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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 06.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
kann ich diesen Term:
[mm] \wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi [/mm] t) - [mm] sin(2\pi [/mm] t + [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
nach der Formel für Summen und Differenzen wie folgt:
[mm] \wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi [/mm] t) - [mm] sin(2\pi [/mm] t + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] =
[mm] \wurzel{3} \cdot{} [/mm] 2 [mm] cos(\bruch{2\pi t + 2\pi t + \bruch{\pi}{2}}{2}) \cdot{} sin(\bruch{2\pi t - (2\pi t + \bruch{\pi}{2})}{2}) [/mm] =
[mm] \wurzel{3} \cdot{} [/mm] 2 [mm] cos(\bruch{4\pi t + \bruch{\pi}{2}}{2}) \cdot{} sin(\bruch{ - \bruch{\pi}{2})}{2}) [/mm] =
[mm] \wurzel{3} \cdot{} [/mm] 2 [mm] cos(\bruch{\bruch{8\pi t + \pi}{2}}{2}) \cdot{} sin(\bruch{- \pi}{4}) [/mm] =
[mm] \wurzel{3} \cdot{} [/mm] 2 [mm] cos(\bruch{8\pi t + \pi}{4}) \cdot{} sin(\bruch{- \pi}{4}) [/mm] =
[mm] -\wurzel{6} [/mm] cos [mm] (2\pi [/mm] t + [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] =
[mm] -\wurzel{6} [/mm] sin [mm] (2\pi [/mm] t + [mm] \bruch{3\pi}{4})
[/mm]
umformen?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
>
> kann ich diesen Term:
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi[/mm] t) - [mm]sin(2\pi[/mm] t +
> [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> nach der Formel für Summen und Differenzen wie folgt:
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi[/mm] t) - [mm]sin(2\pi[/mm] t +
> [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] =
Das geht nicht, da der Faktor vor [mm]sin(2\pi t + \bruch{\pi}{2})[/mm] nicht [mm]\wurzel{3}[/mm] ist.
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{}[/mm] 2 [mm]cos(\bruch{2\pi t + 2\pi t + \bruch{\pi}{2}}{2}) \cdot{} sin(\bruch{2\pi t - (2\pi t + \bruch{\pi}{2})}{2})[/mm]
> =
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{}[/mm] 2 [mm]cos(\bruch{4\pi t + \bruch{\pi}{2}}{2}) \cdot{} sin(\bruch{ - \bruch{\pi}{2})}{2})[/mm]
> =
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{}[/mm] 2 [mm]cos(\bruch{\bruch{8\pi t + \pi}{2}}{2}) \cdot{} sin(\bruch{- \pi}{4})[/mm]
> =
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{}[/mm] 2 [mm]cos(\bruch{8\pi t + \pi}{4}) \cdot{} sin(\bruch{- \pi}{4})[/mm]
> =
>
> [mm]-\wurzel{6}[/mm] cos [mm](2\pi[/mm] t + [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm] =
>
> [mm]-\wurzel{6}[/mm] sin [mm](2\pi[/mm] t + [mm]\bruch{3\pi}{4})[/mm]
>
> umformen?
Was Du hier machen kannst ist:
[mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi t) - sin(2\pi t + \bruch{\pi}{2})=A*\sin\left(2 \pi t+\varphi\right)[/mm]
,wobei sich A und [mm]\varphi[/mm] durch ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich ergeben.
>
> Gruß
> itse
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 06.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Was Du hier machen kannst ist:
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi t) - sin(2\pi t + \bruch{\pi}{2})=A*\sin\left(2 \pi t+\varphi\right)[/mm]
>
>
> ,wobei sich A und [mm]\varphi[/mm] durch Koeffizientenvergleich
> ergeben.
Wie müsste man dies dann aufstellen? Etwa so:
[mm] \wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi [/mm] t) = 0
[mm] sin(2\pi [/mm] t + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] A*\sin\left(2 \pi t+\varphi\right)
[/mm]
?
Wenn man es sich überlegt, ist der erste Term, egal welches t gewählt wird immer Null, somit müsste doch:
[mm] -sin(2\pi [/mm] t+ [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
rauskommen?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> > Was Du hier machen kannst ist:
> >
> > [mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi t) - sin(2\pi t + \bruch{\pi}{2})=A*\sin\left(2 \pi t+\varphi\right)[/mm]
>
> >
> >
> > ,wobei sich A und [mm]\varphi[/mm] durch Koeffizientenvergleich
> > ergeben.
>
> Wie müsste man dies dann aufstellen? Etwa so:
>
> [mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi[/mm] t) = 0
>
> [mm]sin(2\pi[/mm] t + [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] = [mm]A*\sin\left(2 \pi t+\varphi\right)[/mm]
>
> ?
>
> Wenn man es sich überlegt, ist der erste Term, egal welches
> t gewählt wird immer Null, somit müsste doch:
>
> [mm]-sin(2\pi[/mm] t+ [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> rauskommen?
Bevor Du den Koeffizientenvergleich machen kannst,
mußt Du links und rechts das entsprechende Additionstheorem anwenden.
[mm]C*\sin\left( 2\pi t\right)+D*\cos\left(2 \pi t) = E*\sin\left( 2\pi t\right)+F*\cos\left(2 \pi t)[/mm]
, woraus dann folgt:
[mm]C=E[/mm] und [mm]D=F[/mm]
>
> Gruß
> itse
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 06.04.2009 | | Autor: | itse |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
danke für deine Antwort. Jedoch werde ich nicht so recht schlau daraus.
Am Anfang hatte ich diesen Term: \wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi t) - sin(2\pi t + \bruch{\pi}{2}), diesen nun mit Hilfe Koeffizientenvergleich vereinfachen, somit:
$ C\cdot{}\sin\left( 2\pi t\right)+D\cdot{}\cos\left(2 \pi t) = E\cdot{}\sin\left( 2\pi t\right)+F\cdot{}\cos\left(2 \pi t) $
, woraus dann folgt:
$ C=E $ und $ D=F $
Also wäre C=E=1 und D=F=1, oder ?
Was bringt mir dies nun bei meinem Term? Ich habe diesen Koeffizientenvergleich noch nie hergenommen, deswegen komme ich nicht so wirklich damit zu recht.
Gruß
tise
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort. Jedoch werde ich nicht so recht
> schlau daraus.
>
> Am Anfang hatte ich diesen Term: [mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi[/mm]
> t) - [mm]sin(2\pi[/mm] t + [mm]\bruch{\pi}{2}),[/mm] diesen nun mit Hilfe
> Koeffizientenvergleich vereinfachen, somit:
>
> [mm]C\cdot{}\sin\left( 2\pi t\right)+D\cdot{}\cos\left(2 \pi t) = E\cdot{}\sin\left( 2\pi t\right)+F\cdot{}\cos\left(2 \pi t)[/mm]
>
> , woraus dann folgt:
>
> [mm]C=E[/mm] und [mm]D=F[/mm]
>
> Also wäre C=E=1 und D=F=1, oder ?
>
> Was bringt mir dies nun bei meinem Term? Ich habe diesen
> Koeffizientenvergleich noch nie hergenommen, deswegen komme
> ich nicht so wirklich damit zu recht.
>
Nun gut:
[mm]\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi t) - sin(2\pi t + \bruch{\pi}{2})=\wurzel{3} \cdot{} sin(2\pi t) - \cos(2\pi t)[/mm]
Das muss gleich sein mit:
[mm]A*\sin\left(2 \pi t + \varphi)=A*\sin\left(2 \pi t)\cos\left(\varphi\right)+A*\cos\left(2 \pi t)\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Hieraus ergibt sich:
[mm]\wurzel{3}=A*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]-1=A*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Daraus folgen dann A und [mm]\varphi[/mm].
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> Gruß
> tise
Gruß
MathePower
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