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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mo 11.09.2006 | | Autor: | dth100 |
| Aufgabe | Beschreibe einem Einheitskreis mit dem Mittelpunkt (0;0) in einem koordinatensystem (1LE = 5cm) ein gleichschenkliges Dreieck (Quadrat, regelmäßiges Sechseck, regelmäßiges zehneck) ein.
Beweise dann die Formel sin [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] (sin [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ; sin [mm] \bruch{\pi}{5} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{10 + 2 \wurzel{5}}}{4} [/mm] ;
sin [mm] \bruch{\pi}{10} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{5} + 1}{4} [/mm] |
Hallo, ich hoffe mal ihr könnt mir mit diese, wei ich finde exterem schwierigen Aufgabe weiterhelfen. Also mal beim Dreieck angefangen: allein die Konstruktionen sind ja schon nciht so ganz ohne, für [mm] \pi [/mm] kann man ja auch sagen 180° und da in einem gleichschenkl Dreieck alle Winkel gleich groß sind, also 60°, denk ich mla das das ein Ansatz sein dürfte, aber warum das dann = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] sein soll? keine Ahnung, wenn ichs abmesse stimmt aber vom Verhältnis her
Bei dem 6 Eck würde ich sagen, es ist ein Druckfehler, also entweder es soll ein regelmäßiges 5 Eck rauskommen oder die Formel ist falsch, denn sonst klappt das doch mit dem Winkel nicht oder?
Jaaa, die einzige Formel die mir zu dem ganzen noch einfällt wäre sin =Gegenkathete / Hypothenuse, und bei der Konstruktion waren noch die folgenden Formeln hilfreich:
Zentriwinkel über dem Bogen = 2*Peripheriewinkel über dem selben Bogen
und s(Länge der Sehne) = 2 r sin [mm] \bruch{\alpha}{2} (\alpha [/mm] ist der Zentriwinkel)
Achso, Zentriwinkel ist der Winkel, den die Endpunkte der Sehne auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt einschließen.
So, sollte jemand auch nur einen Teil dieser Beweise führen können und das auch noch so, das ichs verstehe  ), Leute ich wär euch wirklich dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mo 11.09.2006 | | Autor: | riwe |
hallo,
dann wollen wir mit [mm] \frac{\pi}{3} [/mm] = 60° beginnen. das ist sogar ein gleichSEITIGes dreieck. davon die hälfte ist das dreieck HCB. nun schauen wir uns das dreieck ABC an, das ist ein rechtes, da im halbkreis. dann hast du mit dem höhensatz:
[mm]h^{2}= HC^{2}=AH\cdot HB = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2} [/mm] und damit [mm]h=\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm].
mit dem pythagoras folgt [mm] CB^{2}=h^{2}+HB^{2}=3\rightarrow CB=\sqrt{3}.
[/mm]
dann hast du [mm]sin \angle{HCB}= sin\frac{\pi}{3}=\frac{HB}{CB}=\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
vielleicht gehts auch einfacher?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Di 12.09.2006 | | Autor: | dth100 |
| Aufgabe | | Sorry, hab was durcheinandergebracht, es soll ein gleichSEITIGES Dreieck sein |
Also erstmal danke für den Ansatz aber das hab ich irgendwie nicht ganz verstanden :-(
woher weiß ich das AH =1/2 und HB=3/2 ist?
Und wie siehts dann mit den andern Vielecken aus?
Hmm.. Also wäre echt nett wenn jemand nochmal was dazu posten könnte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 12.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo dth
Wenn du in einem gleichsetigen Dreieck die Höhe=Seitenhalbierende=Winkelhalbierende einzeichnest, dann hast du das halbe dreieck, mit einem rechten Winkel. In dem Dreieck gilt [mm] $s^2-(s/2)^2=h^2$
[/mm]
[mm] $h^2=3/4*s^2$ [/mm] und h/s= [mm] sin\pi/3. [/mm] jetzt bau das noch schön in nen Kreis ein; oder nimm das 6Eck, Diagonale d, die eine Ecke überschlägt,den Radius halbiert , und Sehne mit Länge aus deiner Formel. halbe Sehne, ganzer Radius und halber Radius wieder Pythagoras.
Quadrat, Diagonalen sind Radien=1 Seitenlänge mit pythagoras [mm] $s^2=1^2+1^2$, sin\pi/4=1/s.
[/mm]
Beim fünf und 10 Eck sieh mal im Netz unter Formeln und Beweisen zum goldenen Schnitt nach.
Gruss leduart
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