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Forum "Vektoren" - Skalarprodukt
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Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Do 10.05.2007
Autor: itse

Aufgabe
2.Es sein

[mm] $\vec [/mm] a$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec [/mm] b$ = [mm] $\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec [/mm] c$ = [mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ [/mm]

a) Bestimmen Sie die Beträge der Vektoren [mm] $\vec [/mm] a$, [mm] $\vec [/mm] b$ und [mm] $\vec [/mm] c$.
b) Bestimmen Sie die Skalarprodukte [mm] $\vec [/mm] a$ * [mm] $\vec [/mm] b$, [mm] $\vec [/mm] a$ * [mm] $\vec [/mm] c$ und [mm] $\vec [/mm] b$ * [mm] $\vec [/mm] c$.
c) Bestimmen Sie die Winkel zwischen den Vektoren [mm] $\vec [/mm] a$, [mm] $\vec [/mm] b$ und [mm] $\vec [/mm] c$.

3. Geben Sie drei zum Vektor [mm] $\vec [/mm] v$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] senkrechte Vektoren an.

Hallo zusammen,

hier meine Lösung, wenn es sich jemand anschauen könnte und sagen ob es so passt? Vielen Dank

2. a) [mm] $\vec [/mm] |a|$ = [mm] $\wurzel{2^2+0^2+1^2} [/mm] = [mm] \wurzel{5}$ [/mm]
      [mm] $\vec [/mm] |b|$ = [mm] $\wurzel{4^2+(-3)^2+1^2} [/mm] = [mm] \wurzel{26}$ [/mm]
      [mm] $\vec [/mm] |c|$ = [mm] $\wurzel{(-1)^2+1^2+(-2)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{6}$ [/mm]


b) [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] * [mm] $\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] = 2*4+0*(-3)+1*1 = 9

   [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] * [mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ [/mm] = 2*(-1)+0*1+1*(-2) = -4

   [mm] $\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] * [mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ [/mm] = 4*(-1)+(-3)*1+1*(-2) = -9


c) [mm] $\cos \gamma$ [/mm] = [mm] $\bruch{\vec a * \vec b}{\vec |a| * \vec |b|}$ [/mm] = 37,9°

   [mm] $\cos \gamma$ [/mm] = [mm] $\bruch{\vec a * \vec c}{\vec |a| * \vec |c|}$ [/mm] = 136,9°

   [mm] $\cos \gamma$ [/mm] = [mm] $\bruch{\vec b * \vec c}{\vec |b| * \vec |c|}$ [/mm] = 136,1°



3. Dazu muss das Skalarprodukt von [mm] $\vec [/mm] v$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] * [mm] $\vec [/mm] x$ = [mm] $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ [/mm] = 0 sein, da [mm] $\cos-|$ [/mm] von 0 = 90° ist.

1 * 1 + 2 * 1 -2 * 1,5 = 0
1 * 2 + 2 * 2 -2 * 3   = 0
1*(-2) + 2 * (-2) -2 * (-3) = 0


Die Vektoren [mm] $\vec x_1$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1,5 \end{pmatrix}$, $\vec x_2$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\vec x_3$ [/mm] = [mm] $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$ [/mm] sind senkrecht zum Vektor [mm] $\vec [/mm] v$ = [mm] $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. [/mm]

        
Bezug
Skalarprodukt: (Teil-)Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 10.05.2007
Autor: Loddar

Hallo itse!


> 2. a) [mm]\vec |a|[/mm] = [mm]\wurzel{2^2+0^2+1^2} = \wurzel{5}[/mm]
>        
> [mm]\vec |b|[/mm] = [mm]\wurzel{4^2+(-3)^2+1^2} = \wurzel{26}[/mm]
>        
> [mm]\vec |c|[/mm] = [mm]\wurzel{(-1)^2+1^2+(-2)^2} = \wurzel{6}[/mm]

[ok] Alle 3 richtig!


> b) [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] *  [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = 2*4+0*(-3)+1*1  = 9
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] = 2*(-1)+0*1+1*(-2) = -4
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] = 4*(-1)+(-3)*1+1*(-2) = -9

[ok] Alle 3 richtig!


> c) [mm]\cos \gamma[/mm] = [mm]\bruch{\vec a * \vec b}{\vec |a| * \vec |b|}[/mm]  = 37,9°
>  
> [mm]\cos \gamma[/mm] = [mm]\bruch{\vec a * \vec c}{\vec |a| * \vec |c|}[/mm] = 136,9°
>  
> [mm]\cos \gamma[/mm] = [mm]\bruch{\vec b * \vec c}{\vec |b| * \vec |c|}[/mm] = 136,1°

[keineahnung] Kann ich grad ohne Taschenrechner nicht kontrollieren ...


> 3. Dazu muss das Skalarprodukt von [mm]\vec v[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\vec x[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}[/mm] = 0
> sein, da [mm]\cos-|[/mm] von 0 = 90° ist.

[ok] Richtig! Aber es gilt natürlich andersrum: [mm] $\cos(90°) [/mm] \ = \ 0$ !


> 1 * 1 + 2 * 1 -2 * 1,5 = 0
> 1 * 2 + 2 * 2 -2 * 3   = 0
> 1*(-2) + 2 * (-2) -2 * (-3) = 0

[notok] Das stimmt leider nicht, da Du hier jeweils den falschen Wert für $y \ = \ [mm] x_2$ [/mm] einsetzt. Dieser lautet doch [mm] $\vec{v} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\ \red{0} \\ 1}$ [/mm] !

Es muss also jeweils gelten:

[mm] $\vektor{2\\ \red{0} \\ 1}*\vektor{x\\ y \\ z} [/mm] \ = \ [mm] 2*x+\red{0}*y+1*z [/mm] \ = \ 2x+z \ = \ 0$


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Do 10.05.2007
Autor: itse

hallo,

hab beim kopieren der vektoren einen fehler gemacht. bei aufgabe 3 lautet der vektor [mm] $\vec [/mm] v$ = $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $,
dann müsste meine Lösung doch stimmen?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Yep!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 Do 10.05.2007
Autor: Loddar

Hallo itse!


Dann stimmt's ... [ok]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Do 10.05.2007
Autor: Steffi21

Hallo,

habe gerade deine winkel in c) eingetippt, alle korrekt

steffi

Bezug
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