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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Sa 06.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Für [mm] \lambda, [/mm] x, y [mm] \in \R [/mm] ist die Skalarmultiplikation so definiert: [mm] \lambda [/mm] (x, y) = [mm] (\lambda x,\lambda [/mm] y). Was könnten in diesem Zusammenhang die
Begriffe Assoziativität, Neutrale Elemente, Inverse Elemente, Kommutativität und Distributivität bedeuten?
Zeigen oder widerlegen Sie die genannten Gesetze für die Skalarmultiplikation. Verwenden Sie dabei nur die entsprechenden
Gesetze für die reellen Zahlen. |
Hallo,
ich weiß gar nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe :-S
Soll ich zeigen, ob die Skalarmultiplikation die Gesetze erfüllt?
Also ich mein das so:
x=(x1,x2)
y=(y1,y2)
[mm] \lambda=(\lambda [/mm] 1, [mm] \lambda [/mm] 2)
Assoziativität:
[mm] \lambda(x*y)=\lambda(x1*y1,x2*y2)=(\lambda [/mm] 1* x1*y1, [mm] \lambda [/mm] 2* [mm] x2*y2)=(\lambda 1*x1,\lambda [/mm] 2 * [mm] x2)y=(\lambda*x)y
[/mm]
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Kueken |
Hi!
Du auch an der Tu Darmstadt :)
Ich häng an derselben Aufgabe. Also die Assoziativität musst du mit zwei skalaren zeigen, Ich hab das so gemacht:
ich nehme jetzt a und b als skalare
a*(b*(x,y))=....= (a*b)*(x,y)
Wos bei mir aber nicht mehr weitergeht ist das inverse Element. Ich weiß es gibt keins, aber wie soll ich das zeigen?
Lieben Gruß
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Sa 06.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
hey kucken,
danke für deinen Hinweis!
Ja bin auch von der TU 
Lg Melisa
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Hi Melisa,
Denkanstoß: Setze $ [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] =: [mm] \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ y_1} [/mm] + [mm] \vektor{x_2 \\ y_2} [/mm] $
Dann gilt per Definition $ [mm] \lambda\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} [/mm] = ... ? $
Erfüllt die Skalarmultiplikation nun die Distributivität?
Das hilft dir sicher entsprechend über die anderen Eigenschaften urteilen zu können.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 06.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Chopysuey,
danke erstmal für deinen Hinweis!
Ich habe jetzt:
[mm] \lambda\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} =\vektor{\lambda x_1 \\ \lambda y_1}+ \vektor{\lambda x_2 \\ \lambda y_2}
[/mm]
und damit ist die Distributivität erfüllt.
Für die Assoziativität habe ich mit Kuckens HInweis:
[mm] a(b(\vektor{x \\ y})=a(b(\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} ))=(a*b)(\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} [/mm] =(a*b)(x*y)
Kommutativität:
[mm] \lambda \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} =\vektor{\lambda x_1 \\ \lambda y_1}+ \vektor{\lambda x_2 \\ \lambda y_2}=\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2} \lambda=\vektor{x \\ y} \lambda
[/mm]
Neutrale Elemente:
1 [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] =1 [mm] \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2}= \vektor{1*x_1 \\ 1*y_1}+ \vektor{1* x_2 \\ 1* y_2}= \vektor{x \\ y}
[/mm]
stimmt das so?
Danke im voraus
Lg Melisa
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Hi Melisa!
Sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei der Kommutativität hätte es auch ohne die Darstellung der Summe zweier Vektoren funktioniert.
Denk' einfach daran, dass $ [mm] \lambda*x [/mm] $ und $ [mm] \lambda*y$ [/mm] reelle Zahlen sind.
Es gilt ja $ v: [mm] \IR \to \IR^2, [/mm] \ [mm] \lambda \mapsto v(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda*(x,y) [/mm] $ mit $ x, y [mm] \in \IR [/mm] $
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Sa 06.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hey super danke hast mir sehr geholfen  jetzt muss ich nur noch das mit dem inverse element zeigen.
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