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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Singuläre Kovarianzmatrix
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Singuläre Kovarianzmatrix: Darstellung bekommen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Sa 17.10.2015
Autor: mikexx

Aufgabe
Moin, liebe Leute!

Es sei \left\{X_t,t\in T\right\} ein stationärer Prozess, so dass \text{Var}(X_t)<\infty für jedes t\in T. Die Autokovarianzfunktion \gamma(\cdot) von \left\{X_t\right\} ist definiert als
\displaystyle \gamma(h)=\text{Cov}(X_{h+t},X_t)~\forall h,t\in\mathbb{Z}.
Weiter gelte EX_t=0 für jedes t\in T.


Die folgende Aussage gibt einem Kriterien an die Hand, wann die Kovarianzmatrix nicht-singulär ist:

Wenn \gamma(0)>0 und \gamma(h)\to 0 für h\to\infty, dann ist die Kovarianzmatrix \Gamma_n=[\gamma(i-j)]_{i,j=1,\ldots,n} des Spaltenvektors (X_1,\ldots,X_n)' für jedes n nicht-singulär.


Man kann dies per Widerspruch beweisen, indem man annimmt, für ein $n$ sei [mm] $\Gamma_n$ [/mm] singulär und dies dann zum Widerspruch führt.


Der Beweis fängt so an:

Angenommen, dass \Gamma_n für ein n singulär ist. Da EX_t=0, existieren ein r\geq 1 und reelle Konstanten a_1,\ldots,a_r, sodass \Gamma_r nicht-singulär ist und
\displaystyle X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_j X_j.

(Den weiteren Beweis lasse ich weg.)


Unklar ist mir, wie ich
$$
[mm] X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j [/mm]
$$

bekomme.

Also zunächst ist mir Folgendes klar:

Nimmt man an, dass [mm] $\Gamma_n$ [/mm] singulär ist, dann bedeutet das ja, dass die Determinante 0 ist. Das wiederum bedeutet, dass es mindestens eine Spalte (eine Reihe) gibt, die eine Linearkombination der anderen Spalten (Reihen) ist.

Entfernt man diese Spalte (Reihe), erhält man [mm] $\Gamma_{n-1}$ [/mm] und wenn die Determinante dieser Matrix wieder 0 ist, wiederholt man das Ganze.
Am Ende landet man bei einer Kovarianzmatrix [mm] $\Gamma_r$ [/mm] für ein [mm] $r\geq [/mm] 1$, dessen Spalten alle linear unabhängig sind, d.h. dessen Determinante nicht verschwindet. Somit ist [mm] $\Gamma_r$ [/mm] singulär.


Ok, soweit so gut.

Mir ist aber völlig schleierhaft, wie man nun auf die Darstellung
$$
[mm] X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j [/mm]
$$

kommt.


________________

An der Stelle des Beweises wird auf die folgende Aussage verwiesen (was wohl heißt, dass man sie irgendwie benutzen kann/ soll, um diese Darstellung von [mm] $X_{r+1}$ [/mm] zu erhalten):


Ist X=(X_1,\ldots,X_n)' ein Zufallsvektor mit Kovarianzmatrix \Sigma, dann ist \Sigma singulär genau dann, wenn es einen Vektor b=(b_1,\ldots,b_n)'\in\mathbb{R}^n, b\neq 0, gibt, sodass \text{Var}(b'X)=0.


Leider sehe ich aber nicht, wie und ob das weiter hilft.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Viele Grüße

        
Bezug
Singuläre Kovarianzmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 17.10.2015
Autor: dennis2

Hi,

[mm] $\Gamma_{r+1}$ [/mm] ist singuläre Kovarianzmatrix zu [mm] $X=(X_1,\ldots,X_{r+1})'$. [/mm] Aus der allerletzten Aussage deines Posts folgt, dass es einen Vektor [mm] $b=(b_1,\ldots,b_{r+1})'\in\mathbb{R}^{r+1}$ [/mm] gibt, s.d. [mm] $\mathbb{V}(b'X)=0$. [/mm]

Was bedeutet es, dass $b'X$ Varianz 0 hat?

Bezug
                
Bezug
Singuläre Kovarianzmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Sa 17.10.2015
Autor: mikexx

Wenn eine Zufallsvariable Varianz 0 hat, so ist die fast sicher identisch mit ihrem Erwartungswert.

Das heißt hier:

[mm] $b'X=\sum_{j=1}^{r+1}b_jX_j=E(b'X)=0$ [/mm] fast sicher

dh

[mm] $b_{r+1}X_{r+1}=-\sum_{j=1}^r b_jX_j$ [/mm] fast sicher


kann man jetzt durch [mm] $b_{r+1}$ [/mm] dividieren, dh ist [mm] $b_{r+1}>0$? [/mm]

Wenn ja, hat man fast sicher

$$
[mm] X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j,~~~a_j=\frac{b_j}{b_{r+1}}. [/mm]
$$

Bezug
                        
Bezug
Singuläre Kovarianzmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Sa 17.10.2015
Autor: dennis2


> Wenn eine Zufallsvariable Varianz 0 hat, so ist die fast
> sicher identisch mit ihrem Erwartungswert.
>  
> Das heißt hier:
>  
> [mm]b'X=\sum_{j=1}^{r+1}b_jX_j=E(b'X)=0[/mm] fast sicher
>  
> dh
>  
> [mm]b_{r+1}X_{r+1}=-\sum_{j=1}^r b_jX_j[/mm] fast sicher
>  

Ja, so würde ich meinen.


> kann man jetzt durch [mm]b_{r+1}[/mm] dividieren, dh ist [mm]b_{r+1}>0[/mm]?

Damit man durch [mm] $b_{r+1}$ [/mm] dividieren kann, ist es ausreichend, dass [mm] $b_{r+1}\neq [/mm] 0$. Wieso willst du unbedingt haben, dass es positiv ist? Das ist hier nicht ersichtlich.

Dass [mm] $b_{r+1}\neq [/mm] 0$ aber schon. Denn angenommen, es wäre [mm] $b_{r+1}=0$. [/mm] Dann hätten wir [mm] $0=\mathbb{V}(\sum_{j=1}^{r+1}b_jX_j)=\mathbb{V}(\sum_{j=1}^{r}b_jX_j)$ [/mm] und somit nach dem von dir zitierten Satz, dass [mm] $\Gamma_r$ [/mm] singulär ist. [mm] $\Gamma_r$ [/mm] ist aber nicht-singulär. Also haben wir einen Widerspruch und somit [mm] $b_{r+1}\neq [/mm] 0$ (ob negativ oder positiv, ist hier egal). Du kannst also durch [mm] $b_{r+1}$ [/mm] dividieren.

> Wenn ja, hat man fast sicher
>
> [mm][/mm]
>  [mm]X_{r+1}=\sum_{j=1}^r a_jX_j,~~~a_j=\frac{b_j}{b_{r+1}}.[/mm]
> [mm][/mm]

Nicht ganz, du hast das Minus vergessen:

[mm] $a_j=-\frac{b_j}{b_{r+1}}, 1\leq j\leq [/mm] r$


Bezug
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