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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Fr 19.09.2014 | | Autor: | Jojia |
Hallo Leute,
ich würde gerne wissen ob ich eine sinus Funktion generieren kann, die einen linearen chirp mit der Frequenz [mm] f(t)=f_0+kt [/mm] ab dem Zeitpunkt [mm] t_0\not=0 [/mm] erzeugt. Für den Fall [mm] t_0=0 [/mm] kenn ich die Formel. Nämlich
[mm] x(t)=sin(2\pi\integral_{0}^{t}{f(t') dt'})=sin(2\pi\integral_{0}^{t}{(f_0+kt')dt'})=sin(2\pi(f_0t+\bruch{1}{2}kt^2))
[/mm]
Das ergibt einen schönen linearen chirp der bei [mm] t_0=0 [/mm] beginnt. Gibt es eine Formel um den Chirp bei [mm] t_0\not=0 [/mm] beginnen zu lassen und von $t=0$ bis [mm] t=t_0 [/mm] einen ganz normalen sinus mit Frequenz [mm] f_0 [/mm] zu haben?
Vielen Dank.
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Hallo!
Naja, generell ist das Verschieben doch kein Problem. Ersetze $t_$ durch [mm] $t-t_0$, [/mm] und schon beginnt das ganze bei [mm] t_0
[/mm]
Wenn du vorher einen festen Sinus haben möchtest, bleibt dir nicht viel anderes übrig, als eine stückweise definierte Funktion zu bilden. Also
$ [mm] x(t)=\sin(2\pi [/mm] f(t)) $ mit [mm] $f(t)=\begin{cases} f_0(t-t_0) & \mbox{für } t\le t_0 \\ f_0(t-t_0)+\bruch{1}{2}k(t-t_0)^2 & \mbox{für } t>t_0 \end{cases}$
[/mm]
Im Prinzip könntest du die Heaviside-Funktion benutzen, um das kompakter als [mm] f(t)=f_0(t-t_0)+\Theta(t-t_0)*\bruch{1}{2}k(t-t_0)^2 [/mm] zu schreiben, aber das ist auch nix anderes, nur ggf. etwas unübersichlicher.
Wenn man die Funktion stückweise zusammenbastelt, sollte man dafür sorgen, daß der Funktionswert an der Stelle keinen Sprung macht. Und oft will man das auch knickfrei haben, da schaut man dann auf die Ableitung. Da der quadratische Term aber füt [mm] t=t_0 [/mm] weg fällt, ist das automatisch erfüllt.
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