2\ge0[/mm]
Bitte führe hier doch mal deine Gedankengänge in einzelnen Teilschritten vor. Durch welche Überlegungen gelangst du auf die von dir vorgeschlagene Restriktion?
> Dann
>
> [mm]K(x_{1},x_{2})=0,7x_{1}+3x_{2}[/mm]
>
> daraus folgt
>
> [mm]x_{1}=-\bruch{7}{30}x_{2}[/mm] und [mm]x_{2}=-\bruch{30}{7}x_{1}[/mm]
Hier hast du die Kostenfunktion vermutlich zu K=0 gesetzt. Prinzipiell ist das möglich, denn um eine Iso-Kostenlinie (eine Linie gleicher Kosten) zu zeichnen, kannst du K mit einer beliebigen Zahl gleichsetzen. Für den Fall K=0 hättest du dann aber in beiden Fällen falsch umgestellt. Beachte außerdem, dass wir nur an der Gestalt [mm] x_{2}(x_{1})=... [/mm] interessiert sind.
> Das jetzt mal im Graphen dargestellt:
Selber zeichnen! Wo ignorierst du den Großteil meines erstens Posts? Du kannst mir ruhig glauben, dass es dir zur Lösung dieser Aufgabe ungemein hilft, wenn du lineare Funktionen zeichnen kannst.
> Graph
>
> Es fehlt halt noch die eine Restriktion.
>
> Darüber hinaus ist es bei linearen Optimierungsproblemen
> hilfreich, die sogenannte "Wirkungsrichtung" einer
> Restriktion zu ermitteln. Kannst du damit etwas anfangen?
>
> Damit kann ich auch leider nichts anfangen.
Setze [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] in alle Nebenbedingungen ein und überprüfe die Gültigkeit der jeweiligen Ungleichungen. Es sind dann zwei Fälle zu unterscheiden:
1.) Wenn die Bedingung erfüllt ist, so wirkt die betrachtete Nebenbedingung in Richtung Ursprung des Koordinatensystems.
2.) Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, so wirkt die betrachtete Nebenbedingung in die entgegengesetzte Richtung.
Beispiel: Nebenbedingung [mm] x_{1}+x_{2}\le5
[/mm]
Setze [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] in die Nebenbedingung ein. Man erhält dann [mm] 0+0\le5
[/mm]
Diese Ungleichung ist also erfüllt, sodass die Beispielbedingung in Richtung Urpsrung wirken würde. Man kennzeichnet die Wirkungsrichtung einer Nebenbedingung mit einem kleinen Pfeil, den man an die eingezeichnete Nebenbedingung setzt. Die eingezeichneten Wirkungsrichtungen zeigen dir dann am Ende den zulässigen Lösungsbereich.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Also ich habe das alles selber versucht schon seit tagen, auf Papier, auszurechnen und zu zeichnen! Leider fehlen mir die technischen Mittel das online zu stellen deswegen habe ich das mit dem Graphenzeichner gemacht.
Ich bin leider bei dem Thema in Mathe nicht sehr versiert.
Hier hast du vermutlich einfach den vorherigen Ausdruck hineinkopiert. Die Umstellung ist jedenfalls falsch
Nein das habe ich nicht kopiert sondern hatte im Hinterkopf das wenn man etwas bei einer größer/kleiner/gleich Restriktion umstellt sich das Zeichen ändert. Sorry wenn ich mich da geirrt habe.
Bitte führe hier doch mal deine Gedankengänge in einzelnen Teilschritten vor. Durch welche Überlegungen gelangst du auf die von dir vorgeschlagene Restriktion?
Ok also folgende Überlegung meiner seits -> erst das verhältnis muss ein 1:2 sein also $ [mm] x_1 [/mm] : [mm] 2x_2 [/mm] $ dann darf [mm] $x_1$ [/mm] nicht größer als das dreifache von [mm] $x_2 [/mm] sein$. So müsste das [mm] $3x_1:2x_2$ [/mm] sein. Ach warte mal musste das dann nicht [mm] $3x_1<2x_2$ [/mm] sein?
Hier hast du die Kostenfunktion vermutlich zu K=0 gesetzt. Prinzipiell ist das möglich, denn um eine Iso-Kostenlinie (eine Linie gleicher Kosten) zu zeichnen, kannst du K mit einer beliebigen Zahl gleichsetzen. Für den Fall K=0 hättest du dann aber in beiden Fällen falsch umgestellt. Beachte außerdem, dass wir nur an der Gestalt $ [mm] x_{2}(x_{1})=... [/mm] $ interessiert sind.
Ok hab darüber nach gedacht ich näme $K=1$ . Dann wäre [mm] $(x_1;x_2)= \bruch{1}{3}$ [/mm] Oder kannst du mir das umstellen erklären wie das geht? Bin da echt eine Null.
Selber zeichnen! Wo ignorierst du den Großteil meines erstens Posts? Du kannst mir ruhig glauben, dass es dir zur Lösung dieser Aufgabe ungemein hilft, wenn du lineare Funktionen zeichnen kannst.
Siehe oben
Setze $ [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] $ in alle Nebenbedingungen ein und überprüfe die Gültigkeit der jeweiligen Ungleichungen. Es sind dann zwei Fälle zu unterscheiden:
1.) Wenn die Bedingung erfüllt ist, so wirkt die betrachtete Nebenbedingung in Richtung Ursprung des Koordinatensystems.
2.) Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, so wirkt die betrachtete Nebenbedingung in die entgegengesetzte Richtung.
Beispiel: Nebenbedingung $ [mm] x_{1}+x_{2}\le5 [/mm] $
Setze $ [mm] x_{1}=x_{2}=0 [/mm] $ in die Nebenbedingung ein. Man erhält dann $ [mm] 0+0\le5 [/mm] $
Diese Ungleichung ist also erfüllt, sodass die Beispielbedingung in Richtung Urpsrung wirken würde. Man kennzeichnet die Wirkungsrichtung einer Nebenbedingung mit einem kleinen Pfeil, den man an die eingezeichnete Nebenbedingung setzt. Die eingezeichneten Wirkungsrichtungen zeigen dir dann am Ende den zulässigen Lösungsbereich.
Das habe ich verstanden. Der Urspung ist ja der Punkt $ (0/0) $? Daran werde ich mich versuchen sobald ich alle anderen Fragen/Antworten verstanden habe. Ich möchte das wirklich verstehen lernen und bearbeiten können!
Lg Andre
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Marcel08 |
> Also ich habe das alles selber versucht schon seit tagen,
> auf Papier, auszurechnen und zu zeichnen! Leider fehlen mir
> die technischen Mittel das online zu stellen deswegen habe
> ich das mit dem Graphenzeichner gemacht.
>
> Ich bin leider bei dem Thema in Mathe nicht sehr versiert.
Das macht nichts. Nochmal: Betrachte die allgemeine Geradengleichung f(x)=mx+b und beantworte mir bitte die folgenden Fragen:
1.) Wo schneidet die Funktion die f(x)-Achse?
2.) Wo schneidet die Funktion die x-Achse?
3.) Welche Steigung besitzt der Graph?
4.) Versuche dann den Graphen zu skizzieren. (Achsenbeschriftung!)
> Hier hast du vermutlich einfach den vorherigen Ausdruck
> hineinkopiert. Die Umstellung ist jedenfalls falsch
>
> Nein das habe ich nicht kopiert sondern hatte im Hinterkopf
> das wenn man etwas bei einer größer/kleiner/gleich
> Restriktion umstellt sich das Zeichen ändert. Sorry wenn
> ich mich da geirrt habe.
Die Ungleichheitszeichen ändern sich nur dann, wenn du hinsichtlich einer Ungleichung die Kehrwerte der einzelnen Terme berechnest. In allen anderen Fällen bleiben sie unverändert.
> Bitte führe hier doch mal deine Gedankengänge in
> einzelnen Teilschritten vor. Durch welche Überlegungen
> gelangst du auf die von dir vorgeschlagene Restriktion?
>
> Ok also folgende Überlegung meiner seits -> erst das
> verhältnis muss ein 1:2 sein also [mm]x_1 : 2x_2[/mm] dann darf [mm]x_1[/mm]
> nicht größer als das dreifache von [mm]x_2 sein[/mm]. So müsste
> das [mm]3x_1:2x_2[/mm] sein. Ach warte mal musste das dann nicht
> [mm]3x_1<2x_2[/mm] sein?
Also ich persönlich bin damit nicht einverstanden. Ich leite daraus zwei unabhängige Informationen ab. Sei [mm] x_{1} [/mm] die Menge Milch in Liter und [mm] x_{2} [/mm] die Menge Erdbeeren in kg. Dann hat man:
1.) [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1} [/mm] (Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen)
2.) [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\le...? [/mm] (magst du nochmal versuchen?)
3.) Wie lauten dann die zulässigen geschlossenen Intervalle für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}?
[/mm]
> Hier hast du die Kostenfunktion vermutlich zu K=0 gesetzt.
> Prinzipiell ist das möglich, denn um eine Iso-Kostenlinie
> (eine Linie gleicher Kosten) zu zeichnen, kannst du K mit
> einer beliebigen Zahl gleichsetzen. Für den Fall K=0
> hättest du dann aber in beiden Fällen falsch umgestellt.
> Beachte außerdem, dass wir nur an der Gestalt
> [mm]x_{2}(x_{1})=...[/mm] interessiert sind.
>
> Ok hab darüber nach gedacht ich näme [mm]K=1[/mm] . Dann wäre
> [mm](x_1;x_2)= \bruch{1}{3}[/mm] Oder kannst du mir das umstellen
> erklären wie das geht? Bin da echt eine Null.
Setze [mm] K(x_{1},x_{2})=1\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=1. [/mm] Jetzt versuche nochmal, die Gleichung nach [mm] x_{2} [/mm] umzustellen.
Tipp: Ich würde dir empfehlen, die Kostenfunktion beispielsweise K=c zu setzen. Im Rahmen einer graphischen Lösung musst du am Ende, zur Optimierung des Problems, die Iso-Kostenlinie parallel verschieben. Wenn du alle Nebenbedingungen samt zulässigen Bereich bereits aufgezeichnet hast, kannst du direkt denjenigen Wert für c ablesen, der das Kostenproblem optimiert, bzw. minimiert.
> Selber zeichnen! Wo ignorierst du den Großteil meines
> erstens Posts? Du kannst mir ruhig glauben, dass es dir zur
> Lösung dieser Aufgabe ungemein hilft, wenn du lineare
> Funktionen zeichnen kannst.
>
> Siehe oben
>
> Setze [mm]x_{1}=x_{2}=0[/mm] in alle Nebenbedingungen ein und
> überprüfe die Gültigkeit der jeweiligen Ungleichungen.
> Es sind dann zwei Fälle zu unterscheiden:
>
> 1.) Wenn die Bedingung erfüllt ist, so wirkt die
> betrachtete Nebenbedingung in Richtung Ursprung des
> Koordinatensystems.
>
> 2.) Wenn die Bedingung nicht erfüllt ist, so wirkt die
> betrachtete Nebenbedingung in die entgegengesetzte
> Richtung.
>
>
> Beispiel: Nebenbedingung [mm]x_{1}+x_{2}\le5[/mm]
>
> Setze [mm]x_{1}=x_{2}=0[/mm] in die Nebenbedingung ein. Man erhält
> dann [mm]0+0\le5[/mm]
>
> Diese Ungleichung ist also erfüllt, sodass die
> Beispielbedingung in Richtung Urpsrung wirken würde. Man
> kennzeichnet die Wirkungsrichtung einer Nebenbedingung mit
> einem kleinen Pfeil, den man an die eingezeichnete
> Nebenbedingung setzt. Die eingezeichneten
> Wirkungsrichtungen zeigen dir dann am Ende den zulässigen
> Lösungsbereich.
>
> Das habe ich verstanden. Der Urspung ist ja der Punkt [mm](0/0) [/mm]?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Daran werde ich mich versuchen sobald ich alle anderen
> Fragen/Antworten verstanden habe. Ich möchte das wirklich
> verstehen lernen und bearbeiten können!
> Lg Andre
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Das macht nichts. Nochmal: Betrachte die allgemeine Geradengleichung f(x)=mx+b und beantworte mir bitte die folgenden Fragen:
1.) Wo schneidet die Funktion die f(x)-Achse?
2.) Wo schneidet die Funktion die x-Achse?
3.) Welche Steigung besitzt der Graph?
4.) Versuche dann den Graphen zu skizzieren. (Achsenbeschriftung!)
Also ich kenne das so $f(x)=mx+b$ dabei steht $m$ für die Steigung und $b$ den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Wenn $f(x)=mx+b$ dann sieht das so aus:
Graph
Die Steigung beträgt 1 und der Graph schneidet das KOS im $Punkt (0/0)$
Die Ungleichheitszeichen ändern sich nur dann, wenn du hinsichtlich einer Ungleichung die Kehrwerte der einzelnen Terme berechnest. In allen anderen Fällen bleiben sie unverändert.
Könntest du mir das an einem Beispiel zeigen?
Also ich persönlich bin damit nicht einverstanden. Ich leite daraus zwei unabhängige Informationen ab. Sei $ [mm] x_{1} [/mm] $ die Menge Milch in Liter und $ [mm] x_{2} [/mm] $ die Menge Erdbeeren in kg. Dann hat man:
1.) $ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1} [/mm] $ (Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen)
2.) $ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\le...? [/mm] $ (magst du nochmal versuchen?)
3.) Wie lauten dann die zulässigen geschlossenen Intervalle für $ [mm] x_{1} [/mm] $ und $ [mm] x_{2}? [/mm] $
Gut $ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{3}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le6x_{1} [/mm] $ oder sind das sogar vielleicht zwei unterschiedliche Restriktionen? Mit $ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{3}{1}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le\bruch{1}{3}x_{1} [/mm] $
Ich kann mich waage an das Thema geschlossene Intervale erinnen komme aber nicht mehr darauf =(
Setze $ [mm] K(x_{1},x_{2})=1\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=1 [/mm] $ Jetzt versuche nochmal, die Gleichung nach $ [mm] x_{2} [/mm] $ umzustellen.
[mm] $x_2=-\bruch{7}{30}x_1+\bruch{1}{3}$ [/mm] Richtig?
$ [mm] K(x_{1},x_{2})=c\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=c [/mm] $
[mm] $x_2=-\bruch{7}{30}x_1+\bruch{1}{3}c$
[/mm]
Lg Andre
|
|
|
| |
|
> Das macht nichts. Nochmal: Betrachte die allgemeine
> Geradengleichung f(x)=mx+b und beantworte mir bitte die
> folgenden Fragen:
>
> 1.) Wo schneidet die Funktion die f(x)-Achse?
>
> 2.) Wo schneidet die Funktion die x-Achse?
>
> 3.) Welche Steigung besitzt der Graph?
>
> 4.) Versuche dann den Graphen zu skizzieren.
> (Achsenbeschriftung!)
>
> Also ich kenne das so [mm]f(x)=mx+b[/mm] dabei steht [mm]m[/mm] für > die
> Steigung und [mm]b[/mm] den Schnittpunkt mit der y-Achse.
> Wenn [mm]f(x)=mx+b[/mm] dann sieht das so aus:
>
> Graph
>
> Die Steigung beträgt 1 und der Graph schneidet das KOS im
> [mm]Punkt (0/0)[/mm]
Gesucht war eine allgemeine Darstellung einer linearen Funktion. Deine Funktion lautet speziell für m=1 und b=0 einfach f(x)=x. Nochmal: Zeichne eine Funktion, die die f(x)-Achse im Punkt b schneidet und eine Steigung m aufweist. Frage an dich: In welchem Punkt schneidet der Graph die x-Achse? (kein Zahlenwert!)
> Die Ungleichheitszeichen ändern sich nur dann, wenn du
> hinsichtlich einer Ungleichung die Kehrwerte der einzelnen
> Terme berechnest. In allen anderen Fällen bleiben sie
> unverändert.
>
> Könntest du mir das an einem Beispiel zeigen?
Folgende Ungleichung sei angenommen:
[mm] x_{1}+x_{2}\le5
[/mm]
Berechnen wir den Kehrwert dieser Ungleichung, so erhalten wir
[mm] \bruch{1}{x_{1}}+\bruch{1}{x_{2}}\ge\bruch{1}{5}
[/mm]
Durch die Kehrwertbildung dreht sich also das Ungleichheitszeichen um. Überprüfe das, indem du zulässige Zahlenwerte einsetzt.
> Also ich persönlich bin damit nicht einverstanden. Ich
> leite daraus zwei unabhängige Informationen ab. Sei [mm]x_{1}[/mm]
> die Menge Milch in Liter und [mm]x_{2}[/mm] die Menge Erdbeeren in
> kg. Dann hat man:
>
> 1.)
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1}[/mm]
> (Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2
> betragen)
>
> 2.) [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\le...?[/mm] (magst du nochmal
> versuchen?)
>
> 3.) Wie lauten dann die zulässigen geschlossenen
> Intervalle für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}?[/mm]
>
> Gut
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{3}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le6x_{1}[/mm]
> oder sind das sogar vielleicht zwei unterschiedliche
> Restriktionen?
Diese Frage habe ich dir bereits im vorherigen Post beantwortet.
> Mit
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{3}{1}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le\bruch{1}{3}x_{1}[/mm]
Wenn das wirklich stimmen würde, wäre doch die vorherige Restriktion völlig überflüssig; das macht also keinen Sinn. Schaue nochmal genau hin. Ich habe es dir schon richtig vorgemacht, doch du hast meinen Ansatz wieder mal ignoriert.
> Ich kann mich waage an das Thema geschlossene Intervale
> erinnen komme aber nicht mehr darauf =(
Das zulässige Intervall für [mm] x_{1} [/mm] lautet: [mm] x_{1}\in[\bruch{1}{2}x_{2},?x_{2}] [/mm] oder [mm] \bruch{1}{2}x_{2}\le{x_{1}}\le?x_{2}
[/mm]
Das zulässige Intervall für [mm] x_{2} [/mm] lautet: [mm] x_{2}\in[?x_{1},2x_{1}] [/mm] oder [mm] ?x_{1}\le{x_{2}}\le2x_{1}
[/mm]
Wie lauten also die noch fehlenden Intervallgrenzen?
> Setze
> [mm]K(x_{1},x_{2})=1\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=1[/mm]
> Jetzt versuche nochmal, die Gleichung nach [mm]x_{2}[/mm]
> umzustellen.
>
> [mm]x_2=-\bruch{7}{30}x_1+\bruch{1}{3}[/mm] Richtig?
> [mm]K(x_{1},x_{2})=c\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=c[/mm]
>
> [mm]x_2=-\bruch{7}{30}x_1+\bruch{1}{3}c[/mm]
Beachte, dass unendlich viele Iso-Kostenlinien immer die gleiche Steigung haben.
> Lg Andre
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Gesucht war eine allgemeine Darstellung einer linearen Funktion. Deine Funktion lautet speziell für m=1 und b=0 einfach f(x)=x. Nochmal: Zeichne eine Funktion, die die f(x)-Achse im Punkt b schneidet und eine Steigung m aufweist. Frage an dich: In welchem Punkt schneidet der Graph die x-Achse? (kein Zahlenwert!)
Ich würde sagen im Ursprung?!?
Wenn das wirklich stimmen würde, wäre doch die vorherige Restriktion völlig überflüssig; das macht also keinen Sinn. Schaue nochmal genau hin. Ich habe es dir schon richtig vorgemacht, doch du hast meinen Ansatz wieder mal ignoriert.
Das hat nichts mit Ignoranz zu tun! Ich verstehe es einfach nicht.
Das zulässige Intervall für $ [mm] x_{1} [/mm] $ lautet: $ [mm] x_{1}\in[\bruch{1}{2}x_{2},?x_{2}] [/mm] $ oder $ [mm] \bruch{1}{2}x_{2}\le{x_{1}}\le?x_{2} [/mm] $
Das zulässige Intervall für $ [mm] x_{2} [/mm] $ lautet: $ [mm] x_{2}\in[?x_{1},2x_{1}] [/mm] $ oder $ [mm] ?x_{1}\le{x_{2}}\le2x_{1} [/mm] $
Wie lauten also die noch fehlenden Intervallgrenzen?
Ich habe leider keine Ahnung. Ich kann mir darauf keinen Reim machen =( Ich weiß nicht wo ich das einbauen soll das es maximal 3 Liter mehr sein dürfen. Es ergibt einfach keinen Sinn für mich.
Lg Andre
|
|
|
| |
|
> Gesucht war eine allgemeine Darstellung einer linearen
> Funktion. Deine Funktion lautet speziell für m=1 und b=0
> einfach f(x)=x. Nochmal: Zeichne eine Funktion, die die
> f(x)-Achse im Punkt b schneidet und eine Steigung m
> aufweist. Frage an dich: In welchem Punkt schneidet der
> Graph die x-Achse? (kein Zahlenwert!)
>
> Ich würde sagen im Ursprung?!?
Wie kommst du denn darauf? Du sollst nicht raten. Liefere doch mal eine kleine mathematische Begründung. Nochmal: f(x)=mx+b
1.) Schnittstelle mit der f(x)-Achse: f(x=0)=m*0+b=b
2.) Schnittstelle mit der x-Achse: [mm] f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=...?
[/mm]
> Wenn das wirklich stimmen würde, wäre doch die vorherige
> Restriktion völlig überflüssig; das macht also keinen
> Sinn. Schaue nochmal genau hin. Ich habe es dir schon
> richtig vorgemacht, doch du hast meinen Ansatz wieder mal
> ignoriert.
>
> Das hat nichts mit Ignoranz zu tun! Ich verstehe es einfach
> nicht.
>
> Das zulässige Intervall für [mm]x_{1}[/mm] lautet:
> [mm]x_{1}\in[\bruch{1}{2}x_{2},?x_{2}][/mm] oder
> [mm]\bruch{1}{2}x_{2}\le{x_{1}}\le?x_{2}[/mm]
>
> Das zulässige Intervall für [mm]x_{2}[/mm] lautet:
> [mm]x_{2}\in[?x_{1},2x_{1}][/mm] oder [mm]?x_{1}\le{x_{2}}\le2x_{1}[/mm]
>
>
> Wie lauten also die noch fehlenden Intervallgrenzen?
>
> Ich habe leider keine Ahnung. Ich kann mir darauf keinen
> Reim machen =( Ich weiß nicht wo ich das einbauen soll das
> es maximal 3 Liter mehr sein dürfen. Es ergibt einfach
> keinen Sinn für mich.
Betrachten wir nochmal die einzelnen Satzteile:
1.) "Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen [...]" [mm] \Rightarrow [/mm] Das Verhältnis (Quotient) [mm] \bruch{Milch}{Erdbeeren} [/mm] muss mindestens so groß sein wie das Verhältnis (Quotient) [mm] \bruch{1}{2}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
2.) "[...]es darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im dem Drink enthalten sein." [mm] \Rightarrow [/mm] Das Verhältnis (Quotient) [mm] \bruch{Milch}{Erdbeeren} [/mm] darf höchstens so groß sein wie das Verhältnis (Quotient) [mm] \bruch{?}{?}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}...?
[/mm]
> Lg Andre
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Wie kommst du denn darauf? Du sollst nicht raten. Liefere doch mal eine kleine mathematische Begründung. Nochmal: f(x)=mx+b
1.) Schnittstelle mit der f(x)-Achse: f(x=0)=m*0+b=b
2.) Schnittstelle mit der x-Achse: $ [mm] f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=...? [/mm] $
Ich kann bei nichts raten von dem ich nix verstehe.
$ [mm] f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=\bruch{m}{b}? [/mm] $
Betrachten wir nochmal die einzelnen Satzteile:
1.) "Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens 1:2 betragen [...]" $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Das Verhältnis (Quotient) $ [mm] \bruch{Milch}{Erdbeeren} [/mm] $ muss mindestens so groß sein wie das Verhältnis (Quotient) $ [mm] \bruch{1}{2}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2} [/mm] $
2.) "[...]es darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im dem Drink enthalten sein." $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Das Verhältnis (Quotient) $ [mm] \bruch{Milch}{Erdbeeren} [/mm] $ darf höchstens so groß sein wie das Verhältnis (Quotient) $ [mm] \bruch{?}{?}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}...? [/mm] $
$ [mm] \bruch{3}{1}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}\le\bruch{3}{1}? [/mm] $
|
|
|
| |
|
> Wie kommst du denn darauf? Du sollst nicht raten. Liefere
> doch mal eine kleine mathematische Begründung. Nochmal:
> f(x)=mx+b
>
> 1.) Schnittstelle mit der f(x)-Achse: f(x=0)=m*0+b=b
>
> 2.) Schnittstelle mit der x-Achse:
> [mm]f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=...?[/mm]
>
> Ich kann bei nichts raten von dem ich nix verstehe.
Was gibt es denn da zu verstehen? Du brauchst doch bloß die Gleichung nach x umzustellen.
> [mm]f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=\bruch{m}{b}?[/mm]
Das ist doch falsch! Bitte nochmal! Löse die Gleichung nach x auf.
> Betrachten wir nochmal die einzelnen Satzteile:
>
> 1.) "Das Verhältnis von Milch zu Erdbeeren muss mindestens
> 1:2 betragen [...]" [mm]\Rightarrow[/mm] Das Verhältnis (Quotient)
> [mm]\bruch{Milch}{Erdbeeren}[/mm] muss mindestens so groß sein wie
> das Verhältnis (Quotient) [mm]\bruch{1}{2}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> 2.) "[...]es darf maximal 3L mehr Milch als Erdbeeren im
> dem Drink enthalten sein." [mm]\Rightarrow[/mm] Das Verhältnis
> (Quotient) [mm]\bruch{Milch}{Erdbeeren}[/mm] darf höchstens so
> groß sein wie das Verhältnis (Quotient) [mm]\bruch{?}{?}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}...?[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{1}. \Rightarrow\bruch{x_{1}}{x_{2}}\le\bruch{3}{1}?[/mm]
Das ist richtig! Bitte fasse nun nochmal alle Funktionen dieses Optimierungsproblems zusammen, damit du mit deinen neuen Erkenntnissen einen Gesamtüberblick bekommst:
1.) Die zu optimierende Zielfunktion.
2.) Die Nebenbedingungen, die du dem Text entnehmen kannst.
3.) Die Nichtnegativitätsbedingungen.
Wenn du dann auch die obige Geradengleichung richtig aufgelöst hast, werden wir damit beginnen, die für die Zeichnung der Funktionen erforderlichen Punkte zu berechnen.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
$ [mm] f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=...? [/mm] $
$ [mm] f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=-\bruch{b}{m} [/mm] $ Jetzt aber
$ [mm] 0.7x_1+3x_2=min! [/mm] $ bzw. $ [mm] K(x_{1},x_{2})=0,7x_{1}+3x_{2} [/mm] $
$ [mm] x_1+x_2\ge10 [/mm] $
$ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1} [/mm] $
und
$ [mm] \bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{3}{1}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\ge\bruch{1}{3}x_{1} [/mm] $
zusammenfassen?!
$ [mm] 0+0\ge10 [/mm] $
$ [mm] 0+0\le35 [/mm] $
|
|
|
| |
|
> [mm]f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=...?[/mm]
>
> [mm]f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{x}=-\bruch{b}{m}[/mm] Jetzt aber
Ich fasse noch einmal zusammen:
1.) Wir betrachten die Funktion f(x)=mx+b
2.) Wir berechnen den Schnittpunkt des Graphen mit der f(x)-Achse: f(0)=b
3.) Wir berechnen den Schnittpunkt mit der x-Achse: [mm] f(x)=0\Rightarrow{mx}+b=0\gdw{m}=-\bruch{b}{m}
[/mm]
> [mm]0.7x_1+3x_2=min![/mm] bzw. [mm]K(x_{1},x_{2})=0,7x_{1}+3x_{2}[/mm]
>
> [mm]x_1+x_2\ge10[/mm]
>
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{1}{2}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\le2x_{1}[/mm]
> und
>
> [mm]\bruch{x_{1}}{x_{2}}\ge\bruch{3}{1}\Rightarrow{x_{2}}(x_{1})\ge\bruch{1}{3}x_{1}[/mm]
>
> zusammenfassen?!
>
> [mm]0+0\ge10[/mm]
>
> [mm]0+0\le35[/mm]
Da fehlt doch noch Bedingung zwei, oder? Zusammengefasst erhält man jedenfalls:
Minimiere Zielfunktion [mm] K(x_{1},x_{2})=\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}
[/mm]
unter den Nebenbedingungen
1.) [mm] x_{1}+x_{2}\ge10
[/mm]
2.) [mm] x_{1}+x_{2}\le35
[/mm]
3.) [mm] x_{1}-\bruch{1}{2}x_{2}\ge0
[/mm]
4.) [mm] x_{1}-3x_{2}\le0
[/mm]
mit den Nichtnegativitätsbedingungen
5.) [mm] x_{1}\ge0
[/mm]
6.) [mm] x_{2}\ge0
[/mm]
Wie bei den Berechnungen zur allgemeinen Geradengleichung, berechnen wir nun die notwendigen Punkte, um alle Funktionen der Aufgabe einzeichnen zu können. Ich rechne dazu einfach mal die erste Nebenbedingung vor und du berechnest dann analog dazu alle anderen Punkte, okay?
Wir betrachten also zunächst Nebenbedingung 1.): [mm] x_{1}+x_{2}\ge10
[/mm]
1.) Umformen der Ungleichung liefert: [mm] x_{2}(x_{1})\ge-x_{1}+10 [/mm] (Beachte die Gestalt der allgemeinen Geradengleichung f(x)=mx+b)
2.) Berechnung des Schnittpunktes mit der [mm] x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}(0)\ge10
[/mm]
3.) Berechnung des Schnittpunktes mit der [mm] x_{1}-Achse: x_{2}(x_{1})\ge0\Rightarrow-x_{1}+10\ge0\gdw{x_{1}}\le10
[/mm]
4.) Berechnung der Wirkungsrichtung der Restriktion: [mm] 0+0\ge10 [/mm] führt zu
einem Widerspruch [mm] \Rightarrow [/mm] Die Nebenbedingung wirkt in die dem
Ursprung entgegengesetzte Richtung.
5.) Wenn du das mit allen anderen Bedingungen gemacht hast, betrachtest
du deine berechneten Werte und wählst anhand der Größenordnungen
einen geeigneten Maßstab.
6.) Nun kannst du die Geraden sehr bequem in ein Koordinatensystem einzeichnen. Für den zulässigen Lösungsbereich erhältst du dann eine Art "gekipptes" Trapez.
Viele Grüße und viel Spaß beim Rechnen, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Wir betrachten also zunächst Nebenbedingung 1.): $ [mm] x_{1}+x_{2}\ge10 [/mm] $
1.) Umformen der Ungleichung liefert: $ [mm] x_{2}(x_{1})\ge-x_{1}+10 [/mm] $ (Beachte die Gestalt der allgemeinen Geradengleichung f(x)=mx+b)
2.) Berechnung des Schnittpunktes mit der $ [mm] x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}(0)\ge10 [/mm] $
3.) Berechnung des Schnittpunktes mit der $ [mm] x_{1}-Achse: x_{2}(x_{1})\ge0\Rightarrow-x_{1}+10\ge0\gdw{x_{1}}\le10 [/mm] $
4.) Berechnung der Wirkungsrichtung der Restriktion: $ [mm] 0+0\ge10 [/mm] $ führt zu
einem Widerspruch $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Die Nebenbedingung wirkt in die dem
Ursprung entgegengesetzte Richtung.
5.) Wenn du das mit allen anderen Bedingungen gemacht hast, betrachtest
du deine berechneten Werte und wählst anhand der Größenordnungen
einen geeigneten Maßstab.
6.) Nun kannst du die Geraden sehr bequem in ein Koordinatensystem einzeichnen. Für den zulässigen Lösungsbereich erhältst du dann eine Art "gekipptes" Trapez.
[mm] $x_2(x_1)\le-x_1+35$
[/mm]
[mm] $x_2(x_1) [/mm] - Achse : [mm] x_2(0)\le35$
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] - Achse : [mm] x_2(x_1) \Rightarrow -x_1+35\ge0 \gdw x_1\le35$
[/mm]
[mm] $0+0\le35$
[/mm]
Urspung zugewandte Seite
[mm] $x_2(x_1)\le2x_1$
[/mm]
[mm] $x_2(x_1)-Achse [/mm] : [mm] x_2(0)\le0$
[/mm]
[mm] $x_1-Achse:x_2(x_1)\ge0\gdw2x_1\ge0$
[/mm]
[mm] $0+0\ge0$
[/mm]
Verläuft durch den Ursprung
[mm] $x_2(x_1)\le\bruch{1}{3}x_1$
[/mm]
[mm] $x_2(x_1)-Achse [/mm] : [mm] x_2(0)\le0$
[/mm]
[mm] $x_1-Achse:x_2(x_1)\ge0 \gdw \bruch{1}{3}x_1\ge0$
[/mm]
$ [mm] 0+0\ge0 [/mm] $
Verläuft durch den Urspung
$ [mm] K(x_{1},x_{2})=\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2} [/mm] $
[mm] §x_2=-\bruch{7}{10}x_1+\bruch{1}{3}c$
[/mm]
[mm] $x_1=-\bruch{30}{7}x_2+\bruch{10}{7}c$
[/mm]
Graph 3
|
|
|
| |
|
Guten Morgen!
> Wir betrachten also zunächst Nebenbedingung 1.):
> [mm]x_{1}+x_{2}\ge10[/mm]
>
> 1.) Umformen der Ungleichung liefert:
> [mm]x_{2}(x_{1})\ge-x_{1}+10[/mm] (Beachte die Gestalt der
> allgemeinen Geradengleichung f(x)=mx+b)
>
> 2.) Berechnung des Schnittpunktes mit der
> [mm]x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}(0)\ge10[/mm]
>
> 3.) Berechnung des Schnittpunktes mit der [mm]x_{1}-Achse: x_{2}(x_{1})\ge0\Rightarrow-x_{1}+10\ge0\gdw{x_{1}}\le10[/mm]
>
> 4.) Berechnung der Wirkungsrichtung der Restriktion:
> [mm]0+0\ge10[/mm] führt zu
> einem Widerspruch [mm]\Rightarrow[/mm] Die Nebenbedingung wirkt
> in die dem
> Ursprung entgegengesetzte Richtung.
>
> 5.) Wenn du das mit allen anderen Bedingungen gemacht hast,
> betrachtest
> du deine berechneten Werte und wählst anhand der
> Größenordnungen
> einen geeigneten Maßstab.
>
> 6.) Nun kannst du die Geraden sehr bequem in ein
> Koordinatensystem einzeichnen. Für den zulässigen
> Lösungsbereich erhältst du dann eine Art "gekipptes"
> Trapez.
>
> [mm]x_2(x_1)\le-x_1+35[/mm]
>
> [mm]x_2(x_1) - Achse : x_2(0)\le35[/mm]
>
> [mm]x_1 - Achse : x_2(x_1) \Rightarrow -x_1+35\ge0 \gdw x_1\le35[/mm]
>
> [mm]0+0\le35[/mm]
>
> Urspung zugewandte Seite
Du arbeitest einfach viel zu oberflächlich. Ich habe es dir doch oben schon vorgerechnet, sodass du es jetzt nur noch sinngemäß zusammenfügen brauchst. Bitte nochmal und nimm dir etwas Zeit!
> [mm]x_2(x_1)\le2x_1[/mm]
>
> [mm]x_2(x_1)-Achse : x_2(0)\le0[/mm]
>
> [mm]x_1-Achse:x_2(x_1)\ge0\gdw2x_1\ge0[/mm]
>
> [mm]0+0\ge0[/mm]
>
> Verläuft durch den Ursprung
Hier brauchst du nichts groß zu rechnen. Man sieht auf Anhieb, dass der Graph mit der Steigung +2 durch den Ursprung geht.
> [mm]x_2(x_1)\le\bruch{1}{3}x_1[/mm]
>
> [mm]x_2(x_1)-Achse : x_2(0)\le0[/mm]
>
> [mm]x_1-Achse:x_2(x_1)\ge0 \gdw \bruch{1}{3}x_1\ge0[/mm]
>
> [mm]0+0\ge0[/mm]
>
> Verläuft durch den Urspung
s.o.
> [mm]K(x_{1},x_{2})=\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}[/mm]
>
> [mm]§x_2=-\bruch{7}{10}x_1+\bruch{1}{3}c$[/mm]
>
> [mm]x_1=-\bruch{30}{7}x_2+\bruch{10}{7}c[/mm]
> Graph 3
Das sieht qualitativ gut aus. Hast du das auch mal auf einem Blatt Papier (mit geeignetem Maßstab) gezeichnet? Zeichne nun noch eine Iso-Kostenlinie in das Bild. Setze dazu beispielsweise mal c=21. Frage an dich:
1.) Wie lauten diejenigen Koordinaten [mm] (x_{opt},y_{opt}), [/mm] die das Problem hinsichtlich der Kosten minimieren?
2.) Wie hoch sind also die minimalen Kosten?
Tipp: Ich würde dir raten, alle Schritte deiner Rechnung hinreichend ausführlich zu beschriften. Ohne große Übung verliert man sonst schnell den Überblick.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Du arbeitest einfach viel zu oberflächlich. Ich habe es dir doch oben schon vorgerechnet, sodass du es jetzt nur noch sinngemäß zusammenfügen brauchst. Bitte nochmal und nimm dir etwas Zeit!
Also ich glaube der Fehler liegt hier
$ [mm] x_1 [/mm] - Achse : [mm] x_2(x_1) \Rightarrow -x_1+35\ge0 \gdw x_1\le35 [/mm] $
Es muss glaub ich so heißen
$ [mm] x_1 [/mm] - Achse : [mm] x_2(x_1) \Rightarrow -x_1+35\le0 \gdw x_1\le35 [/mm] $
Das sieht qualitativ gut aus. Hast du das auch mal auf einem Blatt Papier (mit geeignetem Maßstab) gezeichnet? Zeichne nun noch eine Iso-Kostenlinie in das Bild. Setze dazu beispielsweise mal c=21. Frage an dich:
1.) Wie lauten diejenigen Koordinaten $ [mm] (x_{opt},y_{opt}), [/mm] $ die das Problem hinsichtlich der Kosten minimieren?
2.) Wie hoch sind also die minimalen Kosten?
Tipp: Ich würde dir raten, alle Schritte deiner Rechnung hinreichend ausführlich zu beschriften. Ohne große Übung verliert man sonst schnell den Überblick.
Also damit ich das richtig verstehe, um beide Punkte ausrechnen, muss ich mit [mm] $\bruch{7}{10}x_1+3x_2=21$ [/mm] rechnen. Nach [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] umstellen und das Ergebnis jeweils für [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] einsetzen.
Ich bekomme für die Rechnung dann [mm] $x_1=11,64$ [/mm] und [mm] $x_2=3,74$ [/mm] raus.
Lg
|
|
|
| |
|
> Du arbeitest einfach viel zu oberflächlich. Ich habe es
> dir doch oben schon vorgerechnet, sodass du es jetzt nur
> noch sinngemäß zusammenfügen brauchst. Bitte nochmal und
> nimm dir etwas Zeit!
>
> Also ich glaube der Fehler liegt hier
>
> [mm]x_1 - Achse : x_2(x_1) \Rightarrow -x_1+35\ge0 \gdw x_1\le35[/mm]
>
> Es muss glaub ich so heißen
>
> [mm]x_1 - Achse : x_2(x_1) \Rightarrow -x_1+35\le0 \gdw x_1\le35[/mm]
Du hast nicht verstanden, was du da überhaupt machst. Nochmal: Es geht bei diesem Schritt um die Berechnung des Schnittpunktes mit der [mm] x_{1}-Achse. [/mm] Dazu setzt man [mm] x_{2}, [/mm] bzw. [mm] x_{2}(x_{1}) [/mm] zu Null. Im Falle der vorliegenden Ungleichung ergibt sich also [mm] x_{2}(x_{1})\le0. [/mm] Wenn [mm] x_{2}(x_{1})\le0 [/mm] gilt, dann gilt auch wegen [mm] x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+35 [/mm] der Zusammenhang [mm] -x_{1}+35\le0. [/mm] Frage an dich: Welche Ungleichung ergibt sich daraus also für [mm] x_{1}? [/mm] Hinweis: Die Ungleichung, die du oben angegeben hast, ist falsch!
> Das sieht qualitativ gut aus. Hast du das auch mal auf
> einem Blatt Papier (mit geeignetem Maßstab) gezeichnet?
> Zeichne nun noch eine Iso-Kostenlinie in das Bild. Setze
> dazu beispielsweise mal c=21. Frage an dich:
>
> 1.) Wie lauten diejenigen Koordinaten [mm](x_{opt},y_{opt}),[/mm]
> die das Problem hinsichtlich der Kosten minimieren?
>
> 2.) Wie hoch sind also die minimalen Kosten?
>
>
> Tipp: Ich würde dir raten, alle Schritte deiner Rechnung
> hinreichend ausführlich zu beschriften. Ohne große Übung
> verliert man sonst schnell den Überblick.
>
> Also damit ich das richtig verstehe, um beide Punkte
> ausrechnen, muss ich mit [mm]\bruch{7}{10}x_1+3x_2=21[/mm] rechnen.
Nein. Es geht zunächst darum, eine beliebige Iso-Kostenlinie in das Schaubild zu zeichnen. Ich habe dir den Wert c=21 empfohlen, weil die dazugehörige Iso-Kostenlinie sehr nah an der optimalen Lösung liegt und du für einen Wert 21 hinsichtlich der Punkteberechnungen der Iso-Kostenlinie glatte also leicht zeichenbare Punkte erhältst. Wie ermittelt man nun graphisch den kostenminimalen Punkt?
1.) Man zeichnet eine beliebige Iso-Kostenlinie ein. (Beachte, dass für unendlich viele Iso-Kostenlinien die Steigung immer gleich ist!)
2.) Man verschiebt die eingezeichnete Iso-Kostenlinie nun parallel und zwar so, dass sie den zulässigen Lösungsbereich nicht schneidet, sondern eben nur noch in einem Punkt tangiert (im kostenminimalen Punkt).
Beachte: Der zulässige Lösungsbereich wird dir durch die eingezeichneten Nebenbedingungen samt deren Wirkungsrichtungen angezeigt. Bei einer zu minimierenden Zielsetzung (wie zum Beispiel Kosten) parallelverschiebt man die entsprechende Iso-Linie also möglichst weit nach unten. Bei einer zu maximierenden Zielsetzung (Gewinn, Deckungsbeitrag, etc.) parallelverschiebt man sie entsprechend möglichst weit nach oben.
Frage an dich: Wie kann man den so graphisch ermittelten kostenminimalen Punkt analytisch auf Richtigkeit überprüfen?
> Nach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] umstellen und das Ergebnis jeweils für
> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] einsetzen.
>
> Ich bekomme für die Rechnung dann [mm]x_1=11,64[/mm] und [mm]x_2=3,74[/mm]
> raus.
>
> Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Du hast nicht verstanden, was du da überhaupt machst. Nochmal: Es geht bei diesem Schritt um die Berechnung des Schnittpunktes mit der $ [mm] x_{1}-Achse. [/mm] $ Dazu setzt man $ [mm] x_{2}, [/mm] $ bzw. $ [mm] x_{2}(x_{1}) [/mm] $ zu Null. Im Falle der vorliegenden Ungleichung ergibt sich also $ [mm] x_{2}(x_{1})\le0. [/mm] $ Wenn $ [mm] x_{2}(x_{1})\le0 [/mm] $ gilt, dann gilt auch wegen $ [mm] x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+35 [/mm] $ der Zusammenhang $ [mm] -x_{1}+35\le0. [/mm] $ Frage an dich: Welche Ungleichung ergibt sich daraus also für $ [mm] x_{1}? [/mm] $
Es muss doch sich die gleiche Ungleichung ergeben wie für
$ [mm] x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+35 [/mm] $ nur mit $ [mm] x_{1}(x_{2})\le-x_{2}+35 [/mm] $
Wenn nicht dann verstehe ich nicht was genau gefordert ist.
Nein. Es geht zunächst darum, eine beliebige Iso-Kostenlinie in das Schaubild zu zeichnen. Ich habe dir den Wert c=21 empfohlen, weil die dazugehörige Iso-Kostenlinie sehr nah an der optimalen Lösung liegt und du für einen Wert 21 hinsichtlich der Punkteberechnungen der Iso-Kostenlinie glatte also leicht zeichenbare Punkte erhältst. Wie ermittelt man nun graphisch den kostenminimalen Punkt?
1.) Man zeichnet eine beliebige Iso-Kostenlinie ein. (Beachte, dass für unendlich viele Iso-Kostenlinien die Steigung immer gleich ist!)
Ja die Steigung ist immer gleich das habe ich verstanden aber um eine Tangente zu zeichen muss ich ja erstmal zwei Punkte ermitteln aus [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$? [/mm] Mache ich das aus [mm] $\bruch{7}{10}x_1+21=f(x_2)$ [/mm] und [mm] $3x_2+21=f(x_1)?$?
[/mm]
2.) Man verschiebt die eingezeichnete Iso-Kostenlinie nun parallel und zwar so, dass sie den zulässigen Lösungsbereich nicht schneidet, sondern eben nur noch in einem Punkt tangiert (im kostenminimalen Punkt).
Beachte: Der zulässige Lösungsbereich wird dir durch die eingezeichneten Nebenbedingungen samt deren Wirkungsrichtungen angezeigt. Bei einer zu minimierenden Zielsetzung (wie zum Beispiel Kosten) parallelverschiebt man die entsprechende Iso-Linie also möglichst weit nach unten. Bei einer zu maximierenden Zielsetzung (Gewinn, Deckungsbeitrag, etc.) parallelverschiebt man sie entsprechend möglichst weit nach oben.
Das habe ich verstanden.
Frage an dich: Wie kann man den so graphisch ermittelten kostenminimalen Punkt analytisch auf Richtigkeit überprüfen?
In denn man den Punkt einsetzt und schaut ob er alle Bedingungen erfüllt.
Lg Andre
|
|
|
| |
|
> Du hast nicht verstanden, was du da überhaupt machst.
> Nochmal: Es geht bei diesem Schritt um die Berechnung des
> Schnittpunktes mit der [mm]x_{1}-Achse.[/mm] Dazu setzt man [mm]x_{2},[/mm]
> bzw. [mm]x_{2}(x_{1})[/mm] zu Null. Im Falle der vorliegenden
> Ungleichung ergibt sich also [mm]x_{2}(x_{1})\le0.[/mm] Wenn
> [mm]x_{2}(x_{1})\le0[/mm] gilt, dann gilt auch wegen
> [mm]x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+35[/mm] der Zusammenhang [mm]-x_{1}+35\le0.[/mm]
> Frage an dich: Welche Ungleichung ergibt sich daraus also
> für [mm]x_{1}?[/mm]
>
> Es muss doch sich die gleiche Ungleichung ergeben wie für
> [mm]x_{2}(x_{1})\le-x_{1}+35[/mm] nur mit [mm]x_{1}(x_{2})\le-x_{2}+35[/mm]
Das ist doch Unsinn. Würde das Ungleichheitszeichen in beiden Restriktionen jeweils in die gleiche Richtung zeigen, wäre doch die erste Nebenbedingung echte Teilmenge der zweiten; sie wäre also für unser Optimierungsproblem vollkommen redundant. Schaue dir noch einmal an, wie diese beiden Nebenbedingungen aus dem Text hergeleitet wurden: Du sollst mindestens 10 und höchstens 35 Einheiten herstellen. (Betrachte dazu auch noch einmal die zulässigen Intervalle für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2})
[/mm]
> Wenn nicht dann verstehe ich nicht was genau gefordert
> ist.
>
> Nein. Es geht zunächst darum, eine beliebige
> Iso-Kostenlinie in das Schaubild zu zeichnen. Ich habe dir
> den Wert c=21 empfohlen, weil die dazugehörige
> Iso-Kostenlinie sehr nah an der optimalen Lösung liegt und
> du für einen Wert 21 hinsichtlich der Punkteberechnungen
> der Iso-Kostenlinie glatte also leicht zeichenbare Punkte
> erhältst. Wie ermittelt man nun graphisch den
> kostenminimalen Punkt?
>
> 1.) Man zeichnet eine beliebige Iso-Kostenlinie ein.
> (Beachte, dass für unendlich viele Iso-Kostenlinien die
> Steigung immer gleich ist!)
>
> Ja die Steigung ist immer gleich das habe ich verstanden
> aber um eine Tangente zu zeichen muss ich ja erstmal zwei
> Punkte ermitteln aus [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]? Mache ich das aus
> [mm]\bruch{7}{10}x_1+21=f(x_2)[/mm] und [mm]3x_2+21=f(x_1)?[/mm]?
Du setzt die zu minimierende Kostenfunktion [mm] K(x_{1},x_{2})=c, [/mm] wobei du [mm] c\in\IR^{+} [/mm] beliebig wählen kannst:
[mm] K(x_{1},x_{2})=c\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=c
[/mm]
Du berechnest dann, genau wie bei den Nebenbedingungen, zwei Punkte, um die Funktion einzeichnen zu können:
1.) Umstellen der Gleichung nach [mm] x_{2}.
[/mm]
2.) Berechnung der Schnittstelle mit der [mm] x_{2}(x_{1})-Achse.
[/mm]
3.) Berechnung der Schnittstelle mit der [mm] x_{1}-Achse.
[/mm]
> 2.) Man verschiebt die eingezeichnete Iso-Kostenlinie nun
> parallel und zwar so, dass sie den zulässigen
> Lösungsbereich nicht schneidet, sondern eben nur noch in
> einem Punkt tangiert (im kostenminimalen Punkt).
>
>
> Beachte: Der zulässige Lösungsbereich wird dir durch die
> eingezeichneten Nebenbedingungen samt deren
> Wirkungsrichtungen angezeigt. Bei einer zu minimierenden
> Zielsetzung (wie zum Beispiel Kosten) parallelverschiebt
> man die entsprechende Iso-Linie also möglichst weit nach
> unten. Bei einer zu maximierenden Zielsetzung (Gewinn,
> Deckungsbeitrag, etc.) parallelverschiebt man sie
> entsprechend möglichst weit nach oben.
>
> Das habe ich verstanden.
>
>
> Frage an dich: Wie kann man den so graphisch ermittelten
> kostenminimalen Punkt analytisch auf Richtigkeit
> überprüfen?
>
> In denn man den Punkt einsetzt und schaut ob er alle
> Bedingungen erfüllt.
Nein, jeder (Eck-)Punkt auf oder im zulässigen Lösungsbereich erfüllt automatisch alle Bedingungen. Wie kann ich aber den optimalen, in diesem Fall also kostenminimalen Punkt berechnen?
> Lg Andre
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Loc-Nar |
Das ist doch Unsinn. Würde das Ungleichheitszeichen in beiden Restriktionen jeweils in die gleiche Richtung zeigen, wäre doch die erste Nebenbedingung echte Teilmenge der zweiten; sie wäre also für unser Optimierungsproblem vollkommen redundant. Schaue dir noch einmal an, wie diese beiden Nebenbedingungen aus dem Text hergeleitet wurden: Du sollst mindestens 10 und höchstens 35 Einheiten herstellen. (Betrachte dazu auch noch einmal die zulässigen Intervalle für $ [mm] x_{1} [/mm] $ und $ [mm] x_{2}) [/mm] $
$ [mm] x_{1}(x_{2})\le-x_{2}-35 [/mm] $ Die Menge darf ja nicht mehr als 35 werden. So muss ja $ [mm] x_{2}(x_{1})\le-x_{1}-35 [/mm] $ genau so gelten?
Du setzt die zu minimierende Kostenfunktion $ [mm] K(x_{1},x_{2})=c, [/mm] $ wobei du $ [mm] c\in\IR^{+} [/mm] $ beliebig wählen kannst:
$ [mm] K(x_{1},x_{2})=c\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=c [/mm] $
Du berechnest dann, genau wie bei den Nebenbedingungen, zwei Punkte, um die Funktion einzeichnen zu können:
1.) Umstellen der Gleichung nach $ [mm] x_{2}. [/mm] $
2.) Berechnung der Schnittstelle mit der $ [mm] x_{2}(x_{1})-Achse. [/mm] $
3.) Berechnung der Schnittstelle mit der $ [mm] x_{1}-Achse. [/mm] $
1.) [mm] $x_2=-\bruch{7}{30}x_1+\bruch{1}{3}c$ [/mm] Das hatte ich ja schon mal ausgerechnet
2.) & 3.) da gab es ja keinen Schnittpunkt mit der $ [mm] x_{2}(x_{1})-Achse [/mm] $ und der $ [mm] x_{1}-Achse [/mm] $ Dazu muss ich ja z.B. c=21 setzen.
[mm] $x_1=-\bruch{7}{30}x_2+7$ [/mm] und
[mm] $x_2=-\bruch{30}{7}x_1+30$
[/mm]
Das er gibt jeweils die gleiche Iso-Kostenlinie?
|
|
|
| |
|
> Das ist doch Unsinn. Würde das Ungleichheitszeichen in
> beiden Restriktionen jeweils in die gleiche Richtung
> zeigen, wäre doch die erste Nebenbedingung echte Teilmenge
> der zweiten; sie wäre also für unser Optimierungsproblem
> vollkommen redundant. Schaue dir noch einmal an, wie diese
> beiden Nebenbedingungen aus dem Text hergeleitet wurden: Du
> sollst mindestens 10 und höchstens 35 Einheiten
> herstellen. (Betrachte dazu auch noch einmal die
> zulässigen Intervalle für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2})[/mm]
>
> [mm]x_{1}(x_{2})\le-x_{2}-35[/mm] Die Menge darf ja nicht mehr als
> 35 werden. So muss ja [mm]x_{2}(x_{1})\le-x_{1}-35[/mm] genau so
> gelten?
Das ist jetzt noch falscher als eben. Man hat:
1.) [mm] x_{1}+x_{2}\ge10\gdw{x_{2}}\ge-x_{1}+10
[/mm]
Schnitt mit der [mm] x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}(0)\ge10
[/mm]
Schnitt der mit [mm] x_{1}-Achse: x_{2}\ge0\Rightarrow-x_{1}+10\ge0\gdw{x_{1}}\le10
[/mm]
2.) [mm] x_{1}+x_{2}\le35\gdw{x_{2}}\le-x_{1}+35
[/mm]
Schnitt mit der [mm] x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}(0)\le35
[/mm]
Schnitt mit der [mm] x_{1}-Achse: x_{2}\le0\Rightarrow-x_{1}+35\le0\gdw{x_{1}}\ge35
[/mm]
> Du setzt die zu minimierende Kostenfunktion
> [mm]K(x_{1},x_{2})=c,[/mm] wobei du [mm]c\in\IR^{+}[/mm] beliebig wählen
> kannst:
>
> [mm]K(x_{1},x_{2})=c\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=c[/mm]
>
>
> Du berechnest dann, genau wie bei den Nebenbedingungen,
> zwei Punkte, um die Funktion einzeichnen zu können:
>
> 1.) Umstellen der Gleichung nach [mm]x_{2}.[/mm]
>
> 2.) Berechnung der Schnittstelle mit der
> [mm]x_{2}(x_{1})-Achse.[/mm]
>
> 3.) Berechnung der Schnittstelle mit der [mm]x_{1}-Achse.[/mm]
>
> 1.) [mm]x_2=-\bruch{7}{30}x_1+\bruch{1}{3}c[/mm] Das hatte ich ja
> schon mal ausgerechnet
>
> 2.) & 3.) da gab es ja keinen Schnittpunkt mit der
> [mm]x_{2}(x_{1})-Achse[/mm] und der [mm]x_{1}-Achse[/mm] Dazu muss ich ja
> z.B. c=21 setzen.
Du musst nicht sondern du kannst.
> [mm]x_1=-\bruch{7}{30}x_2+7[/mm] und
>
> [mm]x_2=-\bruch{30}{7}x_1+30[/mm]
>
> Das er gibt jeweils die gleiche Iso-Kostenlinie?
Man hat: [mm] K(x_{1},x_{2})=\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2} [/mm]
Setze nun K=c, dann folgt daraus:
[mm] K(x_{1},x_{2})=c\Rightarrow\bruch{7}{10}x_{1}+3x_{2}=c\gdw{x_{2}}=-\bruch{7}{30}x_{1}+\bruch{1}{3}c
[/mm]
Schnittstelle mit der [mm] x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}(0)=\bruch{1}{3}c
[/mm]
Schnittstelle mit der [mm] x_{1}-Achse: x_{2}=0\Rightarrow\bruch{7}{30}x_{1}=\bruch{1}{3}c\gdw{x_{1}}=\bruch{10}{7}c
[/mm]
Durch grobes Abschätzen wählt man beispielsweise c=21. Dann hat mann:
1.) Schnittpunkt mit der [mm] x_{2}(x_{1})-Achse: x_{2}=7
[/mm]
2.) Schnittpunkt mit der [mm] x_{1}-Achse: x_{1}=30
[/mm]
I) Wie lauten nun diejenigen Koordinaten, die das vorliegende Optimierungsproblem kostenminimal lösen?
II) Wie hoch sind die minimalen Kosten?
Ich würde dir dringend empfehlen, dich mit dem Themen "lineare Funktionen", "Umstellen von Gleichungen" und "Rechnen mit Ungleichungen" noch einmal gründlich auseinander zu setzen.
Viele Grüße, Marcel
|
|
|
|
![[]](http://imageshack.us/photo/my-images/832/graphcr.jpg/){kind=small}
Graph![[]](http://imageshack.us/photo/my-images/855/graph2q.jpg/){kind=small}
Graph![[]](http://imageshack.us/photo/my-images/834/graph3p.jpg/){kind=small}
Graph 3