Skalarprodukt + Chauchy < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 17.04.2011 | | Autor: | Katze_91 |
| Aufgabe | a) für welche Werte [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist durch <x,y> = [mm] <\vektor{x^1 \\ x^2},\vektor{y^1\\ y^2}> [/mm] = [mm] x^1y^1 [/mm] + [mm] \alpha x^1y^1 [/mm] + [mm] \alpha x^2y^1 [/mm] + 7 [mm] x^2y^2 [/mm] ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^2 [/mm] definiert?
b) Seien a,b [mm] \in \IR^n [/mm] und [mm] \lambda_1,\cdots, \lambda_n [/mm] nicht negative reelle Zahlen, Beweisen Sie
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] |
Miau, ich schon wieder :3
die Aufgabe a) habe ich bereits im forum gefunden, wollte aber mal fragen ob man das auch anderes rechnen kann anstatt mit den Eigenwerten.
Auf die Linearität und die Symmetrie haben die Alphas keine Auswirkung, also muss man noch die Positive Definiertheit prüfen
also
(iii) <a,a> = 0 [mm] \gdw [/mm] a=0 und <a,a> [mm] \ge [/mm] 0 für alle [mm] a\in \IR^2
[/mm]
habe zuerst
a=0 [mm] \Rightarrow [/mm] <a,a> = 0 geprüft
<0,0> = 0*0 + [mm] \alpha [/mm] 0*0 + [mm] \alpha [/mm] 0+0 + 0*0 = 0
dann wollte ich
<x,x> = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 prüfen
zum Leichteren Verständnis habe ich [mm] x^1=: [/mm] a und [mm] x^2 [/mm] =: b definiert
und dann diese Formel rausbekommen
[mm] a^2+2\alpha [/mm] ab + [mm] 7b^2 [/mm] = 0 rausbekommen, und hier hakt es auch schon
ich wollte mit der Binomischen Formel arbeiten, und für [mm] \alpha \pm \wurzel{7} [/mm] einsetzen, aber dann bekomme ich nur [mm] \pm \wurzel{7} [/mm] raus und das ist ja leider falsch und es muss [mm] |\alpha|<7 [/mm] rauskommen
könnte mir einer sagen, wie ich bei meinem Weg weiter kommen würde?
jetzt zur b
ich habe mit der Chauchy-Schwarz-Ungleichung und dem Standardskalaprodukt die Ungleichung
<a,b> = [mm] \summe_{i=1}^{n}a^ib^i \le (\summe_{i=1}^{n}(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] ^{\bruch{1}{2}}^\bruch{1}{2} [/mm] bewiesen und wollte jetzt eigentlich mit Relationen arbeiten, die einzige Relation, die ich allerdings gefunden habe ist [mm] (\summe_{i=1}^{n}(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}} \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
weil nur weil [mm] 0\le \summe_{i=1}^{n}a^ib^i [/mm] gilt muss ja nicht auch [mm] 0\le \summe_{i=1}^{n} \lambda_ia^ib^i [/mm] gelten, weil ein [mm] \lambda_i [/mm] ein negatives Produkt ja noch verstärken könnte.
kann mir bitte auch dort einer weiterhelfen? wäre sehr dankbar
miau Katze :3
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 17.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) für welche Werte [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist durch <x,y> =
> [mm]<\vektor{x^1 \\ x^2},\vektor{y^1\\ y^2}>[/mm] = [mm]x^1y^1[/mm] + [mm]\alpha x^1y^1[/mm]
> + [mm]\alpha x^2y^1[/mm] + 7 [mm]x^2y^2[/mm] ein Skalarprodukt auf [mm]\IR^2[/mm]
> definiert?
>
> b) Seien a,b [mm]\in \IR^n[/mm] und [mm]\lambda_1,\cdots, \lambda_n[/mm]
> nicht negative reelle Zahlen, Beweisen Sie
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Miau, ich schon wieder :3
> die Aufgabe a) habe ich bereits im forum gefunden, wollte
> aber mal fragen ob man das auch anderes rechnen kann
> anstatt mit den Eigenwerten.
> Auf die Linearität und die Symmetrie haben die Alphas
> keine Auswirkung, also muss man noch die Positive
> Definiertheit prüfen
> also
> (iii) <a,a> = 0 [mm]\gdw[/mm] a=0 und <a,a> [mm]\ge[/mm] 0 für alle [mm]a\in \IR^2[/mm]
>
> habe zuerst
>
> a=0 [mm]\Rightarrow[/mm] <a,a> = 0 geprüft
> <0,0> = 0*0 + [mm]\alpha[/mm] 0*0 + [mm]\alpha[/mm] 0+0 + 0*0 = 0
>
> dann wollte ich
> <x,x> = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0 prüfen
> zum Leichteren Verständnis habe ich [mm]x^1=:[/mm] a und [mm]x^2[/mm] =: b
> definiert
> und dann diese Formel rausbekommen
>
> [mm]a^2+2\alpha ab + 7b^2[/mm] = 0 rausbekommen, und hier hakt es
> auch schon
> ich wollte mit der Binomischen Formel arbeiten, und für
> [mm]\alpha \pm \wurzel{7}[/mm] einsetzen, aber dann bekomme ich nur
> [mm]\pm \wurzel{7}[/mm] raus und das ist ja leider falsch und es
> muss [mm]|\alpha|<7[/mm] rauskommen
> könnte mir einer sagen, wie ich bei meinem Weg weiter
> kommen würde?
Quadratische Ergänzung:
[mm] a^2+2\alpha ab + 7b^2 = (a+\alpha b)^2 - \alpha^2 b^2 + 7 b^2 = (a+\alpha b)^2 + (7-\alpha^2) b^2[/mm]
> jetzt zur b
> ich habe mit der Chauchy-Schwarz-Ungleichung und dem
> Standardskalaprodukt die Ungleichung
> <a,b> = [mm]\summe_{i=1}^{n}a^ib^i \le (\summe_{i=1}^{n}(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]^{\bruch{1}{2}}^\bruch{1}{2}[/mm] bewiesen und
> wollte jetzt eigentlich mit Relationen arbeiten, die
> einzige Relation, die ich allerdings gefunden habe ist
> [mm](\summe_{i=1}^{n}(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}} \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2)^{\bruch{1}{2}}(\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> weil nur weil [mm]0\le \summe_{i=1}^{n}a^ib^i[/mm] gilt muss ja
> nicht auch [mm]0\le \summe_{i=1}^{n} \lambda_ia^ib^i[/mm] gelten,
> weil ein [mm]\lambda_i[/mm] ein negatives Produkt ja noch
> verstärken könnte.
>
> kann mir bitte auch dort einer weiterhelfen? wäre sehr
> dankbar
Cauchy-Schwarz ist gar kein schlechter Ansatz. Die zu beweisende Ungleichung sieht ähnlich aus wie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung eines Skalarprodukts:
[mm] f(a,b) := \summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i [/mm] ,
nur das $f(a,b)$ nicht linear und damit kein Skalarprodukt ist. Daher kannst du die Beweisidee von der allgemeinen Cauchy-Schwarz-Ungleichung übernehmen.
Tipp: Betrachte [mm]\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i-\mu b^i)^2 \ge 0 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 17.04.2011 | | Autor: | Katze_91 |
hallo :3
zur a)
ja wollte gestern auch quatratische Ergänzung versuchen stand aber wohl auf dem Schlauch
okay
[mm] (a+\alpha b)^2 [/mm] + [mm] (7-\alpha ^2)b^2 [/mm] = 0
also
[mm] (a+\alpha b)^2 [/mm] = - [mm] (7-\alpha ^2)b^2
[/mm]
jetzt komm ich leider wieder nicht weiter :(
ich muss doch jetzt herrausfinden, für welche Alphas da dann a=b=0 herrauskommt oder?
ich darf doch nciht so weiteres a=b=0 einfach einsetzen oder?
weil dann würde ja wieder [mm] \alpha \in \IR [/mm] herrauskommen und ich finde erst bei der positiven Definiertheit die [mm] \alpha [/mm] herraus
zur b
hab es mal mit deinem Tipp versucht und das Binom ausgeklammert
also [mm] 0\le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2 [/mm] + [mm] 2\mu\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i [/mm] + [mm] \mu^2\summe_{i=1}^{n}(b^i)^2
[/mm]
aber komme leider wieder nicht weiter
ich weiß leider nicht wie mich diese Erkenntnis weiter bringt :(
miau katze :3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 17.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallo :3
> zur a)
> ja wollte gestern auch quatratische Ergänzung versuchen
> stand aber wohl auf dem Schlauch
> okay
> [mm](a+\alpha b)^2[/mm] + [mm](7-\alpha ^2)b^2[/mm] = 0
> also
> [mm](a+\alpha b)^2[/mm] = - [mm](7-\alpha ^2)b^2[/mm]
> jetzt komm ich leider
> wieder nicht weiter :(
> ich muss doch jetzt herrausfinden, für welche Alphas da
> dann a=b=0 herrauskommt oder?
> ich darf doch nciht so weiteres a=b=0 einfach einsetzen
> oder?
> weil dann würde ja wieder [mm]\alpha \in \IR[/mm] herrauskommen
> und ich finde erst bei der positiven Definiertheit die
> [mm]\alpha[/mm] herraus
Schau dir mal die einzelnen Terme genau an. Sowohl [mm](a+\alpha b)^2[/mm] wie auch [mm] $b^2$ [/mm] sind ja Quadrate und damit [mm] $\ge [/mm] 0$. Außerdem sind beide unabhängig voneinander, denn der zweite Summand hängt nur von b ab, und beim ersten kannst du a frei wählen.
Damit das Ganze positiv definit ist, muss für beliebige a,b gelten, dass
[mm](a+\alpha b)^2 + (7-\alpha ^2)b^2 \ge 0 [/mm] .
Jetzt wähle a und b so, dass der erste Summand 0 ist: [mm] $a=-\alpha [/mm] b$. Was folgt für [mm] $\alpha$?
[/mm]
> zur b
> hab es mal mit deinem Tipp versucht und das Binom
> ausgeklammert
>
> also [mm]0\le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2 + 2\mu\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i + \mu^2\summe_{i=1}^{n}(b^i)^2[/mm]
Fast, beim zweiten Term muss ein Minuszeichen stehen und beim letzten Term fehlt der Faktor [mm] $\lambda_i$ [/mm] unter der Summe.
> aber komme leider wieder nicht weiter
> ich weiß leider nicht wie mich diese Erkenntnis weiter
> bringt :(
Ich schreibe das mal um:
[mm] 0\le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2 - \mu \left (2\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i - \mu \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2\right)[/mm]
Die Ungleichung gilt für beliebige [mm] $\mu\in \IR$. [/mm] Wähle das [mm] $\mu$ [/mm] so, dass du die beiden Summanden in der Klammer zu einem zusammenfassen kannst:
[mm] \mu = \bruch{\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i}{\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 17.04.2011 | | Autor: | Katze_91 |
Zuerst mal danke
zur a)
okay das a darf ich so wählen, weil wenn es für alle gelten muss, dann auch für ein spezielles
also a:= [mm] -\alphab
[/mm]
bleibt noch
[mm] (7-\alpha^2)b^2 \ge [/mm] 0 übrig, [mm] b^2 \ge [/mm] 0 also muss [mm] (7-\alpha^2)\ge [/mm] sein
[mm] 7-\alpha^2 \ge0
[/mm]
[mm] -\alpha^2 \ge-7
[/mm]
[mm] \alpha^2 \le7
[/mm]
weil Wurzel monotonwachsend dreht sich das vorzeichen nicht um
[mm] \alpha \le \wurzel{7}
[/mm]
aber da das Wurzelziehen ja immer zwei Möglichkeiten hat
ist das Ergebnis für [mm] \alpha [/mm] : [mm] -\wurzel{7} \le \alpha \le \wurzel{7}
[/mm]
oder anderes gesagt [mm] |\alpha| \le \wurzel{7}, [/mm] die grenzen muss man dan noch überprüfen, in dem man [mm] \pm \wurzel{7} [/mm] einsetzt und dann muss für a=b=0 raus kommen oder?
zur b)
am Ende steht dann
[mm] (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i)^2 \le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2*\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2
[/mm]
und weil [mm] x^2\ge [/mm] x gilt für alle [mm] x\in \IR
[/mm]
gilt auch
[mm] (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i) \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i)^2 [/mm]
und dann nach Transitivität folgt
[mm] (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i) \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i)^2 \le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2*\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2
[/mm]
alles richtig oder irgendwo einen Fehler beim Ausklammern etc. gemacht?
Miau katze :3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mo 18.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zuerst mal danke
>
> zur a)
> okay das a darf ich so wählen, weil wenn es für alle
> gelten muss, dann auch für ein spezielles
> also a:= [mm]-\alphab[/mm]
> bleibt noch
> [mm](7-\alpha^2)b^2 \ge[/mm] 0 übrig, [mm]b^2 \ge[/mm] 0 also muss
> [mm](7-\alpha^2)\ge[/mm] sein
> [mm]7-\alpha^2 \ge0[/mm]
> [mm]-\alpha^2 \ge-7[/mm]
> [mm]\alpha^2 \le7[/mm]
> weil
> Wurzel monotonwachsend dreht sich das vorzeichen nicht um
> [mm]\alpha \le \wurzel{7}[/mm]
> aber da das Wurzelziehen ja immer
> zwei Möglichkeiten hat
> ist das Ergebnis für [mm]\alpha[/mm] : [mm]-\wurzel{7} \le \alpha \le \wurzel{7}[/mm]
>
> oder anderes gesagt [mm]|\alpha| \le \wurzel{7},[/mm] die grenzen
> muss man dan noch überprüfen, in dem man [mm]\pm \wurzel{7}[/mm]
> einsetzt und dann muss für a=b=0 raus kommen oder?
Ja. Für [mm] $|\alpha|=\sqrt{7}$ [/mm] ist ja
[mm] (a-\alpha b)^2 + (7-\alpha^2)b^2 = (a-\alpha b)^2 [/mm],
und wenn das 0 ist, müssen a und b nicht unbedingt 0 sein.
> zur b)
>
> am Ende steht dann
> [mm](\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i)^2 \le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2*\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2[/mm]
Richtig.
>
> und weil [mm]x^2\ge[/mm] x gilt für alle [mm]x\in \IR[/mm]
Das stimmt nicht, es ist nämlich falsch für $0<x<1$.
> gilt auch
> [mm](\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i) \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i)^2[/mm]
> und dann nach Transitivität folgt
>
> [mm](\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i) \le (\summe_{i=1}^{n}\lambda_ia^ib^i)^2 \le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i(a^i)^2*\summe_{i=1}^{n}\lambda_i(b^i)^2[/mm]
>
> alles richtig oder irgendwo einen Fehler beim Ausklammern
> etc. gemacht?
Schau dir nochmal genau an, was du beweisen sollst, du hast da übersehen, dass du die Wurzel ziehen musst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Mo 18.04.2011 | | Autor: | Katze_91 |
Upps, danke :3
dann wäre alles gekärt , dann wäre das auch mit dem [mm] x^2 \ge [/mm] x [mm] \forall x\in \IR [/mm] auch nicht nötig gewesen (wenn es sowieso nicht stimmt :))
einfach "nur noch" aus der Ungleichung die Wurzel ziehen und die Relation beihalten und ich hab es
hab die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] völlig vergessen
vielen Dank du hast mir echt tierisch geholfen :3
wünsche gute Nacht :3
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mo 18.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich entnehme der Diskussion, dass Du die Cauchy-Schwarzsche Ungl. für das Standard-Skaarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] benutzen darfst.
Setze [mm] $c:=(\wurzel{\lambda_1}a^1,...,\wurzel{\lambda_n}a^n)$ [/mm] und [mm] $d:=(\wurzel{\lambda_1}b^1,...,\wurzel{\lambda_n}b^n)$ [/mm] .
Jetzt lasse die Cauchy-Schwarzsche Ungl. auf c,d los.
FRED
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