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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 14.03.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
$(x-y,x-y) = [mm] \parallel [/mm] x - y [mm] \parallel [/mm] ^2 $
und
$(x+y,x+y) = [mm] \parallel [/mm] x + y [mm] \parallel [/mm] ^2 $
was ist dann
$(x-y,x+y) = $
oder
$(x+y,x-y) = $
vielen dank
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> was ist dann
>
> [mm](x-y,x+y) =[/mm]
>
> oder
>
> [mm](x+y,x-y) =[/mm]
Hallo,
ich würde hier die ![[]](/images/popup.gif) Eigenschaften des Skalarproduktes zu Rate ziehen, insbesondere die Bilinearität:
Es ist ja (x-y,x+y) =(x-y, x)+(x-y, y)= ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 14.03.2008 | | Autor: | vivo |
ok, danke
für [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] nicht global lipschitz-stetig
ist $ (f(x)-f(y),x-y)$ wegen der Monotonie immer negativ ...
das kann ich irgendwei nicht so wirklich erkennen ...
bitte helft mir auf die sprünge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok, danke
>
> für [mm]f(x)=e^{-x}[/mm] nicht global lipschitz-stetig
was hat das mit Deiner Ausgangsfrage zu tun? Aber in der Tat: [mm] $f(x)=e^{-x}$ [/mm] ist nicht Lipschitzstetig auf [mm] $\IR$ [/mm] (diese Funktion ist ja noch nicht mal glm. stetig, kann also gar nicht Lipschitzstetig sein). Das erkennst Du übrigens in einfacher Weise auch daran, dass sie auf [mm] $\IR$ [/mm] diff'bar ist und die Ableitung unbeschränkt ist!
> ist [mm](f(x)-f(y),x-y)[/mm] wegen der Monotonie immer negativ
> ...
Was soll denn $(f(x)-f(y),x-y)$ hier überhaupt bedeuten? Für die Funktion [mm] $f(x)=e^{-x}$ [/mm] gilt in der Tat, dass $f$ monoton fallend ist (das erkennst Du, weil die Ableitung immer echt negativ ist, d.h. sie ist sogar streng monoton fallend).
Sind also $x,y [mm] \in \IR$, [/mm] so gilt, einschränkungslos $x [mm] \le [/mm] y$ angenommen:
$f(x) [mm] \ge [/mm] f(y)$, also $f(x)-f(y) [mm] \ge [/mm] 0$. Zudem gilt für $x [mm] \le [/mm] y$, dass $y-x [mm] \ge [/mm] 0$, daher:
[mm] $\underbrace{(f(x)-f(y))}_{\ge 0}*\underbrace{(y-x)}_{\ge 0} \ge [/mm] 0$
bzw. in äquivalenter Form
[mm] $\underbrace{(f(x)-f(y))}_{\ge 0}*\underbrace{(x-y)}_{\le 0} \le [/mm] 0$
Ich hoffe, das beantwortet Deine Frage bzw. läßt sich ggf. so umschreiben, dass es mit Eurer Notation analog passt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 14.03.2008 | | Autor: | vivo |
> was hat das mit Deiner Ausgangsfrage zu tun?
f erfülle
$(f(x)-f(y),x-y) [mm] \le [/mm] K [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] ^2$ für alle x,y mit 0<K<1
a) zeige f hat höchstens einen Fixpunkt
b) Man gebe ein f an, das die Bedingung erfüllt aber nicht global Lipschitzstetig ist.
a) ist klar!
b) danke für deine antwort
warum gilt einschränkungslos [mm]x \le y[/mm] ?????? ansonsten ist es dann schon klar !
> Sind also [mm]x,y \in \IR[/mm], so gilt, einschränkungslos [mm]x \le y[/mm]
> angenommen:
>
> [mm]f(x) \ge f(y)[/mm], also [mm]f(x)-f(y) \ge 0[/mm]. Zudem gilt für [mm]x \le y[/mm],
> dass [mm]y-x \ge 0[/mm], daher:
>
> [mm]\underbrace{(f(x)-f(y))}_{\ge 0}*\underbrace{(y-x)}_{\ge 0} \ge 0[/mm]
>
> bzw. in äquivalenter Form
>
> [mm]\underbrace{(f(x)-f(y))}_{\ge 0}*\underbrace{(x-y)}_{\le 0} \le 0[/mm]
>
> Ich hoffe, das beantwortet Deine Frage bzw. läßt sich ggf.
> so umschreiben, dass es mit Eurer Notation analog passt.
>
> Gruß,
> Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> b) danke für deine antwort
>
> warum gilt einschränkungslos [mm]x \le y[/mm] ?????? ansonsten ist
> es dann schon klar !
wenn Du $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] hast, so gilt ja $x [mm] \le [/mm] y$ oder $x [mm] \ge [/mm] y$. Im Falle $x [mm] \le [/mm] y$ steht schon alles da, d.h. falls $x [mm] \le [/mm] y$ wurde schon gezeigt:
$(f(x)-f(y))(x-y) [mm] \le [/mm] 0$
Der Fall $x [mm] \ge [/mm] y$ folgt analog durch Rollentausch von $x$ und $y$.
Wenn Du willst, kann ich es auch ausführlich machen:
Oben habe ich ja schon gezeigt (ich benutze absichtlich mal andere Variablenbezeichnungen):
Für alle $r,s [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
Wenn $r [mm] \le [/mm] s$, dann gilt $(f(r)-f(s))*(r-s) [mm] \le [/mm] 0$. [mm] $(\*)$
[/mm]
Wenn $x [mm] \ge [/mm] y$ bzw. $y [mm] \le [/mm] x$, so gilt, wie ich oben schon gezeigt habe (d.h. in [mm] $(\*)$ [/mm] dann $r=y$ und $s=x$ einsetzen):
$(f(y)-f(x))(y-x) [mm] \le [/mm] 0$.
Naja, weiterhin gilt:
$(f(y)-f(x))(y-x)=-(f(x)-f(y))*(-(x-y))=(f(x)-f(y))*(x-y)$, also in der Tat auch in diesem Fall:
$(f(x)-f(y))(x-y)=(f(y)-f(x))(y-x) [mm] \le [/mm] 0$
D.h. gezeigt wurde:
Sind $x,y [mm] \in \IR$, [/mm] so gilt:
1.) Falls $x [mm] \le [/mm] y$, so gilt $(f(x)-f(y))(x-y) [mm] \le [/mm] 0$.
2.) Falls $x [mm] \ge [/mm] y$, so gilt $(f(x)-f(y))(x-y) [mm] \le [/mm] 0$
In allen Fällen gilt also $(f(x)-f(y))(x-y) [mm] \le [/mm] 0$.
Zu dem Rest Deiner Mitteilung:
[Edit]
Ah okay. Du hättest die Aufgabe ja auch von Anfang an so reinstellen können und dann sagen, dass Du Fragen zu der Lösung der Aufgabe hast, dann wäre mir der Zusammenhang klarer gewesen und man hätte nicht den Eindruck, dass Du einfach nur Bruchteile einer Aufgabe hier reinstellst, wo noch nicht mal klar ist, was Du damit bezweckst bzw. was Dir unklar ist... 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 14.03.2008 | | Autor: | vivo |
danke für deine ausführliche antwort!
mir war eigentlich nur unklar warum das Skalarprodukt immer negativ ist, bei dieser Funktion
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