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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 08.01.2007 | | Autor: | M.M. |
Hallo, also ich weiß, dass das jetzt ziemlich dreißt klingt, aber kann mir mal jemand das Simpson-Verfahren erklären?
Ich weiß, es gibt diese eine Simpson-Formel, die ich aber auch nicht verstehe. Ich hab keine spezielle Aufgabe, muss es einfach anwenden können.
Also ich wills echt verstehen, nicht nur mal eben so für die nächste Stunde vorbereitet sein.
Bin für jede Hilfe dankbar!
Marie
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Nun, das ist eigentlich relativ einfach.
Bei der Ober- und Untersumme, nimmst du immer einen Funktionswert, und multiplizierst ihn mit dem Abstand zwischen den Funktionswerten.
Bei der Trapezregel nimmst du immer zwei Funktionswerte, verbindest sie mit einer Graden, und berechnest dann die Fläche zwischen den beiden x-Werten, der Graden und er x-Achse.
Die Simpson-Regel nimmt drei Funktionswerte, und legt eine Parabel durch, und berechnet die Fläche unter dieser Parabel zwischen dem ersten und letzten x-Wert.
Also, du hast eine Funktion und drei Punkte auf ihr $(-1, f(-1)), \ (0, f(0)), \ (1, f(1))$
Dadurch soll nun eine Parabel [mm] $y=ax^2+bx+c$ [/mm] gelegt werden. Also setzt du die drei Werte ein
$ [mm] f(-1)=a*(-1)^2+b(-1)+c [/mm] $
[mm] $f(0)=a*0^2+b*0+c$
[/mm]
[mm] $f(1)=a*1^2+b*1+c$
[/mm]
Das macht
$f(-1)=a-b+c$
$f(0)=c$
$f(1)=a+b+c$
Jetzt kannst du a, b, c ausrechnen:
$f(0)=c$
$f(-1)+f(1)=2a+2c=2a+2f(0) [mm] \Rightarrow a=\bruch{f(-1)+f(1)}{2}-f(0)$
[/mm]
$f(-1)=a-b+c [mm] \Rightarrow [/mm] b= [mm] a+c-f(-1)=\bruch{f(-1)+f(1)}{2}-f(0)+f(0)-f(-1)$
[/mm]
Schreiben wir es nochmal sauber auf:
[mm] $a=\bruch{1}{2}f(-1)-f(0)+\bruch{1}{2}f(1)$
[/mm]
[mm] $b=-\bruch{1}{2}f(-1)+\bruch{1}{2}f(1)$
[/mm]
[mm]c=f(0)[/mm]
Nun wollten wir ja die Fläche unter der Parabel berechnen:
[mm] $\integral_{-1}^{1}ax^2+bx+c=\left[\bruch{1}{3}ax^3+\bruch{1}{2}bx^2+cx\right]_{-1}^1=\bruch{2}{3}a+2c$
[/mm]
Setzen wir jetzt die Faktoren noch ein:
[mm] $\bruch{2}{3}a+2c=\bruch{2}{6}f(-1)-\bruch{2}{3}f(0)+\bruch{2}{6}f(1)+2f(0)$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{3}f(-1)+\bruch{4}{3}f(0)+\bruch{1}{3}f(1)$
[/mm]
Das ist also die Fläche unter der Parabel, das entspricht also der Fläche von einem Rechteck einer Ober- / Untersumme.
Jetzt wirst du mir sagen, daß man wohl selten die x-Werte -1;0;+1 hat, sondern eher beliebige [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] mit [mm] f_1, f_2, f_3.
[/mm]
Das ist aber kein Problem (naja, jetz ist Vorstellungskraft gefragt!)
Meine drei Punkte bestimmen ein Intervall der Breite 2. Beliebige Punkte bestimmen ein Intervall der Breite [mm] $(x_3-x_1)$. [/mm] Das heißt, das wahre Intervall ist um den Faktor [mm] \bruch{x_3-x_1}{2} [/mm] breiter als mein Intervall. Demnach ist auch die Fläche um diesen Faktor größer (verbreitert)! Somit gilt insgesamt:
[mm] $=\bruch{x_3-x_1}{2}\left(\bruch{1}{3}f_1+\bruch{4}{3}f_2+\bruch{1}{3}f_3\right)$
[/mm]
Und was ist mit der Verschiebung auf der x-Achse? Nichts! Denn schau dir die Formel an! Sie ist nur von dem Abstand zwischen [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] abhängig. Man könnte die ganze Funktion ja so auf der x-Achse verschieben, daß [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] wieder symmetrisch um die y-Achse wären. Dan stünde da aber: [mm] $(x_3-t)-(x_1-t)=x_3-x_1$ [/mm] , also wieder das gleiche.
So, damit sind wir jetzt fertig. Obwohl, du kannst deine Funktion jetzt ja auch in viele kleine Stücke schneiden, und mehrere Parabeln hineinsetzen, also jeweils so: [mm] $[x_1,x_2,x_3][x_3,x_4,x_5][x_5,x_6,x_7]$
[/mm]
Dann gäbe es drei Parabeln:
[mm]\bruch{x_3-x_1}{2}\left(\bruch{1}{3}f_1+\bruch{4}{3}f_2+\bruch{1}{3}f_3\right)+
\bruch{x_5-x_3}{2}\left(\bruch{1}{3}f_3+\bruch{4}{3}f_4+\bruch{1}{3}f_5\right)+
\bruch{x_5-x_3}{2}\left(\bruch{1}{3}f_5+\bruch{4}{3}f_6+\bruch{1}{3}f_7\right)[/mm]
Wenn man jetzt bedenkt, daß [mm] \bruch{x_5-x_3}{2}=B [/mm] eigentlich immer der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten ist (hab ich nicht gesagt, daß die Abstände immer gleich sind?), kann man schreiben:
[mm]B\left(\bruch{1}{3}f_1+\bruch{4}{3}f_2+\bruch{1}{3}f_3\right)+
B\left(\bruch{1}{3}f_3+\bruch{4}{3}f_4+\bruch{1}{3}f_5\right)+
B\left(\bruch{1}{3}f_5+\bruch{4}{3}f_6+\bruch{1}{3}f_7\right)[/mm]
[mm]B\left(\bruch{1}{3}f_1+\bruch{4}{3}f_2+\bruch{1}{3}f_3+
\bruch{1}{3}f_3+\bruch{4}{3}f_4+\bruch{1}{3}f_5+
\bruch{1}{3}f_5+\bruch{4}{3}f_6+\bruch{1}{3}f_7\right)[/mm]
[mm]B\left(\bruch{1}{3}f_1+\bruch{4}{3}f_2+\bruch{2}{3}f_3+
\bruch{4}{3}f_4+\bruch{2}{3}f_5+
\bruch{4}{3}f_6+\bruch{1}{3}f_7\right)[/mm]
Also, auf diese Weise verkettet sich das. Nimm beliebig viele Punkte, setze vor den ersten und letzten jeweils 1/3, und vor die anderen abwechseln 2/3 und 4/3.
Zugegeben, das war jetzt ziemlich viel auf einmal, aber das Prinzip ist recht leicht. Parabel duchlegen, und Fläche darunter ausrechnen. Mach dir das klar, und guck dann auf die Formeln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 08.01.2007 | | Autor: | M.M. |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung erst einmal!
$ [mm] =\bruch{x_3-x_1}{2}\left(\bruch{1}{3}f_1+\bruch{4}{3}f_2+\bruch{1}{3}f_3\right) [/mm] $
Ist das also jetzt die Formel, die ich immer anwenden kann?
Wieso teilt man diese beliebige Breite x3-x1 noch mal durch 2?
Wenn das die Formel ist, was setzte ich dort ein? (Ich weiß, ich komm jetzt vollkommen blöd rüber, aber das muss ich in Kauf nehmen)
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Naja, so blöd ist das nicht. Wenn man das das erste Mal macht, steht man da ziemlich auf dem Schlauch, weil es schon etwas verwirrend ist.
Nun, im Zähler steht doch die wahre Intervallbreite. Mein Intervall [-1,1] hat aber die Breite 2, daher die 2 im Nenner.
Was du jetzt einsetzt?
Zeichne einfach eine geschwungene Linie ein Koordinatensystem. Das ist dann irgendeine Funktion, die du nicht kennst.
Wähle einen Bereich, in dem du sie integrieren willst. Zerlege das x-Intervall dann in eine grade Anzahl gleich großer Teilintervalle. Und jetzt lies die y-Werte der Kurve an den Intervallgrenzen ab, und nummeriere sie mit [mm] f_1...f_n [/mm] durch. Die oberste und unterste Grenze gehört mit dazu!
So bekommst du deine f-Werte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Di 09.01.2007 | | Autor: | M.M. |
Ok, ich denke, ich kann es jetzt nachvollziehen.
Vielen Dank für deine Hilfe, Marie
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