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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Kat86 |
| Aufgabe | Gegeben sei die DGL
[mm] y'(x)=y^3(x)*g(x) [/mm]
zum Anfangswert
[mm] y(0)=y_0 [/mm] > 0. |
Hallo,
die obige Aufgabe beschreibt eine gewöhnliche DGL, welche ich durch Trennung der Variablen lösen kann.
Zuvor muss ich jedoch den Fall
y(x)=0
ausschließen, bzw. eine gesonderte Fallunterscheidung vornehmen.
Ist es richtig, das ich in diesem Fall lediglich y(x) identisch 0 für alle x ausschließe? Was passiert wenn meine Funktion y(x) punktweise die Null annimmt?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Kat86
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 04.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die DGL
> [mm]y'(x)=y^3(x)*g(x)[/mm]
>
> zum Anfangswert
> [mm]y(0)=y_0[/mm] > 0.
> Hallo,
>
> die obige Aufgabe beschreibt eine gewöhnliche DGL, welche
> ich durch Trennung der Variablen lösen kann.
> Zuvor muss ich jedoch den Fall
>
> y(x)=0
>
> ausschließen, bzw. eine gesonderte Fallunterscheidung
> vornehmen.
Nein , das brauchst Du nicht. Gesucht ist doch eine differenzierbare Funktion y, welche der DGL $ [mm] y'(x)=y^3(x)\cdot{}g(x) [/mm] $ genügt und die Anfangsbedingung $ [mm] y(0)=y_0 [/mm] > 0$ erfüllt.
Da y stetig ist und y(0)>0 ist, gibt es ein r>0 mit:
y(x)>0 auf für jedes x [mm] \in [/mm] (-r,r)
FRED
>
> Ist es richtig, das ich in diesem Fall lediglich y(x)
> identisch 0 für alle x ausschließe? Was passiert wenn
> meine Funktion y(x) punktweise die Null annimmt?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Kat86
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mi 04.09.2013 | | Autor: | Kat86 |
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> Nein , das brauchst Du nicht. Gesucht ist doch eine
> differenzierbare Funktion y, welche der DGL
> [mm]y'(x)=y^3(x)\cdot{}g(x)[/mm] genügt und die Anfangsbedingung
> [mm]y(0)=y_0 > 0[/mm] erfüllt.
>
> Da y stetig ist und y(0)>0 ist, gibt es ein r>0 mit:
>
> y(x)>0 auf für jedes x [mm]\in[/mm] (-r,r)
>
> FRED
Danke für deine schnelle Antwort!
Ist die Funktion y(x) die ich als Lösung der Differentialgleichung erhalte dann auch nur auf diesem Intervall definiert?
Wenn ich mit der Funktion y(x) weiter rechne, kann ich dann auch im folgenden durch y(x) dividieren? Oder ist dann doch darauf zu achten,dass y(x) nicht punktweise Null wird?
Grüße
Kat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 04.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Nein , das brauchst Du nicht. Gesucht ist doch eine
> > differenzierbare Funktion y, welche der DGL
> > [mm]y'(x)=y^3(x)\cdot{}g(x)[/mm] genügt und die Anfangsbedingung
> > [mm]y(0)=y_0 > 0[/mm] erfüllt.
> >
> > Da y stetig ist und y(0)>0 ist, gibt es ein r>0 mit:
> >
> > y(x)>0 auf für jedes x [mm]\in[/mm] (-r,r)
> >
> > FRED
>
> Danke für deine schnelle Antwort!
>
> Ist die Funktion y(x) die ich als Lösung der
> Differentialgleichung erhalte dann auch nur auf diesem
> Intervall definiert?
Die Lösung y ist definiert auf dem größten Intervall , welches die 0 enthält und auf dem y nullstellenfrei ist.
> Wenn ich mit der Funktion y(x) weiter rechne, kann ich
> dann auch im folgenden durch y(x) dividieren?
Vonj was reden wir denn oben die ganze Zeit ????
> Oder ist dann
> doch darauf zu achten,dass y(x) nicht punktweise Null
> wird?
Was soll das den bedeuten ?
Löse mal das Anfangswertproblem, dann siehst Du, wo die Lösung existiert.
FRED
FRED
>
> Grüße
> Kat
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