Sin-Cos-Funktion -Nullstellen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Di 25.12.2007 | | Autor: | tashu |
| Aufgabe | Nullstellen berechnen:
a) sin(x)+1
b) 0,5- cos(x) |
Hallo,
also ich komme überhaupt nicht weit. Ich weiß, dass die Nullstellen einer normalen Sinusfunktion x=k*pi sind, jedoch weiß ich nicht was ich damit anfangen soll. Ich kann mir nur graphisch die Nullstellen herleiten. Bei der b) ist es genauso, ich weiß nicht was ich mit der Formel für die Nullstellen der cos-funktion anfangen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 25.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Halllo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du sollst die Stellen finden, für die Gilt: sin(x)+1=0
sin(x)+1=0
[mm] \gdw [/mm] sin(x)=-1
Jetzt suchst du die erste Zahl, für die das gilt:
Das ist bei 270° im Winkelmass, also bei [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] im Bogenmass.
(Schnittpunkt rot und Violett)
Da die Sinusfunktion jetzt aber periordisch ist, und zwar mit der Periodenlänge [mm] 2\pi, [/mm] wiederholt sich das ganze also alle [mm] 2\pi.
[/mm]
Also sind die Zahlen:
[mm] \bruch{3}{2}\pi, [/mm]
[mm] \bruch{3}{2}\pi+2\pi
[/mm]
[mm] \bruch{3}{2}\pi+1*2\pi
[/mm]
...
[mm] \bruch{3}{2}\pi+k*2\pi
[/mm]
Zusammengefasst also alle Zahlen, die du wie folgt schreiben kannst
[mm] \bruch{3}{2}\pi+k*2\pi=\pi*(\bruch{3}{2}+2k), [/mm] k=1,2,...
Somit ist bei 1 die Lösungsmenge:
[mm] \IL=\{x\in\IR|x=\bruch{3}{2}*\pi+k*2\pi\, k=1,2,...}
[/mm]
Bei b ist das ganze etwas komplizierter, weil es in der ersten Periode (bis [mm] x=2\pi) [/mm] zwei Stellen gibt, an denen cos(x)=0,5 gilt, nämlich [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] und [mm] \bruch{5}{3}*\pi
[/mm]
(Schnittpunkte Blau und Grün)
ACh ja: hier das Bild dazu
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft das erstmal weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 25.12.2007 | | Autor: | tashu |
Also, ehrlich gesagt jetzt bin ich verwirrter als vorher. Kann ich das nicht rechnerisch lösen? Ich habe leider vergesen anzugeben, dass ich die Nullstellen nur in dem Bereich zwischen 0 und 2pi betrachten sollte. Also es ist mir klar, dass 3/2pi die Nullstelle bei der a) ist aber wie komm ich daraus (nur rechnerisch) ?
Danke für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 25.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei a)
[mm] \sin(x)+1=0
[/mm]
[mm] \gdw \sin(x)=-1
[/mm]
Jetzt werfe die Umkehrfunktion darauf, also arcsin.
[mm] \gdw \arcsin(sin(x))=\arcsin(1)
[/mm]
[mm] \gdw x=arcsin(1)=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
das Mit der Umkehrfunktion funktioniert genauso wie bei x²=1
x²=1
[mm] \gdw \wurzel{x²}=\wurzel{1}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm1
[/mm]
Ähnlich machst du es auch bei Teil b)
Marius
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