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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mo 05.01.2009 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Gegeben seien die durch
(a) [mm] $f(z)=\frac{\sin z}{z-\pi}$, $z\in\mathbb{C}\setminus \left\{\pi\right\}$,
[/mm]
(b) [mm] $f(z)=\tan [/mm] z$, [mm] $z\in\mathbb{C}\setminus\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}$
[/mm]
(c) [mm] $f(z)=\frac{1}{z^2}+\exp \frac{1}{z}$, $z\in\mathbb{C}^*$
[/mm]
definierten Funktionen. Untersuchen Sie, um was für Singularitäten es sich jeweils handelt. Falls Pole vorliegen, so bestimmen Sie die Polstellenordnung. |
Hallo zusammen,
wollte hier kurz meine Lösungsansätze posten und wäre dankbar, wenn jemand diese kurz kommentieren könnte.
zu (a): [mm] $\sin [/mm] z$ ist in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorph, die Funktion [mm] $\frac{1}{z-\pi}$ [/mm] ist als rationale Funktion in [mm] $\mathbb{C}\setminus\left\{\pi\right\}$ [/mm] holomorph. $f$ besitzt demnach in [mm] $\pi$ [/mm] eine Singularität. Da [mm] $(z-\pi)$ [/mm] in [mm] $\pi$ [/mm] eine Nullstelle hat, würde ich vermuten, dass [mm] $\pi$ [/mm] ein Pol der Ordnung $1$ ist.
zu (b): [mm] $f=\frac{\sin z}{\cos z}$, [/mm] die Kosinus-Funktion ist in den Werten [mm] $\pi/2 +k\pi$, $k\in\mathbb{N}$ [/mm] nicht holomorph, also stellen diese Werte die Singularitäten von $f$ dar.
zu (c): der erste Term besitzt als rationale Funktion die Singularität $0$, der zweite Term ebenfalls. Beide Sing. sind auch nicht hebbar.
Wie kann ich denn bei den übrigen Funktionen zeigen, ob es eine hebbare Singularität, ein Pol oder eine wesentlich Sing. ist?
Vielen Dank für Eure Kommentare und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 05.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben seien die durch
> (a) [mm]f(z)=\frac{\sin z}{z-\pi}[/mm], [mm]z\in\mathbb{C}\setminus \left\{\pi\right\}[/mm],
>
> (b) [mm]f(z)=\tan z[/mm],
> [mm]z\in\mathbb{C}\setminus\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}[/mm]
> (c) [mm]f(z)=\frac{1}{z^2}+\exp \frac{1}{z}[/mm], [mm]z\in\mathbb{C}^*[/mm]
> definierten Funktionen. Untersuchen Sie, um was für
> Singularitäten es sich jeweils handelt. Falls Pole
> vorliegen, so bestimmen Sie die Polstellenordnung.
> Hallo zusammen,
>
> wollte hier kurz meine Lösungsansätze posten und wäre
> dankbar, wenn jemand diese kurz kommentieren könnte.
>
> zu (a): [mm]\sin z[/mm] ist in [mm]\mathbb{C}[/mm] holomorph, die Funktion
> [mm]\frac{1}{z-\pi}[/mm] ist als rationale Funktion in
> [mm]\mathbb{C}\setminus\left\{\pi\right\}[/mm] holomorph. [mm]f[/mm] besitzt
> demnach in [mm]\pi[/mm] eine Singularität. Da [mm](z-\pi)[/mm] in [mm]\pi[/mm] eine
> Nullstelle hat, würde ich vermuten, dass [mm]\pi[/mm] ein Pol der
> Ordnung [mm]1[/mm] ist.
Welchen Wert hat denn der Zähler [mm] $\sin [/mm] z$ an der Stelle [mm] $z=\pi$? [/mm]
>
> zu (b): [mm]f=\frac{\sin z}{\cos z}[/mm], die Kosinus-Funktion ist
> in den Werten [mm]\pi/2 +k\pi[/mm], [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] nicht holomorph,
Die Cosinusfunktion ist in ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph. Du meinst, dass sie in den Werten [mm]\pi/2 +k\pi[/mm] Nullstellen hat. Welche Ordnung haben diese Nullstellen?
> also stellen diese Werte die Singularitäten von [mm]f[/mm] dar.
Das ist richtig, aber welcher Art sind diese Singularitäten?
> zu (c): der erste Term besitzt als rationale Funktion die
> Singularität [mm]0[/mm], der zweite Term ebenfalls. Beide Sing. sind
> auch nicht hebbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich denn bei den übrigen Funktionen zeigen, ob es
> eine hebbare Singularität, ein Pol oder eine wesentlich
> Sing. ist?
Eine hebbare Singularität in [mm] $z_0$ [/mm] liegt vor, wenn f in einer punktierten Umgebung der Singularität [mm] $z_0$ [/mm] holomorph und an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] holomorph (es reicht sogar stetig) fortsetzbar ist.
Daraus folgt: wenn f von der Form [mm] $f(z)=\bruch{g(z)}{h(z)}$ [/mm] ist, wobei g und h in einer Umgebung von [mm] $z_0$ [/mm] (inklusive [mm] $z_0$) [/mm] holomorph sind und [mm] $h(z_0)=0$ [/mm] mit Nullstellenordnung k ist, dann hat f eine hebbare Singularität, wenn g eine Nullstelle in [mm] $z_0$ [/mm] mit Ordnung [mm] $\ge [/mm] k$ hat.
Ein Pol von f an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] liegt vor, wenn es eine Zahl $k>0$ gibt, sodass [mm] $(z-z_0)^kf(z)$ [/mm] an [mm] $z_0$ [/mm] eine hebbare Singularität hat. Die kleinste solche Zahl ist die Ordnung des Pols. Aus dem vorher Gesagten folgt, dass $f=g/h$ einen Pol hat, wenn die Nullstellenordnung von h in [mm] $z_0$ [/mm] größer ist als die Nullstellenordnung von g in [mm] $z_0$.
[/mm]
Eine andere Möglichkeit, den Typ der Singularität zu bestimmen, ist, die Laurententwicklung anzuschauen. Zum Beispiel bekommst du die Laurententwicklung von [mm] $\exp(1/z)$ [/mm] in 0 einfach durch Einsetzen von $1/z$ in die Taylorentwicklung der Exponentialfunktion.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 07.01.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo Rainer,
erstmal vielen Dank für Deine Antwort!
zu a)
[mm] \sin [/mm] z besitzt in [mm] \pi [/mm] eine Nullstelle, dann folgt nach dem von Dir Gesagten bzw. dem Riemannschen Fortsetzungssatz, dass die Singularität in [mm] \pi [/mm] hebbar ist.
zu b)
[mm] \cos [/mm] z ergibt abgeleitet [mm] -\sin [/mm] z, die Sinusfunktion hat an den Nullstellen der Kosinus-Funktion keine Nullstelle, demnach sind alle Nullstellen von [mm] \cos [/mm] z von der Ordnung 1. Demnach hätte doch [mm] \tan [/mm] z in den besagten Singularitäten jeweils einen Pol 1. Ordnung oder übersehe ich da etwas?
Viele Grüße
Gregor
> Hallo!
>
> > Gegeben seien die durch
> > (a) [mm]f(z)=\frac{\sin z}{z-\pi}[/mm], [mm]z\in\mathbb{C}\setminus \left\{\pi\right\}[/mm],
>
> >
> > (b) [mm]f(z)=\tan z[/mm],
> >
> [mm]z\in\mathbb{C}\setminus\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}[/mm]
> > (c) [mm]f(z)=\frac{1}{z^2}+\exp \frac{1}{z}[/mm],
> [mm]z\in\mathbb{C}^*[/mm]
> > definierten Funktionen. Untersuchen Sie, um was für
> > Singularitäten es sich jeweils handelt. Falls Pole
> > vorliegen, so bestimmen Sie die Polstellenordnung.
> > Hallo zusammen,
> >
> > wollte hier kurz meine Lösungsansätze posten und wäre
> > dankbar, wenn jemand diese kurz kommentieren könnte.
> >
> > zu (a): [mm]\sin z[/mm] ist in [mm]\mathbb{C}[/mm] holomorph, die Funktion
> > [mm]\frac{1}{z-\pi}[/mm] ist als rationale Funktion in
> > [mm]\mathbb{C}\setminus\left\{\pi\right\}[/mm] holomorph. [mm]f[/mm] besitzt
> > demnach in [mm]\pi[/mm] eine Singularität. Da [mm](z-\pi)[/mm] in [mm]\pi[/mm] eine
> > Nullstelle hat, würde ich vermuten, dass [mm]\pi[/mm] ein Pol der
> > Ordnung [mm]1[/mm] ist.
>
> Welchen Wert hat denn der Zähler [mm]\sin z[/mm] an der Stelle
> [mm]z=\pi[/mm]?
>
> >
> > zu (b): [mm]f=\frac{\sin z}{\cos z}[/mm], die Kosinus-Funktion ist
> > in den Werten [mm]\pi/2 +k\pi[/mm], [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] nicht holomorph,
>
> Die Cosinusfunktion ist in ganz [mm]\IC[/mm] holomorph. Du meinst,
> dass sie in den Werten [mm]\pi/2 +k\pi[/mm] Nullstellen hat. Welche
> Ordnung haben diese Nullstellen?
>
> > also stellen diese Werte die Singularitäten von [mm]f[/mm] dar.
>
> Das ist richtig, aber welcher Art sind diese
> Singularitäten?
>
> > zu (c): der erste Term besitzt als rationale Funktion die
> > Singularität [mm]0[/mm], der zweite Term ebenfalls. Beide Sing. sind
> > auch nicht hebbar.
>
>
>
> > Wie kann ich denn bei den übrigen Funktionen zeigen, ob es
> > eine hebbare Singularität, ein Pol oder eine wesentlich
> > Sing. ist?
>
> Eine hebbare Singularität in [mm]z_0[/mm] liegt vor, wenn f in einer
> punktierten Umgebung der Singularität [mm]z_0[/mm] holomorph und an
> der Stelle [mm]z_0[/mm] holomorph (es reicht sogar stetig)
> fortsetzbar ist.
>
> Daraus folgt: wenn f von der Form [mm]f(z)=\bruch{g(z)}{h(z)}[/mm]
> ist, wobei g und h in einer Umgebung von [mm]z_0[/mm] (inklusive
> [mm]z_0[/mm]) holomorph sind und [mm]h(z_0)=0[/mm] mit Nullstellenordnung k
> ist, dann hat f eine hebbare Singularität, wenn g eine
> Nullstelle in [mm]z_0[/mm] mit Ordnung [mm]\ge k[/mm] hat.
>
> Ein Pol von f an der Stelle [mm]z_0[/mm] liegt vor, wenn es eine
> Zahl [mm]k>0[/mm] gibt, sodass [mm](z-z_0)^kf(z)[/mm] an [mm]z_0[/mm] eine hebbare
> Singularität hat. Die kleinste solche Zahl ist die Ordnung
> des Pols. Aus dem vorher Gesagten folgt, dass [mm]f=g/h[/mm] einen
> Pol hat, wenn die Nullstellenordnung von h in [mm]z_0[/mm] größer
> ist als die Nullstellenordnung von g in [mm]z_0[/mm].
>
> Eine andere Möglichkeit, den Typ der Singularität zu
> bestimmen, ist, die Laurententwicklung anzuschauen. Zum
> Beispiel bekommst du die Laurententwicklung von [mm]\exp(1/z)[/mm]
> in 0 einfach durch Einsetzen von [mm]1/z[/mm] in die
> Taylorentwicklung der Exponentialfunktion.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
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