Sinus integralis < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:45 Sa 08.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Im Forster wird die Funktion Sinus integralis behandelt, die da lautet:
Si(x) := [mm] \integral_{0}^{x}{\frac{sin t}{t} dt}, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] \infty
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin t}{t} dt} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}
[/mm]
1) Es folgt für jede positive reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] durch einfache Variablen-Substitution:
[mm] Si(\frac{\lambda \pi}{2}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin \lambda x}{x} dx}
[/mm]
2) Sei g :[0, [mm] \frac{\pi}{2}] \to \IR [/mm] die wie folgt definierte Funktion
g(x) := [mm] \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{sin(x)} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0, g(0) := 0.
Diese Funktion ist im Nullpunkt stetig nach L'Hopital. Aus dem Riemannschen Lemma folgt
[mm] \lim_{\lambda \rightarrow \infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(\lambda x)g(x) dx} [/mm] = 0,
also
[mm] \lim_{\lambda \rightarrow \infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(\lambda x)}{x} dx} [/mm] = [mm] \lim_{\lambda \rightarrow \infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(\lambda x)}{sin(x)} dx}.
[/mm]
3) Für jede positive ganze Zahl n gilt
[mm] \frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} [/mm] = 1 + 2 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] cos(2kx) (bewiesen in einem Hilfssatz ein paar Seiten zuvor).
Daraus folgt: [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}
[/mm]
Zusammenfassend ergibt sich:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin t}{t} dt} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n+1)x}{x} dx} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n+1)x}{sin(x)} dx} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2}
[/mm]
---------------
Nun zu meinen Fragen:
i) Wieso folgt [mm] Si(\frac{\lambda \pi}{2}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin \lambda x}{x} dx} [/mm] ?
Wenn ich x = [mm] \frac{\lambda \pi}{2} [/mm] setze, erhalte ich in Si(x) := [mm] \integral_{0}^{x}{\frac{sin t}{t} dt}:
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\frac{\lambda \pi}{2}}{\frac{sin t}{t} dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\lambda \pi}{2}}{\frac{sin x}{x} dt}
[/mm]
ii) Wieso ist [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] ?
Das wäre ja gleichbedeutend mit 1 + 2 [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] cos(2kx) = 1, <=> [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] cos(2kx) = 0, aber wieso gibt dies "0" ?
iii) Wieso ist [mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin t}{t} dt} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n+1)x}{x} dx} [/mm] ?
Ich wäre euch wie immer dankbar für die Beantwortung meiner Fragen! 
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Sa 08.07.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen!
>
>
>
> Im Forster wird die Funktion Sinus integralis behandelt,
> die da lautet:
>
> Si(x) := [mm]\integral_{0}^{x}{\frac{sin t}{t} dt},[/mm] 0 [mm]\le[/mm] x <
> [mm]\infty[/mm]
>
> Zu zeigen ist: [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{sin t}{t} dt}[/mm] =
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
>
>
> 1) Es folgt für jede positive reelle Zahl [mm]\lambda[/mm] durch
> einfache Variablen-Substitution:
>
> [mm]Si(\frac{\lambda \pi}{2})[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin \lambda x}{x} dx}[/mm]
>
> 2) Sei g :[0, [mm]\frac{\pi}{2}] \to \IR[/mm] die wie folgt
> definierte Funktion
>
> g(x) := [mm]\frac{1}{x}[/mm] - [mm]\frac{1}{sin(x)}[/mm] für x [mm]\not=[/mm] 0, g(0)
> := 0.
>
> Diese Funktion ist im Nullpunkt stetig nach L'Hopital. Aus
> dem Riemannschen Lemma folgt
>
> [mm]\lim_{\lambda \rightarrow \infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin(\lambda x)g(x) dx}[/mm]
> = 0,
>
> also
>
> [mm]\lim_{\lambda \rightarrow \infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(\lambda x)}{x} dx}[/mm]
> = [mm]\lim_{\lambda \rightarrow \infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(\lambda x)}{sin(x)} dx}.[/mm]
>
> 3) Für jede positive ganze Zahl n gilt
>
> [mm]\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)}[/mm] = 1 + 2 [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> cos(2kx) (bewiesen in einem Hilfssatz ein paar Seiten
> zuvor).
>
> Daraus folgt: [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx}[/mm] = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
>
> Zusammenfassend ergibt sich:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{sin t}{t} dt}[/mm] =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n+1)x}{x} dx}[/mm]
> = [mm]\lim_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n+1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm]
>
>
> ---------------
>
> Nun zu meinen Fragen:
>
> i) Wieso folgt [mm]Si(\frac{\lambda \pi}{2})[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin \lambda x}{x} dx}[/mm]
> ?
>
> Wenn ich x = [mm]\frac{\lambda \pi}{2}[/mm] setze, erhalte ich in
> Si(x) := [mm]\integral_{0}^{x}{\frac{sin t}{t} dt}:[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{\frac{\lambda \pi}{2}}{\frac{sin t}{t} dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\frac{\lambda \pi}{2}}{\frac{sin x}{x} dt}[/mm]
wie baust Du da am Ende nochmal das x rein? x ist ja schon anderweitig
verbraten, das kannst Du nicht als Integrationsvariable reinbauen - machst
Du auch nicht, denn da steht am Ende ja dt. Aber aus [mm] $\int [/mm] f(t) dt$ dann [mm] $\text{irgendwas(x)}dt$ [/mm]
machen, obwohl x und t unabhängig voneinander sind?? Ich kapiere es nicht...
(im Forster ist das "andere x" rein als Integrationsvariable gemeint, ich
nenne es gleich auch y, das ist didaktisch weniger verwirrend...)
Also klar:
[mm] $\text{Si}(\lambda \pi/2) [/mm] = [mm] \int_0^{\lambda \pi/2} \frac{\sin(t)}{t}dt$
[/mm]
Jetzt betrachten wir [mm] $y:=y_\lambda(t):=\frac{t}{\lambda}\,$ [/mm] für FESTES [mm] $\lambda [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Dann ist [mm] $dt/dy=\lambda$, [/mm] $t=0$ [mm] $\iff$ [/mm] $y=0$ und [mm] $t=\lambda\,\frac{\pi}{2}$ $\iff$ $y=\pi/2$ [/mm] und daher
[mm] $\text{Si}(\lambda \pi/2) [/mm] = [mm] \int_0^{\lambda \pi/2} \frac{\sin(t)}{t}dt=\int_{y=0}^{y=\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\lambda*y)}{\red{\lambda}*y}\,(\underbrace{\red{\lambda}*dy}_{dt})$
[/mm]
[mm] $=\int_{0}^\frac{\pi}{2} \frac{\sin(\lambda*\zeta)}{\zeta}d\zeta$
[/mm]
Am Ende habe ich spaßeshalber anstatt y auch mal [mm] $\zeta$ [/mm] als Integrationsvariable
benutzt, nur, um nochmal daran zu erinnern, dass der Name der
Integrationsvariablen hier "Schall und Rauch" ist.
Nichtsdestotrotz versuche ich auch, wenn ich sowas notiere, nicht
einerseits "Si(x)" zu schreiben, und dann an anderer Stelle nochmal
x als Integrationsvariable zu verwenden.
Total falsch wird es dann nämlich, wenn man
[mm] $\text{Si}(x)=\int_{0}^x \frac{\sin(\red{x})}{\red{x}}\red{dx}$
[/mm]
schreibt!
Ist Dir das klar? Für festes x linkerhand "kann die rote Integrationsvariable
x nicht variabel sein". Und auf einen derartigen "Irrweg" hast Du Dich hier
führen lassen.
Also sauber (das blaue x ist das Funktionsargument vom Sinus integralis):
[mm] $\text{Si}(\text{\blue{x}})=\int_{0}^{\text{\blue{x}}} \frac{\sin(t)}{t}dt$
[/mm]
Btw.: Grob gesagt kennst Du das auch allgemeiner: Wenn Du "eine Funktion
[mm] $f(x)\,$ [/mm] hast" und dann "eine Stammfunktion $F(x)$" für diese hinschreibst,
dann "darfst Du"
[mm] $F(x)=\int [/mm] f(t)dt$
(oder [mm] $F_{r}(x_0)=\int_r^{x_0} [/mm] f(t)dt$)
schreiben, aber die Notation
[mm] $F(x)=\int [/mm] f(x)dx$
würde ich vermeiden - da ist einerseits x linkerhand als Argument der
Stammfunktion zu sehen, und rechterhand als Integrationsvariable, und
die sind unabhängig voneinander zu betrachten.
Übrigens wäre
[mm] $F_r(x_0)=\int_r^{x_0} [/mm] f(x)dx$
zwar möglich (links ist ja ein [mm] $x_0$ [/mm] und nicht $x$), aber auch das würde ich vermeiden,
weil es im nächsten Schritt eben dazu führt, dass man wieder
[mm] $\red{F(x)=\int f(x)dx}$
[/mm]
schreiben will, was zumindest, wenn es erlaubt ist [was ich gerade, ehrlich
gesagt, nicht weiß - wenn man es richtig liest (das linke x und das rechte
x sind nicht das gleiche), ist es ja nicht falsch], wenigstens extrem zur
Verwirrung führen kann.
Kannst Du so ein bisschen damit vergleichen, wie, wenn Du ein Java-Programm
schreibst, und eine lokale Variable hast und den gleichen Namen der
Variablen auch global, und dann irgendwann durcheinander gerätst,
ob Du nun die lokale oder die globale manipulieren willst...
Wenn Du gar nicht mehr durchblickst, dann benennst Du besser eine
der beiden um (bzw. gibst beiden andere Namen, um diese deutlich
voneinander unterscheiden zu können).
Aber das nur als "grober Vergleich"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Sa 08.07.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ii) Wieso ist [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx}[/mm] = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ?
die Gleichung ganz unten ist Dir aber definitiv klar, denke ich; oder? ;)
Bei der anderen Frage:
Es gab doch den Hinweis:
[mm] $\frac{\sin(2n + 1)x}{\sin(x)} [/mm] = 1 + 2 [mm] \summe_{k=1}^{n} \cos(2kx)$
[/mm]
Dann würde ich das doch mal einsetzen:
[mm] $\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n + 1)x}{\sin(x)} dx=\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1 + 2 \summe_{k=1}^{n} \cos(2kx)\right) [/mm] dx=...$
(Noch ein wenig weiterrechnen: Du darfst [mm] $\int \sum... [/mm] = [mm] \sum \int..$ [/mm] machen, weil...?)
Und jetzt finde für $k [mm] \in \IN$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f(t)=f_k(t):=\cos(2kt)$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Auch dies ist mir nun klar, da hätte ich einfach weiterrechnen sollen... ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Sa 08.07.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ii) Wieso ist [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx}[/mm] = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ?
>
> Das wäre ja gleichbedeutend mit 1 + 2 [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> cos(2kx) = 1, <=> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] cos(2kx) = 0, aber
> wieso gibt dies "0" ?
dazu noch ein kurzes Statement:
Es ist doch auch
[mm] $\int_0^{2\pi} \sin(x)dx=0\,,$
[/mm]
obwohl der Sinus nicht identisch 0 auf [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] ist.
Diese Aussage, dass das gleichbedeutend ist, solltest Du dringend nochmal
übderdenken und korrigieren - siehst Du Deinen Denkfehler da?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:21 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Hallo,
>
> > ii) Wieso ist [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx}[/mm] = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ?
> >
> > Das wäre ja gleichbedeutend mit 1 + 2 [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> > cos(2kx) = 1, <=> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] cos(2kx) = 0, aber
> > wieso gibt dies "0" ?
>
> dazu noch ein kurzes Statement:
> Es ist doch auch
>
> [mm]\int_0^{2\pi} \sin(x)dx=0\,,[/mm]
>
> obwohl der Sinus nicht identisch 0 auf [mm][0,2\pi][/mm] ist.
>
> Diese Aussage, dass das gleichbedeutend ist, solltest Du
> dringend nochmal
> übderdenken und korrigieren - siehst Du Deinen Denkfehler
> da?
>
> Gruß,
> Marcel
Hi Marcel,
Ja den Denkfehler habe ich auch gesehen!
Gerade bei [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 + \summe_{k=1}^{n} cos(2kx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 dx}, [/mm]
folgt dies nicht wegen [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] cos(2kx) = 0, sondern wegen der Berechnung von [mm] \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} \summe_{k=1}^{n} [/mm] cos(2kx) dx = 2 * [mm] \summe_{k=1}^{n} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2kx) dx} [/mm] = 2 [mm] \summe_{k=1}^{n} \frac{1}{2k}[sin 2kx]_{0}^{\frac{\pi}{2}} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k} [/mm] sin(k) = 0
wenn ich mich nicht verrechnet habe ;)
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Di 11.07.2017 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > ii) Wieso ist [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> > > = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 * dx}[/mm] = [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] ?
> > >
> > > Das wäre ja gleichbedeutend mit 1 + 2 [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> > > cos(2kx) = 1, <=> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] cos(2kx) = 0, aber
> > > wieso gibt dies "0" ?
> >
> > dazu noch ein kurzes Statement:
> > Es ist doch auch
> >
> > [mm]\int_0^{2\pi} \sin(x)dx=0\,,[/mm]
> >
> > obwohl der Sinus nicht identisch 0 auf [mm][0,2\pi][/mm] ist.
> >
> > Diese Aussage, dass das gleichbedeutend ist, solltest Du
> > dringend nochmal
> > übderdenken und korrigieren - siehst Du Deinen
> Denkfehler
> > da?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Hi Marcel,
>
> Ja den Denkfehler habe ich auch gesehen!
>
> Gerade bei [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{sin(2n + 1)x}{sin(x)} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 + \summe_{k=1}^{n} cos(2kx) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{1 dx},[/mm]
>
> folgt dies nicht wegen [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] cos(2kx) = 0,
> sondern wegen der Berechnung von
> [mm]\integral_{0}^{\frac{\pi}{2}} \summe_{k=1}^{n}[/mm] cos(2kx) dx
> = 2 * [mm]\summe_{k=1}^{n} \integral_{0}^{\frac{\pi}{2}}{cos(2kx) dx}[/mm]
> = 2 [mm]\summe_{k=1}^{n} \frac{1}{2k}[sin 2kx]_{0}^{\frac{\pi}{2}}[/mm]
wo kommt die 2 in der zweiten Zeile plötzlich her?
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sin(k) = 0
>
> wenn ich mich nicht verrechnet habe ;)
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
Das Ende kapiere ich nicht - der wesentliche Punkt ist:
$\int_0^{\pi/2} \cos(2kx)dx = \left.\left(\frac{1}{2k} \sin(2kt)\right)\right|_{t=0}^{t=\pi/2}= ...= \frac{1}{2k}\left(\sin(2k*\pi/2)-\sin(2k*0)\right)=\frac{1}{2k}(\sin(k*\pi)-\sin(0))$
und $\sin(k*\pi)=\sin(0)=0$ (sogar für jedes $k \in \IZ$).
Achte bitte auf eine saubere Notation. Ich finde immer, jeder gemachte
Rechenschritt darf aufgeführt werden (und sei es nur, wenn Du es für
Dich selbst notierst).
Wenn Du auf Rechenschritte verzichtest und darin ein wenig ungeübt bist,
lernst Du das am besten, indem Du DANACH dann versuchst, das ganze
"auf's Wesentliche beschränkt" nochmal zu notieren, und am Ende das
Ganze nochmal mit Deinen Notizen, wo alle Rechenschritte vorhanden sind,
abgleichst.
Viele Lehrer machen in der Schule schon den Fehler, zu versuchen, den
Schülern beizubringen, direkt alles "kurz" hinzuschreiben. Das ist gut,
wenn Schüler das (direkt) können, ist allerdings schlecht, wenn sie schnell
den Überblick verlieren.
Und selbst ich, obwohl ich darin sehr geübt bin, kann des öfteren auch mal
den Überblick verlieren.
Aber das nur so als didaktischen Typ am Rande...
Btw.: $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sin(k)=0$ klingt auch schon unglaubwürdig (warum wohl?),
vielleicht sollte da sowas wie $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\sin(k*\red{\pi})=0$ stehen? ;)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:26 Di 11.07.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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