matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesSingulärwertz., Faktorisierung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Singulärwertz., Faktorisierung
Singulärwertz., Faktorisierung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Singulärwertz., Faktorisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Mi 29.02.2012
Autor: paula_88

Aufgabe
Für die Matrix A ist eine Singulärwertzerlegung anzugeben.
[mm] A=\pmat{ 1 & \wurzel{3} \\ \wurzel{3} & -1 } [/mm]

Hallo an alle,
ich hatte bereits schon eine Singulärwertzerlegungsaufgabe im Forum besprochen und dachte eigentlich dass ich es verstanden hätte :-)

Zu der Aufgabe gab es einen Hinweis:
A hat die Faktorisierung
[mm] A=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }^{T} [/mm]

Ist die Faktorisierung was anderes als die Singulärwertzerlegung?

Ich habe [mm] AA^{T} [/mm] berechnet, was auch gleich [mm] A^{T}A [/mm] ist:
[mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm]

Die Eigenwerte dieses Produkts sind beide 3.

Berechnung Eigenvektoren:
[mm] (3-AA^{T})=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]
Heißt das, man kann beliebig Eigenvektoren bilden?
Z.B.: [mm] v_{1}=v_{2}=\vektor{1 \\ 1}?? [/mm]
Normiert wären die Vektoren somit [mm] v_{1}=v_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1} [/mm]

Somit wäre [mm] U=V=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm]

außerdem wäre [mm] S=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm]

Das gleicht alles so gar nicht der Faktorisierung und mein [mm] U^{T}SV\not=A [/mm]

Wo liegt mein Fehler bzw. was habe ich hier nicht kapiert? :-)

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mi 29.02.2012
Autor: fred97

Ist $T= [mm] \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] $, so gilt:

              Tx=3x  für jedes x [mm] \in \IR^2, [/mm]

also ist jedes (!) x [mm] \ne [/mm] 0 Eigenvektor von T.

FRED

Bezug
                
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mi 29.02.2012
Autor: paula_88

Vielen Dank für die Antwort, aber das hilft mir irgendwie nicht weiter :-S

> Ist [mm]T= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm], so gilt:
>  
> Tx=3x  für jedes x [mm]\in \IR^2,[/mm]
>  
> also ist jedes (!) x [mm]\ne[/mm] 0 Eigenvektor von T.

Damit sind meine Vektoren doch richtig, oder nicht?

>  
> FRED

Die restlichen Antworten sind leider noch offen :-)

Viele  Grüße


Bezug
                        
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mi 29.02.2012
Autor: MathePower

Hallo paula_88,

> Vielen Dank für die Antwort, aber das hilft mir irgendwie
> nicht weiter :-S
>  
> > Ist [mm]T= \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm], so gilt:
>  >  
> > Tx=3x  für jedes x [mm]\in \IR^2,[/mm]
>  >  
> > also ist jedes (!) x [mm]\ne[/mm] 0 Eigenvektor von T.
>  
> Damit sind meine Vektoren doch richtig, oder nicht?
>  
> >  

> > FRED
>
> Die restlichen Antworten sind leider noch offen :-)
>  


Die Matrix [mm]AA^T[/mm] bzw. [mm]A^TA[/mm] ergeben sich doch zu

[mm]\pmat{\red{4} & 0 \\ 0 & \red{4}}[/mm]

Dessen Eigenvektoren die Einheitsvektoren sind.


> Viele  Grüße

>


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:52 Do 01.03.2012
Autor: paula_88

Hallo,

>
> Die Matrix [mm]AA^T[/mm] bzw. [mm]A^TA[/mm] ergeben sich doch zu
>  
> [mm]\pmat{\red{4} & 0 \\ 0 & \red{4}}[/mm]

Oh ja, stimmt, wie doof.
Dann ist die Matrix der Singulärwerte:
[mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]

(oder muss einmal die negative udn einmal die positive Wurzel gezogen werden Sprich einmal -2??)

>  
> Dessen Eigenvektoren die Einheitsvektoren sind.

Genau, das bleiben ja trotzdem die gleichen und wenn man die Einheitsvektoren dann normiert:
[mm] U=V=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm]


Dann verstehe ich immernoch nicht, wie man auf die Faktorisierung
[mm] A=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{-\wurzel{3}}{2} }^{T} [/mm] kommen soll!??? Bzw wieso diese als Hinweis angegeben ist.

Vielen Dank für eure Geduld :-)  


Bezug
                                        
Bezug
Singulärwertz., Faktorisierung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Sa 03.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]