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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 23.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] (V,\phi) [/mm] ein dreidimensionaler unitärer [mm] \IC-Vektorraum [/mm] und [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] eine Orthonormalbasis von V bezüglich [mm] \phi. [/mm] Begründe, ob ein Vektor v [mm] \in [/mm] V existiert für den gilt:
[mm] \phi(v,v)=5 [/mm] , [mm] \phi(v,b_1)=1+i [/mm] , [mm] \phi(v,b_2)=2i
[/mm]
(b) Finde einen Endomorphismus [mm] \phi \in End_{\IC}(\IC^3), [/mm] der bzgl. des Standartskalarproduktes nicht normal ist. |
Hallo! Komme leider nicht allein weiter mit der Aufgabe, daher wäre ich für jeden Tipp / Korrektur sehr dankbar!
zu (a): Hier bin ich mir nicht mal im Klaren, wie die Aufgabe gemeint ist. Soll es ein v geben, für das alle 3 Gleichungen gelten, oder soll man für jede Gleichung im Einzelnen begründen ob es so ein v gibt? Was macht hier mehr Sinn?
[mm] \phi [/mm] soll wohl das Skalarprodukt im [mm] \IC^3 [/mm] sein?!
Für [mm] v=\pmat{1+i\\1+i\\1} [/mm] z.B. wäre schonmal [mm] \phi(v,v)=5 [/mm] erfüllt. (*)
Jetzt gilt aber doch für das Skalarprodukt im [mm] \IC^n [/mm] :
[mm] \langle [/mm] x, y [mm] \rangle [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n \bar x_i y_i [/mm] = [mm] \bar x_1{y_1}+\bar x_2 {y_2}+\dotsb [/mm] + [mm] \bar x_n{y_n} [/mm] // wobei [mm] \bar x_i [/mm] das komplex konjugierte [mm] x_i [/mm] ist.
Für (*) also: [mm] \phi(\pmat{1+i\\1+i\\1},\pmat{1+i\\1+i\\1})=(1-i)(1+i)+(1-i)(1+i)+1=5
[/mm]
Die Einträge von Vektoren einer Orthonormalbasis sind doch reell, oder irre ich mich da?
Weiter muss gelten: <x,y> = <y,x>
Das bringt mich dann zu dem Problem:
Nehmen wir für [mm] b_1 [/mm] einfach mal den Vektor [mm] \pmat{1\\0\\0}. [/mm] Dann:
[mm] \phi(\pmat{1+i\\1+i\\1},\pmat{1\\0\\0})=(1-i)*1=1-i \not= \phi(\pmat{1\\0\\0}, \pmat{1+i\\1+i\\1})=1*(1+i)=1+i
[/mm]
Damit wäre doch schon <x,y> [mm] \not= [/mm] <y,x>
Bei der dritten Gleichung könnte man dann genauso argumentieren, wozu ist die dann überhaupt da? Oder sollte ich das Ganze schnell wieder vergessen? Stehe gewaltig aufm Schlauch..
Danke für Eure Hilfe schonmal! :]
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> (a) Sei [mm](V,\phi)[/mm] ein dreidimensionaler unitärer
> [mm]\IC-Vektorraum[/mm] und [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] eine Orthonormalbasis von
> V bezüglich [mm]\phi.[/mm] Begründe, ob ein Vektor v [mm]\in[/mm] V
> existiert für den gilt:
>
> [mm]\phi(v,v)=5[/mm] , [mm]\phi(v,b_1)=1+i[/mm] , [mm]\phi(v,b_2)=2i[/mm]
>
> (b) Finde einen Endomorphismus [mm]\phi \in End_{\IC}(\IC^3),[/mm]
> der bzgl. des Standartskalarproduktes nicht normal ist.
> Hallo! Komme leider nicht allein weiter mit der Aufgabe,
> daher wäre ich für jeden Tipp / Korrektur sehr dankbar!
>
> zu (a): Hier bin ich mir nicht mal im Klaren, wie die
> Aufgabe gemeint ist. Soll es ein v geben, für das alle 3
> Gleichungen gelten,
Hallo,
ja, das ist die Frage.
Du sollst eines sagen, oder glaubhaft machen, daß es keins gibt.
> oder soll man für jede Gleichung im
> Einzelnen begründen ob es so ein v gibt? Was macht hier
> mehr Sinn?
Nein.
Die Gleichungen sollen gleichzeitig gelten.
>
> [mm]\phi[/mm] soll wohl das Skalarprodukt im [mm]\IC^3[/mm] sein?!
[mm] Nein.\phi [/mm] ist ein Skalarprodukt auf V - wobei [mm] \IC^3 [/mm] über [mm] \IC [/mm] isomorph zu V ist.
Du könntest natürlich mit Koordinatenvektoren bzgl [mm] B:=(b_1, b_2, b_3) [/mm] arbeiten.
> Die Einträge von Vektoren einer Orthonormalbasis sind doch
> reell, oder irre ich mich da?
Sie sind nicht zwingend reell.
Aber wenn Du die [mm] b_i [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl. B schreibst, sind es natürlich die Standardeinheitsvektoren. Vielleicht meintest Du das.
Mal als Idee: wenn B eine Basis ist, dann gibt es [mm] c_i\in \IC [/mm] mit [mm] v=\summe c_ib_i.
[/mm]
> Weiter muss gelten: <x,y> = <y,x>
>
> Das bringt mich dann zu dem Problem:
> Nehmen wir für [mm]b_1[/mm] einfach mal den Vektor [mm]\pmat{1\\
0\\
0}.[/mm]
> Dann:
> [mm]\phi(\pmat{1+i\\
1+i\\
1},\pmat{1\\
0\\
0})=(1-i)*1=1-i \not= \phi(\pmat{1\\
0\\
0}, \pmat{1+i\\
1+i\\
1})=1*(1+i)=1+i[/mm]
???
Du solltest mal genau nachlesen, wie die Bedingungen für "Skalarprodukt" in VRen über [mm] \IC [/mm] sind...
Gruß v. Angela<x,y><y,x>
</y,x></x,y></y,x></x,y>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 16.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei $ [mm] (V,\phi) [/mm] $ ein dreidimensionaler unitärer $ [mm] \IC-Vektorraum [/mm] $ und $ [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] $ eine Orthonormalbasis von V bezüglich $ [mm] \phi. [/mm] $ Begründe, ob ein Vektor v $ [mm] \in [/mm] $ V existiert für den gilt:
$ [mm] \phi(v,v)=5 [/mm] $ , $ [mm] \phi(v,b_1)=1+i [/mm] $ , $ [mm] \phi(v,b_2)=2i [/mm] $ |
Hallo! Mein Ansatz
$ [mm] v=\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3, [/mm] \ \ \ [mm] \lambda_i\in\IC [/mm] $
Damit ist:
$ [mm] \Phi(v,v)=\Phi((\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3), [/mm] \ [mm] (\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3)) [/mm] \ \ [mm] \*$
[/mm]
das lässt sich auseinander ziehen und es ist jeweils $ [mm] \Phi(\lambda_i*b_i,\lambda_j*b_j)=0 [/mm] $ für $ [mm] i\not= [/mm] j $ denn die [mm] b_i [/mm] sind ja paarweise orthogonal.
$ [mm] \*=\Phi(\lambda_1*b_1,\lambda_1*b_1)+\Phi(\lambda_2*b_2,\lambda_2*b_2)+\Phi(\lambda_3*b_3,\lambda_3*b_3)=\lambda_1^2*\Phi(b_1,b_1)+\lambda_2^2*\Phi(b_2,b_2)+\lambda_3^2*\Phi(b_3,b_3) [/mm] \ \ [mm] \*^2$
[/mm]
Durch die Orthonormalität folgt [mm] \Phi(b_i,b_i)=1 [/mm] also weiter:
$ [mm] \*^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=5 [/mm] $
Für die weiteren Gleichungen folgt ähnlich:
[mm] \Phi(v,b_1)=\lambda_1*\Phi(b_1,b_1)=\lambda_1=1+i
[/mm]
[mm] \Phi(v,b_2)=\lambda_2*\Phi(b_2,b_2)=\lambda_2=2i
[/mm]
Das setze ich in obige Gleichung ein:
[mm] (1+i)^2+(2i)^2+\lambda_3=5 \gdw 2i-4+\lambda_3=5
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_3=9-2i
[/mm]
Es gibt also das gesuchte [mm] $v\in [/mm] V$.
Passt das so oder gibts noch was zu bemängeln?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 16.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](V,\phi)[/mm] ein dreidimensionaler unitärer [mm]\IC-Vektorraum[/mm]
> und [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] eine Orthonormalbasis von V bezüglich
> [mm]\phi.[/mm] Begründe, ob ein Vektor v [mm]\in[/mm] V existiert für den
> gilt:
>
> [mm]\phi(v,v)=5[/mm] , [mm]\phi(v,b_1)=1+i[/mm] , [mm]\phi(v,b_2)=2i[/mm]
> Hallo! Mein Ansatz
>
> [mm]v=\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3, \ \ \ \lambda_i\in\IC[/mm]
>
> Damit ist:
>
> [mm]\Phi(v,v)=\Phi((\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3), \ (\lambda_1*b_1+\lambda_2*b_2+\lambda_3*b_3)) \ \ \*[/mm]
>
> das lässt sich auseinander ziehen und es ist jeweils
> [mm]\Phi(\lambda_i*b_i,\lambda_j*b_j)=0[/mm] für [mm]i\not= j[/mm] denn die
> [mm]b_i[/mm] sind ja paarweise orthogonal.
>
> [mm]\*=\Phi(\lambda_1*b_1,\lambda_1*b_1)+\Phi(\lambda_2*b_2,\lambda_2*b_2)+\Phi(\lambda_3*b_3,\lambda_3*b_3)=\lambda_1^2*\Phi(b_1,b_1)+\lambda_2^2*\Phi(b_2,b_2)+\lambda_3^2*\Phi(b_3,b_3) \ \ \*^2[/mm]
>
> Durch die Orthonormalität folgt [mm]\Phi(b_i,b_i)=1[/mm] also
> weiter:
>
> [mm]\*^2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=5[/mm]
>
> Für die weiteren Gleichungen folgt ähnlich:
>
> [mm]\Phi(v,b_1)=\lambda_1*\Phi(b_1,b_1)=\lambda_1=1+i[/mm]
>
> [mm]\Phi(v,b_2)=\lambda_2*\Phi(b_2,b_2)=\lambda_2=2i[/mm]
Bis hier ist alles O.K.
>
> Das setze ich in obige Gleichung ein:
>
> [mm](1+i)^2+(2i)^2+\lambda_3=5 \gdw 2i-4+\lambda_3=5[/mm]
Da sollte [mm] \lambda^2_3 [/mm] stehen !!
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_3=9-2i[/mm]
Nein, sondern [mm] \lambda^2_3=9-2i
[/mm]
FRED
>
> Es gibt also das gesuchte [mm]v\in V[/mm].
>
> Passt das so oder gibts noch was zu bemängeln?
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 16.05.2012 | | Autor: | chesn |
Ups.. tausend Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 16.05.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | b) Finden Sie einen Endomorphismus [mm] F\in End_{\IC}(\IC^3), [/mm] der bezüglich des Standardskalarproduktes nicht normal ist. |
Hallo,
nach Def.: Ein [mm] F\in End_{\IC}(V) [/mm] (z.B. [mm] V=\IC^n, \Phi=<,>) [/mm] heißt normal, falls [mm] $F\circ\tilde F=\tilde F\circ [/mm] F$ (z.B. [mm] $A\bar A^T=\bar [/mm] A^TA$).
Ist das nicht einfach so etwas?
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1+i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] dann ist
[mm] \bar A^T=\pmat{ 1 & 1-i & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und es gilt [mm] $A\bar A^T\not=\bar [/mm] A^TA$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 16.05.2012 | | Autor: | chesn |
Jep ich habe ein ähnliches Beispiel.. das sollte so passen.
Gruß
chesn
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