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Hallo Leute
Ich habe hier eine Aufgabe, die ich versucht habe zu lösen. Jedoch nicht auf das Ergebnis komme. Ich habe für die X Achse mal einen Wert genommen und für die Y-Achse. Jedoch komme ich nicht weiter.
Ein Ortsvektor r schliesst mit der X-Achse und der Y-Achse je einen Winkel von 60 grad ein. Bestimmen Sie den Winkel alpha (alpha<90 grad) mit der z-Achse.
Vielen Dank für eure Hilfe
Lg Nicole
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Hi, Nicole,
> Ein Ortsvektor r schliesst mit der X-Achse und der Y-Achse
> je einen Winkel von 60 grad ein. Bestimmen Sie den Winkel
> alpha (alpha<90 grad) mit der z-Achse.
Kann sein, dass mein Lösungsvorschlag zu umständlich ist, aber er führt zum Ziel:
Setze den Vektor [mm] \vec{r} [/mm] mal ganz allgemein an:
[mm] \vec{r}= \vektor{a \\ b \\ c}
[/mm]
Da die Länge dieses Vektors beliebig ist, weil Du ja nur den Winkel mit der z-Achse brauchst, er andererseits nicht in der xy-Ebene liegen kann (wegen der beiden 60°-Winkel), kannst Du z.B. c [mm] \not= [/mm] 0 beliebig wählen, z.B. c=1.
Also: [mm] \vec{r}= \vektor{a \\ b \\ 1}.
[/mm]
Nun zur Winkelrechnung:
[mm] \vektor{a \\ b \\ 1}\circ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = a
und wegen des 60°-Winkels:
[mm] \vektor{a \\ b \\ 1}\circ \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}+1}*cos(60°) [/mm] = [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}+1}*0,5.
[/mm]
Gleichsetzen mit a, quadrieren und umformen:
[mm] a^{2}+b^{2}+1 [/mm] = [mm] 4a^{2}
[/mm]
<=> [mm] 3a^{2} [/mm] - [mm] b^{2} [/mm] = 1.
Genauso für den Winkel mit der y-Achse:
[mm] -a^{2}+3b^{2} [/mm] = 1.
Berechnung von a und b (nur die positive Lösung brauchbar wegen des Winkels, der <90° sein soll):
a = b = [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2}.
[/mm]
Damit hast Du den Vektor r und kannst den Winkel mit der z-Achse rauskriegen!
mfG!
Zwerglein
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