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Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Di 18.07.2017
Autor: James90

Hi!

Ich verstehe einfach nicht, wie ich bei der folgenden Aufgabe anfangen soll. Über eine Starthilfe wäre ich sehr dankbar

Sei $(V,<*,*>)$ ein euklidischer Vektorraum mit induzierter Norm [mm] $\|x\|:=\sqrt{}$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] V$. Beweise

[mm] \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2 [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] V$

-> Das habe ich hinbekommen

Für [mm] x\in\IR^n [/mm] definiere die Maximumsnorm [mm] \|x\|_{\infty}:=\max_{i=1,\ldots,n}\{|x_i|\}. [/mm] Zeige, dass es kein Skalarprodukt <*,*> auf [mm] \IR^n [/mm] gibt [mm] mit\sqrt{}=\|x\|_{\infty} [/mm] für alle [mm] x\in\IR^n [/mm]

Ich denke, dass ich die erste Aufgabe benutzen soll, aber irgendwie komme ich nicht weiter.

Viele Grüße und noch einen schönen Abend

        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Mi 19.07.2017
Autor: chrisno

Ich glaube kaum, dass Du die erste Aufgabe benutzen kannst. Es geht gerade um die unterschiedlichen Eigenschaften der beiden Normen.
"Zeige, dass es kein ..." weist darauf hin, dass es eine Eigenschaft der Maximumsnorm gibt die benutzt wird. Geht die Definition des Skalarprodukts durch und überlege, wo es Probleme geben kann.

Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Mi 19.07.2017
Autor: fred97

Wenn es ein Skalarprodukt <*,*> auf $ [mm] \IR^n [/mm] $ gäbe  mit [mm] $\sqrt{}=\|x\|_{\infty} [/mm] $, so müsste gelten



$ [mm] \|x+y\|_{\infty}^2+\|x-y\|_{\infty}^2=2\|x\|_{\infty}^2+2\|y\|_{\infty}^2 [/mm] $ für alle $ [mm] x,y\in \IR^n [/mm] $.

Zeige dass die nicht für alle  $ [mm] x,y\in \IR^n [/mm] $ richtig ist.

Bezug
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