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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Lambda |
Hi! Ich verstehe einfach nicht, wie man bei f(x)= [mm] sin(a*x+\pi) [/mm] die Extremstellen, Wendepunkte und Symmetrie berechnen soll. Die Nullstellenberechnung habe ich ja noch halbwegs verstanden. Kann mir das jemand bitte noch genau erklären?
Danke!
Gruß, Lambda
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Hi, Lambda,
> Hi! Ich verstehe einfach nicht, wie man bei f(x)=
> [mm]sin(a*x+\pi)[/mm] die Extremstellen, Wendepunkte und Symmetrie
> berechnen soll. Die Nullstellenberechnung habe ich ja noch
> halbwegs verstanden. Kann mir das jemand bitte noch genau
> erklären?
Bei Aufgaben dieses Typs ist die SUBSTITUTION empfehlenswert:
(1) Nullstellen: sin(ax + [mm] \pi) [/mm] = 0
[mm] z=ax+\pi [/mm] ergibt: sin(z) = 0 und damit: z = [mm] k*\pi [/mm] mit k [mm] \in\IZ
[/mm]
Rücksubstituiert:
ax = [mm] z-\pi [/mm] bzw.
x = [mm] \bruch{1}{a}*(z-\pi) [/mm]
[mm] (a\not=0 [/mm] ist wohl trivial!)
Somit:
x = [mm] \bruch{1}{a}*(k*\pi-\pi) [/mm]
In der Klammer stehen wieder alle Vielfachen von [mm] \pi, [/mm] daher:
x = [mm] \bruch{1}{a}*r*\pi [/mm] mit r [mm] \in \IZ.
[/mm]
(2) Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel:
f'(x) = [mm] a*cos(ax+\pi)
[/mm]
f''(x) = [mm] -a^{2}*sin(ax+\pi)
[/mm]
Beim Null-Setzen dieser Ableitung gehst Du analog vor wie bei den Nullstellen;
die Konstanten a bzw. [mm] -a^{2} [/mm] spielen beim Nullsetzen keine Rolle!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Lambda |
Hi! Tut mir echt Leid, aber ich verstehe fast gar nichts davon.
Ich habe mehrere Fragen:
Dient z in diesem Fall als Variable für [mm] a*x+\pi [/mm] oder wie ist das zu verstehen?
Wie kommt man von sin(z)= 0 auf z= [mm] k*\pi [/mm] ?
Den Rest der Rechnung verstehe ich leider überhaupt nicht.
Kann mir das jemand mit den Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkten und der Symmetrie in diesem Fall nochmal ganz genau erklären?
Wäre echt nett!
Danke!
Gruß, Lambda
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Hi, Lambda,
keine Bange!
Alles hängt letztlich daran, ob Du die Sinuslinie kennst, also: y=sin(x).
Klar, dass dann y=sin(z) genauso aussieht, weil man ja nur die Bezeichnung der Variablen und damit der waagrechten Koordinatenachse ändert.
Nun: Wie sieht die Sinuslinie aus?
Wichtig u.a.:
- Sie hat die Periode [mm] 2\pi, [/mm] heißt: [mm] sin(x+2k\pi) [/mm] = sin(x)
- Sie schneidet die x-Achse bei allen Vielfachen von [mm] \pi: [/mm] Nullstellen: [mm] k*\pi
[/mm]
- Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(-x) = -sin(x)
- Sie hat bei [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] den y-Wert 1, aber nicht nur dort, sondern wegen der Periode auch immer im Abstand [mm] 2\pi [/mm] wieder: [mm] sin(\bruch{\pi}{2}+2k\pi) [/mm] = 1.
und ein paar weitere "Sachen", die jetzt nicht erwähnt werden sollen.
Wenn Du nun irgendeine Sinuskurve hast, sagen wir:
y=sin(3x+4), so ist es mit Hilfe der Substitutionsmethode und obigen Kenntnissen relativ leicht, z.B. die Nullstellen zu bestimmen.
Du ersetzt den Klammerterm einfach durch z, hier also: z=3x+4
und hast IN JEDEM FALL DIESELBE FUNKTION, nämlich: y=sin(z)
Und die kennst Du! Z.B. weißt Du: Nullstellen bei [mm] k*\pi [/mm] (siehe oben!)
Also: sin(z) = 0 <=> [mm] z=k*\pi [/mm]
Naja: Nun willst Du aber nicht wissen, was z ist, sondern was x ist.
Du kennst aber den ZUSAMMENHANG zwischen z und x, nämlich:
z = 3x+4.
Das kannst Du natürlich nach x auflösen:
3x+4 = z
3x = z - 4
x = [mm] \bruch{z}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Wenn Du nun hier für [mm] z=k\pi [/mm] einsetzt,
hast Du [mm] x=\bruch{k\pi}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
und damit die gesuchten Nullstellen Deiner ursprünglichen Funktion.
Bis dahin klar?!
Wenn nicht, frag'!
Denn nach Extrempunkten, Wendepunkten zu suchen, hat erst dann Sinn, wenn Dir dieser Schritt geläufig ist!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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Kurvendiskussion