matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteSkalarprodukt
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt
Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Skalarprodukt: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Sa 28.05.2005
Autor: Marietta

Hallo
Habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich hoffe mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Seien g und h Geraden im  [mm] \IR^3, [/mm] die sich nicht schneiden, P  [mm] \in [/mm] g und Q [mm] \in [/mm] h die Punkte, für die  |PQ| minimal wird. Zeigen Sie, dass der Vektor PQ auf den Richtungsvektoren von g und h senkrecht steht.

Das heißt ja das gelten muss PQ*g=0 und PQ*h=0 (mit g und h meine ich die Richtungsvektoren nicht die Geraden). Der Winkel cos [mm] \alpha [/mm] muss 90° sein. Aber ich weiß jetzt nicht wie ich das zeigen kann.
Tschau Marietta

        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Sa 28.05.2005
Autor: NECO

Hallo
Habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich hoffe mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Seien g und h Geraden im  [mm] \IR^3, [/mm] die sich nicht schneiden, P  [mm] \in [/mm] g und Q [mm] \in [/mm] h die Punkte, für die  |PQ| minimal wird. Zeigen Sie, dass der Vektor PQ auf den Richtungsvektoren von g und h senkrecht steht.
Bist du dir sicher dass es hier nur um Skalarprodukt geht?
Habt ihr schon die ORTHOGONALE PROJEKTION gemacht.? Meiner Meinung Nach kann man es mit orthogonale Projektion beweisen.




Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt: Minimierungsproblem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Sa 28.05.2005
Autor: MathePower

Hallo Marietta,

>  Seien g und h Geraden im  [mm]\IR^3,[/mm] die sich nicht schneiden,
> P  [mm]\in[/mm] g und Q [mm]\in[/mm] h die Punkte, für die  |PQ| minimal
> wird. Zeigen Sie, dass der Vektor PQ auf den
> Richtungsvektoren von g und h senkrecht steht.
>  
> Das heißt ja das gelten muss PQ*g=0 und PQ*h=0 (mit g und h
> meine ich die Richtungsvektoren nicht die Geraden). Der
> Winkel cos [mm]\alpha[/mm] muss 90° sein. Aber ich weiß jetzt nicht
> wie ich das zeigen kann.

bei der Aufgabe handelt es sich um ein Minimierungsproblem:

Sind g und h zwei Geraden

[mm]\begin{gathered} g:\;\overrightarrow x \; = \;a_{1} \; + \;t\;b_{1} \hfill \\ h:\;\overrightarrow x \; = \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

und [mm]P\; \in \;g,\;Q\; \in \;h[/mm], dann muß laut  Aufgabe der Abstand PQ minimal werden:

[mm]\begin{gathered} < \;Q\; - \;P,\;Q\; - \;P > \; \to \;\min \hfill \\ < \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} ,\;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} > \; \to \;\min \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Nun, das ganze wird genau dann minimal wenn die partiellen Ableitungen nach t und u verschwinden.

[mm]\begin{gathered} \frac{\delta } {{\delta u}}\; < \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} ,\;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} > \; = \;0 \hfill \\ \frac{\delta } {{\delta t}}\;\; < \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} ,\;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} > \; = \;0 \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Dann steht die Behauptung auch schon da.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Sa 28.05.2005
Autor: NECO

hi Mathepower,  
ich dachte mir dass kann man auch mit orthogonale projektion auf g uzw rechnen. meinst du nicht?

Ich nehme ein punkt von einer gerade, und dann die Projektion auf die andere,  

meinst du es klapt oder nicht??

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 So 29.05.2005
Autor: Stefan

Hallo NECO!

Sicherlich hat das was mit der orthogonalen Projektion zu tun, und damit lässt sich die Aussage sicherlich auch beweisen. :-) Vielleicht kannst du deinen Beweis ja mal etwas ausführen und hier reinstellen?

Die Frage ist nur, ob dies Marietta als Vorwissen zur Verfügung steht. Das weiß ich nicht.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 So 29.05.2005
Autor: Marietta

Hallo MathePower,
Ich verstehe die Ausführungen noch nicht so ganz genau.
Wenn |PQ | minimal ist heißt das doch das die Wurzel aus  <Q-P,Q-P> minimal ist, oder nicht weil  |x|= [mm] \wurzel{}: [/mm] fehlt bei dir dann nicht noch ne Wurzel?
Wie rechne ich das mit der Ableitung? Komme irgendwie nicht darauf, dass dann PQ senkrecht auf den Richtungsvektoren steht.
Gruß Marietta

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 So 29.05.2005
Autor: Stefan

Hallo Marietta!

>  Ich verstehe die Ausführungen noch nicht so ganz genau.
>  Wenn |PQ | minimal ist heißt das doch das die Wurzel aus  
> <Q-P,Q-P> minimal ist, oder nicht weil  |x|=
> [mm]\wurzel{}:[/mm] fehlt bei dir dann nicht noch ne Wurzel?

Prinzipiell schon. Aber man kann sich hier das Leben vereinfachen: Denn eine positive Funktion $f(t,u)$ ist  genau dann minimal, wenn [mm] $f(t,u)^2$ [/mm] minimal ist (dies liegt an der Monotonie der Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für $x>0$).

>  Wie rechne ich das mit der Ableitung? Komme irgendwie
> nicht darauf, dass dann PQ senkrecht auf den
> Richtungsvektoren steht.

Naja, du kannst das Skalarprodukt ja auseinanderziehen. Da einige Terme gar kein $u$ mehr enthalten, fallen sie weg. Übrig bleibt im ersten Fall nach dem Ableiten:

[mm] $\langle b_2,a_2-a_1-tb_1 \rangle [/mm] + [mm] \langle a_2-a_1-tb_1,b_2 \rangle [/mm] + 2u [mm] \langle b_2,b_2 \rangle [/mm] = 0$.

Fasst man dies zusammen und teilt man am Schluss durch $2$, so erhält man:

[mm] $\langle (a_2 [/mm] + [mm] ub_2) [/mm] - [mm] (a_1+tb_1),b_2 \rangle [/mm] =0$.

Daraus folgt, dass der Differenzvektor orthogonal auf $h$ steht.

Geht man analog für die zweite Gleichung vor, so erhält man:

[mm] $\langle (a_2 [/mm] + [mm] ub_2) [/mm] - [mm] (a-1+tb_1),b_1 \rangle [/mm] =0$.

Versuche es mal! :-) Und wenn du es nicht hinbekommst, dann meldest du dich wieder mit deinen Rechenschritten und wir sagen dir, was du falsch (und was dur richtig :-)) gemacht hast.

Viele Grüße
Stefan



Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 So 29.05.2005
Autor: Marietta

Hallo Stefan,
Ich verstehe diesen Schritt irgendwie nicht.
Fasst man dies zusammen und teilt man am Schluss durch 2, so erhält man:

$ [mm] \langle (a_2 [/mm] + [mm] ub_2) [/mm] - [mm] (a-1+tb_1),b_2 \rangle [/mm] =0 $.
(Ist es richtig das du [mm] a_1 [/mm] anstatt a-1 meintest?)
Wie kann ich das zusammenfassen? Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht so gut mit dem Skalarprodukt rechnen kann. Kenne zwar so ein paar Eigenschaften, aber das ich da etwas zusammenfassen kann sehe ich jetzt nicht.
Bin soweit gekommen:
[mm] 2+2u. [/mm] Jetzt teile ich durch 2. Nun kann ich ja da ich bei beiden [mm] b_2 [/mm] habe weiter zusammenfassen: [mm] . [/mm] Aber jetzt habe ich [mm] ub_1 [/mm] und nicht [mm] ub_2. [/mm]
Wo ist der Fehler?
Gruß Marietta


Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 So 29.05.2005
Autor: Stefan

Hallo Marietta!

>  Ich verstehe diesen Schritt irgendwie nicht.
>  Fasst man dies zusammen und teilt man am Schluss durch 2,
> so erhält man:
>  
> [mm]\langle (a_2 + ub_2) - (a-1+tb_1),b_2 \rangle =0 [/mm].
>  (Ist es
> richtig das du [mm]a_1[/mm] anstatt a-1 meintest?)

[ok], war ein Tippfehler

>  Wie kann ich das zusammenfassen? Ich glaube mein Problem
> ist, dass ich nicht so gut mit dem Skalarprodukt rechnen
> kann. Kenne zwar so ein paar Eigenschaften, aber das ich da
> etwas zusammenfassen kann sehe ich jetzt nicht.
>  Bin soweit gekommen:
>  [mm]2+2u.[/mm]

Das ist leider nicht richtig. Am Schluss muss es [mm] $+2u\langle b_2,b_2 \rangle$ [/mm] heißen. Ist dir das klar? (Edit: Stand bei mir leider auch falsch, erneut ein Tippfehler... [kopfschuettel] [sorry] Was lehrt dich das? Übernehme niemals Dinge ungeprüft. :-))

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 Mo 30.05.2005
Autor: Marietta

Hallo,
[mm] +2u [/mm] ist logisch. War ja vorher auch immer [mm] u*b_2. [/mm]
Denke habe es dann verstanden.
Danke für die Hilfe.
Tschau Marietta

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:16 Di 31.05.2005
Autor: Solostaran

Hallo,

ich habe auch noch eine Verständnisfrage. Wieso gilt die folgende Aussage von MathePower:

>Nun, das ganze wird genau dann minimal wenn die partiellen Ableitungen >nach t und u verschwinden.

viele Dank schonmal!

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Di 31.05.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> ich habe auch noch eine Verständnisfrage. Wieso gilt die
> folgende Aussage von MathePower:
>  
> >Nun, das ganze wird genau dann minimal wenn die partiellen
> Ableitungen >nach t und u verschwinden.

Ich habe jetzt nicht die ganze Aufgabe hier gelesen, aber es ist doch immer so, dass man für ein Maximierungs- oder Minimierungsproblem die Ableitung gleich 0 setzen muss. Und wenn man nun eine Funktion hat, die von mehreren Variablen abhängt, dann müssen eben alle partiellen Ableitungen =0 sein. Oder nicht?

Ist deine Frage damit beantwortet oder wolltest du noch etwas genaueres wissen?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]