Skalar-/Vektorfeld < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Zeigen Sie die folgende Identität für ein Vektorfeld A:
$ [mm] \nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2 [/mm] A $
b) Seien E(x,t) und H(x,t) Vektorfelder, die den folgenden Gleichungen genügen:
$ [mm] \nabla\cdot [/mm] E=0 $, $ [mm] \nabla\cdot [/mm] H=0 $, $ [mm] \nabla\times E=-\frac{\partial H}{\partial t} [/mm] $ und $ [mm] \nabla\times H=\frac{\partial E}{\partial t} [/mm] $.
Zeigen Sie, dass
$ [mm] \nabla^2 E=\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} [/mm] $ und $ [mm] \nabla^2 H=\frac{\partial^2 H}{\partial t^2} [/mm] $, zeigen Sie außerdem, dass $ [mm] \nabla\cdot(H\times E)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2). [/mm] |
Hallo,
nach einigem Umzugsstress bin ich wieder da und hab natürlich wieder etliche Fragen mitgebracht ....
(a) war kein problem. (b) haben wir in der vorlesung besprochen, ich kann der lösung aber nicht ganz folgen. Was gemacht wird, ist folgendes:
wenden wir den curl-operator auf die vorletzte gleichung an, dann erhalten wir
$ [mm] \nabla\times(\nabla\times E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times [/mm] H) $.
Aus $ [mm] \nabla\times E=-\frac{\partial H}{\partial t} [/mm] $ folgt doch, dass $ [mm] \nabla\times(\nabla\times E)=-\frac{\partial}{\partial t} =\nabla\times(-\frac{\partial H}{\partial t}) [/mm] $. Wie kommt man dort jetzt auf das geforderte ?
Wieso kann man hier den Differentialoperator aus der Klammer ziehen ?
Dann unter benutzung der Identität aus (a) und den gegebenen Gleichungen folgt: $ [mm] \nabla^2 E=\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} [/mm] $. Das kann ich aus der vorherigen Gleichung nachvollziehen.
Das Gleiche wird dann auch für $ [mm] \nabla^2 H=\frac{\partial^2 H}{\partial t^2} [/mm] $ gemacht.
Zum letzten Teil haben wir aufgeschrieben:
Nehmen wir $ [mm] E\cdot(\nabla\times [/mm] H) $ und $ [mm] H\cdot(\nabla\times [/mm] E) $ und subtrahieren dies, so erhalten wir
$ [mm] E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times E)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2) [/mm] $
unter benutzung von (a) kann die linke Seite umgeschrieben werden zu
$ [mm] \nabla\cdot(H\times [/mm] E) $
Zu dem Teil hatte ich mir folgendes gedacht:
$ [mm] E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times [/mm] E) = [mm] \nabla\cdot(H\times E)-\nabla\cdot(E\times H)=2\nabla(H\times [/mm] E) $
von dem punkt komme ich jetzt aber nicht weiter.
Eine Menge Fragen, ich weiß...
Wäre super, wenn jemand Licht in mein Dunkel bringt.
Vielen Dank !!
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mo 25.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Zeigen Sie die folgende Identität für ein Vektorfeld
> A:
>
> [mm]\nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot A)-\nabla^2 A[/mm]
>
> b) Seien E(x,t) und H(x,t) Vektorfelder, die den folgenden
> Gleichungen genügen:
>
> [mm]\nabla\cdot E=0 [/mm], [mm]\nabla\cdot H=0 [/mm], [mm]\nabla\times E=-\frac{\partial H}{\partial t}[/mm]
> und [mm]\nabla\times H=\frac{\partial E}{\partial t} [/mm].
>
> Zeigen Sie, dass
> $ [mm]\nabla^2 E=\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}[/mm] $ und $
> [mm]\nabla^2 H=\frac{\partial^2 H}{\partial t^2}[/mm] $, zeigen Sie
> außerdem, dass $ [mm]\nabla\cdot(H\times E)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2).[/mm]
>
> Hallo,
>
> nach einigem Umzugsstress bin ich wieder da und hab
> natürlich wieder etliche Fragen mitgebracht ....
>
> (a) war kein problem. (b) haben wir in der vorlesung
> besprochen, ich kann der lösung aber nicht ganz folgen.
> Was gemacht wird, ist folgendes:
>
> wenden wir den curl-operator auf die vorletzte gleichung
> an, dann erhalten wir
>
> [mm]\nabla\times(\nabla\times E)=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times H) [/mm].
>
> Aus [mm]\nabla\times E=-\frac{\partial H}{\partial t}[/mm] folgt
> doch, dass [mm]\nabla\times(\nabla\times E)=-\frac{\partial}{\partial t} =\nabla\times(-\frac{\partial H}{\partial t}) [/mm].
> Wie kommt man dort jetzt auf das geforderte ?
> Wieso kann man hier den Differentialoperator aus der
> Klammer ziehen ?
Das ist der Satz von Schwarz: Ist eine Funktion n-mal stetig partiell diffbar, dann ist bei allen bis zu n-fachen partiellen Ableitungen die Reihenfolge egal.
> Dann unter benutzung der Identität aus (a) und den
> gegebenen Gleichungen folgt: [mm]\nabla^2 E=\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} [/mm].
> Das kann ich aus der vorherigen Gleichung nachvollziehen.
>
> Das Gleiche wird dann auch für [mm]\nabla^2 H=\frac{\partial^2 H}{\partial t^2}[/mm]
> gemacht.
>
> Zum letzten Teil haben wir aufgeschrieben:
>
> Nehmen wir [mm]E\cdot(\nabla\times H)[/mm] und [mm]H\cdot(\nabla\times E)[/mm]
> und subtrahieren dies, so erhalten wir
>
> [mm]E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times E)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2)[/mm]
>
> unter benutzung von (a) kann die linke Seite umgeschrieben
> werden zu
>
> [mm]\nabla\cdot(H\times E)[/mm]
>
> Zu dem Teil hatte ich mir folgendes gedacht:
>
> [mm]E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times E) = \nabla\cdot(H\times E)-\nabla\cdot(E\times H)=2\nabla(H\times E)[/mm]
Das ist falsch. [mm]E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times E) = \nabla\cdot(H\times E)[/mm]. Das wird z.B ![[]](/images/popup.gif) hier in Koordinaten oder hier in [tex]\S12[/tex] mit Hilfe des Nabla-Kalküls vorgerechnet.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo rainer,
danke für deine antwort. jetzt bin ich schon ein ganzes stück schlauer. die sache mit dem satz von schwarz ist mir noch nicht ganz klar, geht das hier, weil der nabla-operator auch ein differentialoperator ist ? Wir haben diesen Satz nie in der Vorlesung gehabt...
Und wie kommt man dann von [mm] \nabla\cdot(H\times [/mm] E) auf [mm] \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2) [/mm] ?
Ich habe versucht es aus den vorherigen gleichungen zu bekommen, aber das gelingt mir nicht... Geht es nur über das Ausschreiben in Koordianten ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 25.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainer,
>
> danke für deine antwort. jetzt bin ich schon ein ganzes
> stück schlauer. die sache mit dem satz von schwarz ist mir
> noch nicht ganz klar, geht das hier, weil der
> nabla-operator auch ein differentialoperator ist ? Wir
> haben diesen Satz nie in der Vorlesung gehabt...
Das wundert mich. Es ist einer der zentralen Sätze, wenn man partielle Ableitungen einführt.
>
> Und wie kommt man dann von [mm]\nabla\cdot(H\times[/mm] E) auf
> [mm]\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2)[/mm] ?
Du hast doch schon
[mm] E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times E)=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(|E|^2+|H|^2) [/mm],
wegen
[mm] E\cdot(\nabla\times H) = E* \bruch{\partial E}{\partial t} = \bruch{1}{2} \bruch{\partial }{\partial t} (E*E) [/mm]
und analog für [mm] $H\cdot(\nabla\times [/mm] E)$. Es geht also nur noch darum, [mm] $E\cdot(\nabla\times H)-H\cdot(\nabla\times [/mm] E)$ umzuformen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
