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| Aufgabe | | Benutzen Sie die Formel sin(2x)=2sinxcosx, um [mm] sin(\bruch{\pi}{6}), cos(\bruch{\pi}{6}), tan(\bruch{\pi}{6}) [/mm] exakt (keine Näherungen) zu bestimmen. |
Das verstehe ich nicht ganz.
Soll ich jetzt [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] schreiben als [mm] 2\bruch{\pi}{12} [/mm] und dann schreiben: [mm] sin(\bruch{\pi}{6})=2sin(\bruch{\pi}{12})cos(\bruch{\pi}{12})?
[/mm]
Das macht das ganze doch nicht einfacher oder?
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Hallo,
> Benutzen Sie die Formel sin(2x)=2sinxcosx, um
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6}), cos(\bruch{\pi}{6}), tan(\bruch{\pi}{6})[/mm]
> exakt (keine Näherungen) zu bestimmen.
> Das verstehe ich nicht ganz.
>
> Soll ich jetzt [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] schreiben als
> [mm]2\bruch{\pi}{12}[/mm] und dann schreiben:
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6})=2sin(\bruch{\pi}{12})cos(\bruch{\pi}{12})?[/mm]
>
> Das macht das ganze doch nicht einfacher oder?
Du solltest das irgendwie auf bekannte Sinus- und Cosinuswerte zurückführen.
Verrate mal, welche Werte ihr schon kennt ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Fr 17.01.2014 | | Autor: | Schuricht |
In [mm] \IR [/mm] wissen wir die Werte für x=0 und [mm] x=\bruch{\pi}{n} [/mm] mit [mm] n\in\{2,3,4,6\}. [/mm] Sonst absolut nichts. Und das [mm] sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2} [/mm] ist, wissen wir also auch schon.
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Hallo nochmal,
> In [mm]\IR[/mm] wissen wir die Werte für x=0 und [mm]x=\bruch{\pi}{n}[/mm]
> mit [mm]n\in\{2,3,4,6\}.[/mm] Sonst absolut nichts. Und das
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6})=\bruch{1}{2}[/mm] ist, wissen wir also auch
> schon.
Dann ist doch nix mehr zu tun ...
Den Tangenswert kannst du mithilfe der Definition [mm] $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ [/mm] berechnen ...
Gruß
schachuzipus
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Natürlich ist noch etwas zu tun. Ich muss (!) die Gleichung sin(2x)=... verwenden um die Werte exakt zu berechnen. Ich kann ja nicht sagen, dass das im Hefter schon steht. Es gibt schließlich drei Punkte.
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Hallo,
es bleibt für mich total unklar, was du dann verwenden darfst ...
> Natürlich ist noch etwas zu tun. Ich muss (!) die
> Gleichung sin(2x)=... verwenden um die Werte exakt zu
> berechnen. Ich kann ja nicht sagen, dass das im Hefter
> schon steht. Es gibt schließlich drei Punkte.
Irgendwie eine bescheuerte Aufgabe ...
Wenn du etwa den Wert von [mm]\cos(\pi/6)[/mm] und den von [mm]\sin(\pi/3)[/mm] benutzen darfst, um [mm]\sin(\pi/6)[/mm] zu berechnen, versuche dies:
[mm]\sin(\pi/3)=\sin(2\pi/6)=2\sin(\pi/6)\cos(\pi/6)[/mm]
Das kannst du nach [mm]\sin(\pi/6)[/mm] umstellen und dann ausrechnen - wenn du denn die anderen Werte benutzen darfst ...
Oder darfst du alle bekannten Werte außer den 3 oben zu berechnenden benutzen?!
Das solltest du mal klären ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo Schuricht,
es hängt in der Tat ganz wesentlich davon ab, was Ihr dafür eigentlich verwenden dürft.
Hier mal eine Lösung, die noch eine andere Beziehung nutzt, wenn nicht sogar zwei. 
> Benutzen Sie die Formel sin(2x)=2sinxcosx, um
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6}), cos(\bruch{\pi}{6}), tan(\bruch{\pi}{6})[/mm]
> exakt (keine Näherungen) zu bestimmen.
> Das verstehe ich nicht ganz.
>
> Soll ich jetzt [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm] schreiben als
> [mm]2\bruch{\pi}{12}[/mm] und dann schreiben:
> [mm]sin(\bruch{\pi}{6})=2sin(\bruch{\pi}{12})cos(\bruch{\pi}{12})?[/mm]
>
> Das macht das ganze doch nicht einfacher oder?
Nein, anders...
Ich nehme an, Ihr hattet [mm] \sin{(x)}=\cos{\left(\bruch{\pi}{2}-x\right)}.
[/mm]
Dann ist [mm] \cos{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}=\sin{\left(\bruch{\pi}{3}\right)}=\sin{\left(2*\bruch{\pi}{6}\right)}=2\sin{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}\cos{\left(\bruch{\pi}{6}\right)}
[/mm]
Jetzt lässt sich der [mm] \cos [/mm] rauskürzen, fertig ist der [mm] \sin.
[/mm]
Und: hier ist überhaupt kein bekannter Wert von [mm] \sin [/mm] oder [mm] \cos [/mm] vorausgesetzt worden!
Trotzdem brauchst Du dann immer noch den trigonometrischen Pythagoras, um den [mm] \cos [/mm] zu bestimmen, und die Definition des [mm] \tan [/mm] als Quotient [mm] \sin/\cos [/mm] für die beiden noch fehlenden Werte.
Grüße
reverend
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ich hätte dann:
[mm] cos(\bruch{\pi}{6})=2\cdot cos(\bruch{\pi}{6})\cdot sin(\bruch{\pi}{6})\Rightarrow 1=2\cdot sin(\bruch{\pi}{6}) \Rightarrow 1/2=sin(\bruch{\pi}{6})
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ich hätte dann:
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{6})=2\cdot cos(\bruch{\pi}{6})\cdot sin(\bruch{\pi}{6})\Rightarrow 1=2\cdot sin(\bruch{\pi}{6}) \Rightarrow 1/2=sin(\bruch{\pi}{6})[/mm]
Ja eben.
lg
ref, äh rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Fr 17.01.2014 | | Autor: | reverend |
Ach ja, da habe ich natürlich noch was vergessen...
> Hallo nochmal,
>
> > ich hätte dann:
> >
> > [mm]cos(\bruch{\pi}{6})=2\cdot cos(\bruch{\pi}{6})\cdot sin(\bruch{\pi}{6})\Rightarrow 1=2\cdot sin(\bruch{\pi}{6}) \Rightarrow 1/2=sin(\bruch{\pi}{6})[/mm]
>
> Ja eben.
Man muss allerdings sicherstellen, dass der zu kürzende Cosinuswert nicht 0 ist. Da der Cosinus aber seine Nullstellen bei [mm] \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\pi [/mm] hat [mm] (k\in\IZ), [/mm] kann man das hier garantieren.
Eine elegante Lösung für den [mm] \cos [/mm] ist mir nicht eingefallen. Da bräuchte man halt andere Additionstheoreme.
Grüße
reverend
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