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Simpsonsregel Mittelwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Fr 23.09.2016
Autor: Ulquiorra

Aufgabe
Der Mittelwert einer Funktion im Intervall [𝑎; 𝑏] wird nach der Formel
M = [mm] \integral_{a}^{b}{xf(x) dx} [/mm]
berechnet.
Bestimmen Sie den Mittelwert von
f(x) = [mm] e^{-x^2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0 ; 1]
mit Hilfe der Simpson’schen Formel mit insgesamt 5 Stützstellen, d.h. 2𝑛 = 4 einfachen Streifen. Berechnen Sie dann das Integral exakt und vergleichen Sie den exakten Wert mit dem Näherungswert.
Runden Sie bis auf vier Nachkommastellen.

Hallo,
ich wollte diese Formel benutzen.

[mm] S_n [/mm] (f) = [mm] \bruch{h}{6} [/mm] ( f (a) + 4 f [mm] (x_1) [/mm] + 2 f [mm] (x_2) [/mm] + 4 f [mm] (x_3) [/mm] + 2 f [mm] (x_4) [/mm] + 4 f [mm] (x_5) [/mm] +  f (b) )

[mm] x_k [/mm] habe ich so berechnet
[mm] x_k [/mm] = a + k * h

h habe ich so berechnet
h = [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm]

n ist gegeben aus dem Text. 2n = 4, also ist n =2.

Doch ich komm nicht auf das richtige Ergebnis. Mit der Integralformel kriege ich das exakte Ergebnis raus, aber das Näherungsergebnis ist bei mir falsch.
exakte Lösung = 0,3161 und das Näherungsergebnis müsste 0,3163  sein, aber bei mir kommt was ganz anderes raus.

Vielleicht benutze ich auch die Simpsonsformel falsch, da es das erste mal ist, dass ich sie benutze.

        
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Fr 23.09.2016
Autor: fred97


> Der Mittelwert einer Funktion im Intervall [𝑎; 𝑏]
> wird nach der Formel
>  M = [mm]\integral_{a}^{b}{xf(x) dx}[/mm]
>  berechnet.
>  Bestimmen Sie den Mittelwert von
>  f(x) = [mm]e^{-x^2}[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0 ; 1]
>  mit Hilfe der Simpson’schen Formel mit insgesamt 5
> Stützstellen, d.h. 2𝑛 = 4 einfachen Streifen. Berechnen
> Sie dann das Integral exakt und vergleichen Sie den exakten
> Wert mit dem Näherungswert.
>  Runden Sie bis auf vier Nachkommastellen.
>  Hallo,
>  ich wollte diese Formel benutzen.
>  
> [mm]S_n[/mm] (f) = [mm]\bruch{h}{6}[/mm] ( f (a) + 4 f [mm](x_1)[/mm] + 2 f [mm](x_2)[/mm] + 4
> f [mm](x_3)[/mm] + 2 f [mm](x_4)[/mm] + 4 f [mm](x_5)[/mm] +  f (b) )

hier hast du schon 7 stützstellen !!

Fred


>  
> [mm]x_k[/mm] habe ich so berechnet
> [mm]x_k[/mm] = a + k * h
>  
> h habe ich so berechnet
>  h = [mm]\bruch{b-a}{n}[/mm]
>  
> n ist gegeben aus dem Text. 2n = 4, also ist n =2.
>
> Doch ich komm nicht auf das richtige Ergebnis. Mit der
> Integralformel kriege ich das exakte Ergebnis raus, aber
> das Näherungsergebnis ist bei mir falsch.
> exakte Lösung = 0,3161 und das Näherungsergebnis müsste
> 0,3163  sein, aber bei mir kommt was ganz anderes raus.
>  
> Vielleicht benutze ich auch die Simpsonsformel falsch, da
> es das erste mal ist, dass ich sie benutze.


Bezug
                
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Sa 24.09.2016
Autor: Ulquiorra

Hallo fred. Danke, ich wusste nicht dass f(a) und f(b) auch als Stützstellen gelten, aber nachdem ich [mm] f(x_5) [/mm] und [mm] f(x_4) [/mm] entfernt habe, kriege ich trotzdem ein falsches Ergebnis raus. Das ist das was ich als Zahlen eingegeben habe.

b=1 [mm] \Rightarrow [/mm] f(b) = [mm] e^{-{1}^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm]
a=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) = [mm] e^{-{0}^2} [/mm] = 1
h= [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1-0}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] x_k [/mm] = a + k * h
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \Rightarrow f(x_1) [/mm] = [mm] e^{-{\bruch{1}{2}}^2} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{2} \Rightarrow f(x_2) [/mm] = [mm] e^{-{\bruch{2}{2}}^2} [/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \Rightarrow f(x_3) [/mm] = [mm] e^{-{\bruch{3}{2}}^2} [/mm]

So das da steht: [mm] S_{n}(f) [/mm] = [mm] \bruch{1}{12} [/mm] ( 1 + 4  * [mm] e^{-{\bruch{1}{2}}^2} [/mm] + 2 * [mm] e^{-{\bruch{2}{2}}^2} [/mm] + 4 [mm] e^{-{\bruch{3}{2}}^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{e}) [/mm] = 0,74686

Hab das nochmal alles in symbolab eingegeben, so dass ihr, wenn ihr überprüfen wollt, nicht alles eingeben müsst. Hier der Link zur Berechnung:

https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%5Cleft(1%2B4%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%2B2%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%2B4%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%7D%2Be%5E%7B-1%7D%5Cright)

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Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Sa 24.09.2016
Autor: leduart

Hallo
ich denke du willst x*f(x) integrieren, nicht f(x)
Gruß leduart

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Simpsonsregel Mittelwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Sa 24.09.2016
Autor: Ulquiorra

Hallo,
ich dachte die Simpsonformel gibt mir schon den Mittelwert. Verstehe ich nicht. Also muss ich jetzt
[mm] S_{n}(f) [/mm] = [mm] \bruch{h}{6} [/mm] ( a*f(a) + 4 * [mm] x_1 [/mm] * [mm] f(x_1) [/mm] + 4 * [mm] x_2 [/mm] * [mm] f(x_2) [/mm] + 4 * [mm] x_3 [/mm] * [mm] f(x_3) [/mm] + b * f(b)) berechnen?
Weil integriert habe ich schon und das gab mir das exakte Ergebnis, doch man soll auch ein angenähertes Ergebnis ausrechnen und ich dachte die Simpsonformel gibt mir ein angenähertes Ergebnis und dass ich da nicht nochmal ein Faktor x dazufügen muss.

Gruß

Bezug
        
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Was für ein "Mittelwert" ?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Sa 24.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Der Mittelwert einer Funktion im Intervall [𝑎; 𝑏]
> wird nach der Formel
>  M = [mm]\integral_{a}^{b}{x f(x)\ dx}[/mm]
>  berechnet.               [haee]  [kopfschuettel]   [haee]



Hallo Ulquiorra

Schon diese Angabe erscheint mir rätselhaft !

1.)  Wenn tatsächlich einfach der Mittelwert der Funktion f über
dem Intervall  [a,b]  berechnet werden soll, dann wäre dies:

      $\ M\ =\ [mm] \frac{1}{b-a}\,*\, \integral_{a}^{b}{f(x)\ dx}$ [/mm]

2.)  Ich könnte mir allenfalls noch vorstellen, dass es um einen
gewissen "gewichteten" Mittelwert gehen soll, bei dem die
Funktion f die Rolle einer Dichtefunktion spielt.
Aber welches wäre dann die (weitere) Funktion, deren mittels f
gewichteter Mittelwert bestimmt sein soll ?

Könntest du uns also vielleicht die Originalaufgabe in ihrem
Zusammenhang mitteilen ?

LG  ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Sa 24.09.2016
Autor: Ulquiorra

Hallo,
also die Aufgabe habe ich 1:1 aus einer Probeklausur für Biotechnologen kopiert. Ob man eine andere Formel hätte verwenden sollen, kann ich nicht beurteilen. da meine mathematischen Kompetenzen sich beschränken. Sonst kann ich nur sagen, dass ich nie über dieses Thema unterrichtet wurde, sondern mit einem Freund versuche diese Aufgaben zu lösen und ich deswegen  bisher nur aus dem Netz mein Wissen beziehe.
Daher kann ich auch nicht sagen, ob sie den gewichteten Mittelwert meinte oder einen anderen Mittelwert. Doch das sind halt alles Aufgaben aus einer Probeklausur und da hätte ich gedacht, dass man doch eher eindeutig die Fragen stellt. Und ich weiß auch nicht ob ich die Datei veröffentlichen darf, also lass ich es fürs erste. Aber wie gesagt die Aufgabe wurde von mir 1:1 kopiert.

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Sa 24.09.2016
Autor: leduart

Halllo
egal ob das ein Mittelwert ist, die eigentliche Aufgabe ist\ integraö _ß^1 [mm] x*e^{-x^2/2} [/mm] dx zu berechnen. die Simpsonregel ist einfach ein weg ein Integral numerisch auszurechnen, die zu integrierende funktion ist hier [mm] x*e^{-x^2/2} [/mm]
eigentlich ist es besser, sich die Simpsonregel für eine  einziges Intervall bzw Streifen deiner 2 unterteilten Streifen zu merken:
S(f) = [mm] \frac{b-a}{6} \cdot \left( f(a)+4f \left( \frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right). [/mm]
dabei ist im ersten Schritt a=ß b=0,5 im zweiten a=0.5, b=2
die 2 Ergebnisse addieren, das kann man natürlich auch  in dem man die 2 direkt addiert, dann kommt f(0.5) 2 mal vor..
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 So 25.09.2016
Autor: Al-Chwarizmi

(Aufgabe ohne die verwirrende Erwähnung eines "Mittelwerts" formuliert:


>  M = [mm]\integral_{a}^{b}{xf(x) dx}[/mm]

>  Bestimmen Sie einen Näherungswert für dieses Integral mit der Funktion
>  f(x) = [mm]e^{-x^2}[/mm]
>  für x [mm]\in[/mm] [0 ; 1]
>  mit Hilfe der Simpson’schen Formel mit insgesamt 5
>  Stützstellen, d.h. 2𝑛 = 4 einfachen Streifen. Berechnen
>  Sie dann das Integral exakt und vergleichen Sie den exakten
>  Wert mit dem Näherungswert.
>  Runden Sie bis auf vier Nachkommastellen.

>  ich wollte diese Formel benutzen.
>  
> [mm]S_n[/mm] (f) = [mm]\bruch{h}{6}[/mm] ( f (a) + 4 f [mm](x_1)[/mm] + 2 f [mm](x_2)[/mm] + 4
> f [mm](x_3)[/mm] + 2 f [mm](x_4)[/mm] + 4 f [mm](x_5)[/mm] +  f (b) )


Wie schon Fred gemeldet hat, hast du hier zu viele Stützstellen genommen.



Für insgesamt 5 Stützstellen [mm] x_0 [/mm] (=a) ,  [mm] x_1 [/mm] , ...... , [mm] x_4 [/mm] (=b)
gilt für die Simpson-Näherung  S zum Integral  [mm] $\integral_{a}^{b} F(x)\,dx$ [/mm] :


    S =  [mm] $\frac{b-a}{1+4+2+4+1}\ [/mm] *\ [mm] (\, 1*F(x_0)+4*F(x_1)+2*F(x_2)+4*F(x_3)+1*F(x_4)\,)$ [/mm]

Bemerkung:   Für eine feinere Einteilung hätte man entsprechend einfach eine
Koeffizientenfolge  
1,4,2,4,2,4, ......... , 4,2,4,1

In deinem Beispiel wäre nun natürlich   $\ F(x)\ =\ x*f(x)\ =\  [mm] x*e^{-x^2}$ [/mm]

LG  ,   Al-Chwarizmi


Bezug
        
Bezug
Simpsonsregel Mittelwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Di 27.09.2016
Autor: Ulquiorra

Ok ich habs jetzt gelöst und verstanden. Danke an alle, die mir geholfen haben

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