Simultane Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen sie alle Lösungen [mm] x\in\IZ [/mm] der simultanen Kongruenzen
[mm] $x^2\equiv [/mm] -1 mod 5$
[mm] $3x\equiv [/mm] 2mod7$
[mm] $3^x\equiv3mod7$ [/mm] |
Hallo,
wir haben in der Vorlesung den chinesischen Restsatz besprochen und auch wie wir quadratische Kongruenzen lösen.
Aber was mir völlig fremd ist, ist die normale Kogruenz und die quadratische zu lösen. Ich denke das Problem könnte ich noch in den Griff bekommen. Aber die mit der Potenz hoch x bereitet mir echte Schwierigkeiten.
Wie löse ich das?
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Danke
dr_geissler
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 10.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen sie alle Lösungen [mm]x\in\IZ[/mm] der simultanen
> Kongruenzen
>
> [mm]x^2\equiv -1 mod 5[/mm]
>
> [mm]3x\equiv 2mod7[/mm]
>
> [mm]3^x\equiv3mod7[/mm]
> Hallo,
>
> wir haben in der Vorlesung den chinesischen Restsatz
> besprochen und auch wie wir quadratische Kongruenzen
> lösen.
>
> Aber was mir völlig fremd ist, ist die normale Kogruenz
> und die quadratische zu lösen. Ich denke das Problem
> könnte ich noch in den Griff bekommen. Aber die mit der
> Potenz hoch x bereitet mir echte Schwierigkeiten.
>
> Wie löse ich das?
>
>
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Fang einfach an!
[mm] $3^0=1$ [/mm] lässt bei Teilung durch 7 den Rest ...
[mm] $3^1=3$ [/mm] lässt bei Teilung durch 7 den Rest ...
[mm] $3^2=9$ [/mm] lässt ...
Da es bei Teilung durch 7 maximal 7 verschiedene Reste geben kann muss spätestens bei der 8. Potenz eine Wiederholung der bisherigen Reste beginnen.
Gruß Abakus
>
>
> Danke
> dr_geissler
|
|
|
| |
|
Das hat mir schon mal sehr geholfen.
Ich bin jetzt soweit:
[mm] $3^x\equiv [/mm] 3 (mod 7)$
daraus ergib sich [mm] 3^0,3^7,3^{13} [/mm] etc [mm] $\equiv [/mm] 3 (mod 7)$
dann ist [mm] $x\equiv [/mm] 1(mod 6)$
Für [mm] $x^2\equiv [/mm] -1 (mod 5)$ = [mm] $x^2\equiv [/mm] 4 (mod 5)$ und das ist nach der Legendre Kongruenz [mm] $x\equiv \pm [/mm] 2 (mod 5)$
Für [mm] $3x\equiv [/mm] 2 (mod 7)$ = [mm] $x\equiv \bruch{2+7}{3}(mod [/mm] 7)$ = [mm] $x\equiv [/mm] 3(mod 7)$
Stimmt das bis hierhin?
Habe ich die quadratische Kongruenz richtig aufgelöst?
muss ich die seperat lösen?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
> Das hat mir schon mal sehr geholfen.
>
> Ich bin jetzt soweit:
>
> [mm]3^x\equiv 3 (mod 7)[/mm]
>
> daraus ergib sich [mm]3^0,3^7,3^{13}[/mm] etc [mm]\equiv 3 (mod 7)[/mm]
>
> dann ist [mm]x\equiv 1(mod 6)[/mm]
>
>
> Für [mm]x^2\equiv -1 (mod 5)[/mm] = [mm]x^2\equiv 4 (mod 5)[/mm] und das ist
> nach der Legendre Kongruenz [mm]x\equiv \pm 2 (mod 5)[/mm]
>
> Für [mm]3x\equiv 2 (mod 7)[/mm] = [mm]x\equiv \bruch{2+7}{3}(mod 7)[/mm] =
> [mm]x\equiv 3(mod 7)[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin?
ja, alles richtig
>
> Habe ich die quadratische Kongruenz richtig aufgelöst?
> muss ich die seperat lösen?
hast du ja gemacht
>
> Vielen Dank
Und jetzt kommt der chinesische Restsatz ins Spiel, um die 3 Einzellösungen zu kombinieren.
>
>
>
|
|
|
|
