Sinus,Kosinus und Tangens < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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hey leute
ma ne frage und zwar wenn man im taschenrechner den sinus/cosinus/tangens von einem wert errechnen möchte um einen Winkel zu bestimmen dann unterschlägt der taschenrechner ja manchmal eine lösung!
manchmal gibts ja aber auch nur eine lösung also woran erkenne ich jetz wie viele lösungen es gibt ???
brauche schnelle hilfe pls
danke vorab
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Hi,
An für sich wenn du einen Wert eingibst um dann den Winkel zu berechnen gibt der Taschrechner (es kommt darauf an welcher) dir einen Winkel an. Dann musst du ja noch die Periodizität des Sinus etc. anschauen, dann hast du alle lösungen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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danke für die antwort aber ich hab leider die Periodizität noch nicht durchgenommen kannst du das vielleicht anders erklären oder geht das gar nicht anders ?
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Hallo marvin8xxl,
ohne die Periodizität ist das schwierig 
Da steckt auch eigentlich nicht viel dahinter, klingt nur toll
Zeichne dir mal die Kurve vom [mm] $\sin$ [/mm] auf.
Dann siehst du, dass sie sich aus immer wiederholenden "Stücken" zusammensetzt.
Nimm zB das Stück von 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] das ist eine Periode des Sinus.
Das Stück kannst du "hinten anhängen", also von [mm] 2\pi [/mm] bis [mm] 4\pi [/mm] oder genauso "davorsetzen", also von [mm] -2\pi [/mm] bis 0 usw. usf.
Also setzt sich die Sinuskurve aus solchen [mm] 2\pi [/mm] langen Stücken zusammen.
Jeder Wert, der auf dem Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] angenommen wird, wird auch in jedem "angehängten Stück" angenommen, genau ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] weiter (oder davor, wenn's ein negatives ganzz. Vielfache von [mm] 2\pi [/mm] ist)
Das habe ich jetz mal etwas "blumig" und unmathematisch beschrieben, damit du's dir bildlich besser vorstellen kannst - mache echt mal ne Skizze
Mathematisch bedeutet das dann, dass [mm] $\sin(x)=\sin(x+k\cdot{}2\pi)$ [/mm] ist, wobei [mm] $k\in\IZ$, [/mm] also eine ganze Zahl ist
Wenn du also eine NST [mm] x_0 [/mm] hast, also [mm] $\sin(x_0)=0$, [/mm] dann ist auch [mm] $\sin(x_0+2k\pi)=0$, [/mm] also zB. [mm] $\sin(x_0+2\pi)$ [/mm] mit k=1 oder [mm] $\sin(x_0-6\pi)$ [/mm] mit k=-3
Berechne mal mit dem TR (und schau's dir in der Skizze an) [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] und [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}+8\pi\right)$ [/mm] und [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}-4\pi\right)$
[/mm]
Dasselbe kannst du dir mal für den Cosinus und den Tangens überlegen
Hoffe, das war nicht zu sehr klein klein und zu unmathematisch.
Wenn irgendwas unklar ist, einfach laut schreien !
LG
schachuzipus
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hallo schachuzipus
ich habe dank deiner unmathematischer erklärung die periode des sinus ein wenig verstanden. immerhin weiss ich nun, was eine periode ist;) abr leider komme ich bei der mathematischen schreibweise nicht draus.
für was benötigt man k? kannst du mir villeicht die ganze gleichung erklären? wäre sehr nett
thx lg
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Hallo boarderin und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> hallo schachuzipus
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> ich habe dank deiner unmathematischer erklärung die periode
> des sinus ein wenig verstanden. immerhin weiss ich nun, was
> eine periode ist;) abr leider komme ich bei der
> mathematischen schreibweise nicht draus.
> für was benötigt man k? kannst du mir villeicht die ganze
> gleichung erklären? wäre sehr nett
Ich will's versuchen:
Also das mit dem 'k' ist nur eine abkürzende Schreibweise.
Wenn dir das oben mit der Periode des sinus klar ist, dann weißt du also, dass wenn du dir ein [mm] $x\in[0,2\pi]$ [/mm] hernimmst und den Sinus davon, also [mm] $\sin(x)$ [/mm] betrachtest, dieser Wert auch [mm] '$2\pi$ [/mm] weiter' angenommen wird.
Dh. es gilt [mm] $\sin(x)=\sin(x+2\pi)=\sin(x+\blue{1}\cdot{}2\pi)$
[/mm]
Dieser Wert wird aber noch [mm] '$2\pi$ [/mm] weiter' wieder angenommen, also [mm] $\sin(x)=\sin(x+2\pi)=\sin([x+2\pi]+2\pi)=\sin(x+4\pi)=\sin(x+\blue{2}\cdot{}2\pi)$
[/mm]
Und dasselbe nochmal [mm] '$2\pi$ [/mm] weiter': [mm] $\sin(x)=\sin(x+2\cdot{}2\pi)=\sin([x+2\cdot{}2\pi]+2\pi)=\sin(x+6\pi)=\sin(x+\blue{3}\cdot{}2\pi)$
[/mm]
usw usf.
Dasselbe gilt auch, wenn du nicht immer [mm] $2\pi$ [/mm] weiter, sondern immer [mm] $2\pi$ [/mm] zurück gehst:
Es ist [mm] $\sin(x)=\sin(x-2\pi)=\sin(x+\blue{(-1)}\cdot{}2\pi)$
[/mm]
Und nochmal [mm] $2\pi$ [/mm] zurück: [mm] $=\sin(x)=\sin([x+(-1)\cdot{}2\pi]-2\pi)=\sin(x-4\pi)=\sin(x+\blue{(-2)}\cdot{}2\pi)$
[/mm]
usw.
Also wiederholen sich die Werte des Sinus immer ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] $2\pi$ [/mm] weiter, also [mm] $\sin(x)=\sin(x+\blue{k}\cdot{}2\pi)$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
Hierbei ist dann ein "negatives weiter" (also k<0) als ein "vorher" zu interpretieren...
LG
schachuzipus
>
> thx lg
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hii
danke zuerst einmal für deine gute erklärung:D
also kann man eigentlich sagen, dass k die anzahl der wiederholten "strecke" ist?
wir haben eine aufgabe die lautet:
sin(20°+360°)= sin(20°) und das gibt [mm] sin(\pi/4+2\*2\pi)= sin(\pi/4). [/mm] wie kommt man auf [mm] sin(\pi/4)?
[/mm]
und dann hätte ich noch eine frage: wenn man [mm] cos(\alpha)=\wurzel{2}/2 [/mm] hat und mann alle winkel bestimmen muss und in periode angeben muss? wie macht man das?
vielen dank! du bist mir eine grosse hilfe:D
lg boarderin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hii
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> danke zuerst einmal für deine gute erklärung:D
> also kann man eigentlich sagen, dass k die anzahl der
> wiederholten "strecke" ist?
Genau, du kannst dir das k quasi als eine Nummerierung der einzelnen Teilstücke vorstellen.
> wir haben eine aufgabe die lautet:
> sin(20°+360°)= sin(20°) und das gibt [mm]sin(\pi/4+2\*2\pi)= sin(\pi/4).[/mm]
> wie kommt man auf [mm]sin(\pi/4)?[/mm]
Gar nich, denn es ist falsch. 20° entsprechen [mm] \pi/9, [/mm] da ja 180° [mm] \pi [/mm] ergeben. Ausserdem ist die eine 2 auch zuviel. Also richtig ist [mm] sin(20°+360°)=sin(\pi/9+2\pi).
[/mm]
> und dann hätte ich noch eine frage: wenn man
> [mm]cos(\alpha)=\wurzel{2}/2[/mm] hat und mann alle winkel bestimmen
> muss und in periode angeben muss? wie macht man das?
>
Du musst die Umkehrfunktion des Kosinus auf [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] anwenden und dann die Periode dazuschreiben.
Die Umkehrfunktion heisst Arkuskosinus und ist auf den Taschenrechnern meist mit [mm] cos^{-1} [/mm] bezeichnet, wird aber in der Mathematik mit arccos abgekürzt.
Die Lösungen wären also [mm] arccos(\wurzel{2}/2)+2k\pi [/mm] , [mm] k\in\IZ.
[/mm]
Und wenn du [mm] arccos(\wurzel{2}/2) [/mm] in den Taschenrechner eingibst, dann kommt [mm] \approx [/mm] 0,7854 raus. Der genaue Wert ist [mm] arccos(\wurzel{2}/2)=\pi/4.
[/mm]
Du siehst, dass die Arkuskosinusfunktion nur einen Wert als Lösung angibt (und deswegen gibt auch der Taschenrechner nur einen Wert zurück), obwohl es ja unendlich viele Lösungen von [mm] cos(\alpha)=\wurzel{2}/2 [/mm] gibt. Deswegen musst du die Periode immer noch extra dahinter schreiben.
> vielen dank! du bist mir eine grosse hilfe:D
> lg boarderin
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hei:D
mir ist noch nicht ganz klar, warum man 2k hat? könnte man auch [mm] k\* 2\pi [/mm] rechnen? weil k steht ja nur für die nummerierung der teilstücke.
stimmt das, wenn man [mm] tan(\alpha)=-\wurzel{3} [/mm] dass das dann tan^-1 [mm] (-\wurzel{3}) +2k\*2\pi [/mm] ergibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hei:D
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> mir ist noch nicht ganz klar, warum man 2k hat? könnte man
> auch [mm]k\* 2\pi[/mm] rechnen? weil k steht ja nur für die
> nummerierung der teilstücke.
[mm] k*2\pi [/mm] ist richtig, denn die Periode ist ja [mm] 2\pi.
[/mm]
> stimmt das, wenn man [mm]tan(\alpha)=-\wurzel{3}[/mm] dass das dann
> tan^-1 [mm](-\wurzel{3}) +2k\*2\pi[/mm] ergibt?
Schreib statt [mm] tan^{-1} [/mm] lieber arctan.
[mm] tan(\alpha)=-\wurzel{3} \gdw \alpha= [/mm] arctan [mm] (-\wurzel{3}) [/mm] + [mm] k*\pi, [/mm] denn die Periode des Tangens ist [mm] \pi [/mm] und nicht [mm] 2\pi [/mm] wie bei Sinus/Kosinus.
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