Sinus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Di 09.07.2013 | | Autor: | Richler |
| Aufgabe | Ich habe die folgende Matrix aus [mm] \IC [/mm] gegeben :
A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] . Nun soll ich sin(A) berechnen. |
Hallo, ich habe leider absolut keine Ahnung wie man den Sinus berechnet. Ich habe schon sehr viel nachgeschaut und leider Nichts dazu gefunden, bis auf eine Ausnahme: sin(A) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] sin( [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }) \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] .
Wieso dies aber gilt, das weiß ich nicht und ich weiß dann trotzdem nicht, wie ich den Sinus von einem Jordanblock berechne =( .
Liebe Grüße
Richler
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:03 Di 09.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
also wenn man die Matrix A mal explizit ausrechnet, dann erhält man doch die Nullmatrix...
Da sollte wohl [mm] \sin(A)=0 [/mm] sein....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 Di 09.07.2013 | | Autor: | Richler |
Also ich sehe gerade, dass ich oben einen kleinen Fehler in der Aufgabenstellung habe, da A wie folgt aussieht:
A = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wenn man dies ausmultipliziert, dann kommt [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] .
Nun , um nochmal mein Problem zu erklären: Ich soll sin(A) berechnen, wobei A in [mm] \IC [/mm] ist. Ich habe leider keine Ahnung, wie man das macht. Habe schon viel in Büchern und im Internet recherchiert, aber ohne jeglichen Erfolg. Habe nur herausgefunden, dass
sin(A) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] sin [mm] (\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }) \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Weiß jedoch nicht wieso das gilt, glaube aber das hat irgendwas mit der Exponentialfunktion zu tun. Trotzdem weiß ich nun nicht, wie man den Sinus von einem Jordanblock berechnet.
Richler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:36 Di 09.07.2013 | | Autor: | Richler |
Habe das mal mit wolframalpha gemacht und danach sind [mm] sin(\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] ) [mm] \not= \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] sin [mm] (\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }) \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
Du wirst Wolfram falsch gefüttert haben, oder Wolfram kann's nicht.
LG Angela
|
|
|
| |
|
> A = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Wenn man dies ausmultipliziert, dann kommt [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
Du hast die Matrix A bereits zerlegt in [mm] A=S^{-1}NS, [/mm] wobei N eine nilpotente Matrix ist.
> .
>
> Habe
> nur herausgefunden, dass
>
> sin(A) = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
> sin [mm](\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }) \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm],
daß also [mm] sin(A)=S^{-1}sin(N)S [/mm] ist.
> Weiß jedoch nicht wieso das gilt,
1. Wie lautet die Reihendarstellung des sin?
2. Was ergibt [mm] A^k?
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 09.07.2013 | | Autor: | Richler |
[mm] A^{k} [/mm] = 0 , für k [mm] \ge [/mm] 5 , da N nilpotent ist.
Die Reihendarstelung vom Sinus sieht wie folgt aus: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{A^{2n +1}}{(2n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{A}{1!} [/mm] - [mm] \bruch{A^{3}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{A^{5}}{5!} [/mm] - ... = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1/6 & 0 & -1/6 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] = S [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{N^{2n +1}}{(2n+1)!} S^{-1}
[/mm]
Also ist sin (A) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1/6 & 0 & -1/6 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] ?
liebe Grüße und danke für deine Hilfe =)
|
|
|
| |
|
> [mm]A^{k}[/mm] = 0 , für k [mm]\ge[/mm] 5 , da N nilpotent ist.
>
> Die Reihendarstelung vom Sinus sieht wie folgt aus:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{A^{2n +1}}{(2n+1)!}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{1!}[/mm] - [mm]%255Cbruch%257BA%255E%257B3%257D%257D%257B3!%257D[/mm] + [mm]\bruch{A^{5}}{5!}[/mm] - ...
> = S [mm] \red{[}\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{N^{2n +1}}{(2n+1)!} \red{]}S^{-1}
[/mm]
Ja.
Beachte die Klammern, die ich eingefügt habe,
sie vereinfachen die Berechnung.
[mm] sin(A)=S^{-1}*(\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }-1/3\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 })*S=
[/mm]
[mm] S^{-1}*\pmat{ 0 & 1 & 0 & -1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1/3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }*S
[/mm]
Die Multiplikation führe ich nicht mehr aus.
Das Prinzip ist erkannt, mein Job getan - und multiplizieren kannst Du ja.
LG Angela
>
> Also ist sin (A) = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1/6 & 0 & -1/6 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> ?
>
> liebe Grüße und danke für deine Hilfe =)
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 09.07.2013 | | Autor: | Richler |
danke =)
|
|
|
|
