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| Aufgabe | $ N = [mm] \pmat [/mm] {0 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & -1 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 0} $
Berechnen Sie die SVD |
hi
ich habe hier im forum alles zum thema singulärwertzerlegung gelesen, habe seitenweise dazu gelesen, aber irgendwo hackts einfach...
$ N^TN = [mm] \pmat [/mm] {0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 1} $
Eigenwerte: $ [mm] \lambda_1 [/mm] = 1, [mm] \lamda_2 [/mm] = 1, [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$
Singulärwerte: [mm] $\sigma_1 [/mm] = 1, [mm] \sigma_2 [/mm] = 1, [mm] \sigma_3 [/mm] = 0$
Eigenvektoren: zu [mm] $\lambda_{1,2}: [/mm] ~ [mm] v_{1,2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}} [/mm] ; [mm] \lambda_3: [/mm] ~ [mm] v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
so, bis hierher ja kein thema, aber hatte ja noch nicht allzuviel mit singulärwertzerlegung zu tun 
zur Matrix V: ich weiß, dass die Spalten dieser Matrix aus normierten Eigenvektoren besteht. Gleichzeitig soll es eine ONB sein. Ich bin mir hier nicht ganz sicher, wie sie auszusehen hat. Da [mm] $v_1 [/mm] = [mm] v_2$ [/mm] habe ich 2 Eigenvektoren. Diese muss ich nun zu einer ONB des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] ergänzen, beispielsweise mit [mm] $e_3$:
[/mm]
$V = [mm] \pmat{0 & 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 1}$
[/mm]
Die Matrix [mm] $\Sigma$ [/mm] hat auf der Diaginalen die Singulärwerte:
[mm] $\Sigma [/mm] = [mm] \pmat [/mm] {1 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0&1&0 [mm] \\ [/mm] 0&0&0}$
ok - erstmal bis hierher. Ist das soweit korrekt?? Ich hoffe es, denn mein Gefühl sagt mir, es liegt an der Matrix U Deren Berechnung ist mir theoretisch klar. Aber das scheint mir hier etwas tricky zu sein.
Wenn bis hierhin alles stimmt versuche ich mich morgen mal an der Berechnung der Matrix U - ansonsten bitte Fehler / Verbesserungen meiner bisherigen Schritte angeben 
Vielen Dank & Gruß GB
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Hallo GreatBritain,
> [mm]N = \pmat {0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
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> Berechnen Sie die SVD
> hi
> ich habe hier im forum alles zum thema
> singulärwertzerlegung gelesen, habe seitenweise dazu
> gelesen, aber irgendwo hackts einfach...
>
> [mm]N^TN = \pmat {0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_1 = 1, \lamda_2 = 1, \lambda_3 = 0[/mm]
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> Singulärwerte: [mm]\sigma_1 = 1, \sigma_2 = 1, \sigma_3 = 0[/mm]
>
> Eigenvektoren: zu [mm]\lambda_{1,2}: ~ v_{1,2} = \vektor{0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}} ; \lambda_3: ~ v_3 = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 stimmen nicht:
Hier ist der Kern der Matrix
[mm]N^{T}N-E=\pmat {0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}-\pmat {1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat {-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
zu betrachten.
Hieraus erhältst Du 2 verschiedene Eigenvektoren.
>
> so, bis hierher ja kein thema, aber hatte ja noch nicht
> allzuviel mit singulärwertzerlegung zu tun
>
> zur Matrix V: ich weiß, dass die Spalten dieser Matrix aus
> normierten Eigenvektoren besteht. Gleichzeitig soll es eine
> ONB sein. Ich bin mir hier nicht ganz sicher, wie sie
> auszusehen hat. Da [mm]v_1 = v_2[/mm] habe ich 2 Eigenvektoren.
> Diese muss ich nun zu einer ONB des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] ergänzen,
> beispielsweise mit [mm]e_3[/mm]:
>
> [mm]V = \pmat{0 & 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 1}[/mm]
>
> Die Matrix [mm]\Sigma[/mm] hat auf der Diaginalen die
> Singulärwerte:
> [mm]\Sigma = \pmat {1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0}[/mm]
>
> ok - erstmal bis hierher. Ist das soweit korrekt?? Ich
> hoffe es, denn mein Gefühl sagt mir, es liegt an der Matrix
> U Deren Berechnung ist mir theoretisch klar. Aber das
> scheint mir hier etwas tricky zu sein.
>
> Wenn bis hierhin alles stimmt versuche ich mich morgen mal
> an der Berechnung der Matrix U - ansonsten bitte Fehler /
> Verbesserungen meiner bisherigen Schritte angeben
>
> Vielen Dank & Gruß GB
Gruß
MathePower
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> Hallo GreatBritain,
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> > [mm]N = \pmat {0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> >
> > Berechnen Sie die SVD
> > hi
> > ich habe hier im forum alles zum thema
> > singulärwertzerlegung gelesen, habe seitenweise dazu
> > gelesen, aber irgendwo hackts einfach...
> >
> > [mm]N^TN = \pmat {0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> >
> > Eigenwerte: [mm]\lambda_1 = 1, \lamda_2 = 1, \lambda_3 = 0[/mm]
> >
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> > Singulärwerte: [mm]\sigma_1 = 1, \sigma_2 = 1, \sigma_3 = 0[/mm]
>
> >
> > Eigenvektoren: zu [mm]\lambda_{1,2}: ~ v_{1,2} = \vektor{0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}} ; \lambda_3: ~ v_3 = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
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> Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 stimmen nicht:
>
> Hier ist der Kern der Matrix
>
> [mm]N^{T}N-E=\pmat {0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}-\pmat {1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}=\pmat {-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> zu betrachten.
>
> Hieraus erhältst Du 2 verschiedene Eigenvektoren.
*argh* - dummer fehler... man kann sich das leben auch selbst schwer machen, echt.
danke schön für den hinweis. werd das ganze dann morgen nochmal probieren.
>
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> >
> > so, bis hierher ja kein thema, aber hatte ja noch nicht
> > allzuviel mit singulärwertzerlegung zu tun
> >
> > zur Matrix V: ich weiß, dass die Spalten dieser Matrix aus
> > normierten Eigenvektoren besteht. Gleichzeitig soll es eine
> > ONB sein. Ich bin mir hier nicht ganz sicher, wie sie
> > auszusehen hat. Da [mm]v_1 = v_2[/mm] habe ich 2 Eigenvektoren.
> > Diese muss ich nun zu einer ONB des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] ergänzen,
> > beispielsweise mit [mm]e_3[/mm]:
> >
> > [mm]V = \pmat{0 & 1 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 1}[/mm]
>
> >
> > Die Matrix [mm]\Sigma[/mm] hat auf der Diaginalen die
> > Singulärwerte:
> > [mm]\Sigma = \pmat {1 & 0 & 0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0}[/mm]
> >
> > ok - erstmal bis hierher. Ist das soweit korrekt?? Ich
> > hoffe es, denn mein Gefühl sagt mir, es liegt an der Matrix
> > U Deren Berechnung ist mir theoretisch klar. Aber das
> > scheint mir hier etwas tricky zu sein.
> >
> > Wenn bis hierhin alles stimmt versuche ich mich morgen mal
> > an der Berechnung der Matrix U - ansonsten bitte Fehler /
> > Verbesserungen meiner bisherigen Schritte angeben
> >
> > Vielen Dank & Gruß GB
>
>
> Gruß
> MathePower
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so - ausgeruht mit erholtem hirn also nochmal:
$ N^TN = [mm] \pmat [/mm] {0 & 0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 1 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0 & 1} $
Eigenwerte: $ [mm] \lambda_1 [/mm] = 1, [mm] \lamda_2 [/mm] = 1, [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$
Singulärwerte: [mm] $\sigma_1 [/mm] = 1, [mm] \sigma_2 [/mm] = 1, [mm] \sigma_3 [/mm] = 0$
Eigenvektoren: zu [mm] $\lambda_{1,2}: [/mm] ~ [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ~ [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}; \lambda_3: ~v_3 [/mm] = [mm] \vektor [/mm] {1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0}$
[mm] $\Rightarrow [/mm] V = [mm] \pmat {0&0&1\\1&0&0\\0&1&0} \text{bzw.}~ V^T= \pmat{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}$
[/mm]
[mm] $\Sigma [/mm] = [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$
[/mm]
Matrix U: [mm] $u_i [/mm] = [mm] \frac{1}{\sigma_i} \cdot [/mm] N [mm] \cdot v_i$
[/mm]
[mm] $u_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
[mm] $u_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\-1\\0}$
[/mm]
so, sehe ich das richtig: [mm] $u_3$ [/mm] kann ich nicht berechnen, da [mm] $\sigma_3 [/mm] = 0$. Also muss ich [mm] $u_1, u_2$ [/mm] zu einer ONB ergänzen, z.B. mit [mm] $u_3 [/mm] = [mm] e_3$ [/mm] ?
Dann wäre
$U = [mm] \pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1}$
[/mm]
Und die Singulärwertzerlegung ist dann einfach noch [mm] $A=USV^T$
[/mm]
Stimmt meine SVD, v.a. die Berechnung meiner Matrix U?
Danke & Gruß, GB
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Hallo GreatBritain,
> so - ausgeruht mit erholtem hirn also nochmal:
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> [mm]N^TN = \pmat {0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
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> Eigenwerte: [mm]\lambda_1 = 1, \lamda_2 = 1, \lambda_3 = 0[/mm]
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> Singulärwerte: [mm]\sigma_1 = 1, \sigma_2 = 1, \sigma_3 = 0[/mm]
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> Eigenvektoren: zu [mm]\lambda_{1,2}: ~ v_1 = \vektor{0 \\ 1 \\ 0} ~ v_2 = \vektor{0 \\ 0 \\ 1}; \lambda_3: ~v_3 = \vektor {1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow V = \pmat {0&0&1\\1&0&0\\0&1&0} \text{bzw.}~ V^T= \pmat{0&1&0\\0&0&1\\1&0&0}[/mm]
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> [mm]\Sigma = \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}[/mm]
>
> Matrix U: [mm]u_i = \frac{1}{\sigma_i} \cdot N \cdot v_i[/mm]
> [mm]u_1 = \vektor{1\\0\\0}[/mm]
>
> [mm]u_2 = \vektor{0\\-1\\0}[/mm]
>
> so, sehe ich das richtig: [mm]u_3[/mm] kann ich nicht berechnen, da
> [mm]\sigma_3 = 0[/mm]. Also muss ich [mm]u_1, u_2[/mm] zu einer ONB ergänzen,
> z.B. mit [mm]u_3 = e_3[/mm] ?
> Dann wäre
> [mm]U = \pmat{1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1}[/mm]
>
> Und die Singulärwertzerlegung ist dann einfach noch
> [mm]A=USV^T[/mm]
>
> Stimmt meine SVD, v.a. die Berechnung meiner Matrix U?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke & Gruß, GB
Gruß
MathePower
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