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| Aufgabe | | V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] \phi : V \times V \rightarrow R [/mm] und [mm] \varphi : V \rightarrow R [/mm] linear. Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Vektor [mm] v \in V [/mm] gibt, sodas [mm] \varphi(x) = \phi(x,v) [/mm] für alle x aus V ist. |
Hallo zusammen.
An dieser Aufgabe knabber ich jetzt schon seit dem Wochenende, aber ich komme einfach kein Stück voran! Wollte mit der Existenz anfagen, aber ich kann mir einfach keinen solchen Vektor konstruieren (von der Eindeutigkeit erst mal noch zu schweigen). Hat jemand einen Ansatz?
Gruß...Hummel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 15.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Betrachte eine Basis des Vektorraums sodass das Skalarprodukt die gewohnte Form annimmt.
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Oh, schnelle Reaktion. Darf ich das denn überhaupt, denn die Vorr. besagt ja nicht, dass der Vektorraum endlich ist. Gewohnte Form heißt für dich dann Orthonormalbasis wählen?
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Hallo,
bin auch in der Vorlesung und bei der Aufgabe komm ich auch nicht wirklich weiter. Wäre nett, wenn das nochmal jemand etwas erläutern könnte, weil mir da echt der Ansatz fehlt.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> bin auch in der Vorlesung und bei der Aufgabe komm ich auch
> nicht wirklich weiter. Wäre nett, wenn das nochmal jemand
> etwas erläutern könnte, weil mir da echt der Ansatz fehlt.
wauwau hat doch schon einen guten Ansatz gegeben. Sei [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] eine Orthonormalbasis von $V$ bzgl. diesem Skalarprodukt. Sind $x, y [mm] \in [/mm] V$ mit $x = [mm] \sum \lambda_i v_i$ [/mm] und $y = [mm] \sum \mu_i v_i$, [/mm] wie kannst du dann [mm] $\langle [/mm] x, y [mm] \rangle$ [/mm] durch [mm] $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ [/mm] und [mm] $(\mu_1, \dots, \mu_n)$ [/mm] ausdruecken?
Versuche damit, die Darstellungsmatrix (bzgl. der Orthonormalbasis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$) [/mm] der Linearform $x [mm] \mapsto \langle [/mm] x, v [mm] \rangle$ [/mm] fuer ein festes $v$ zu beschreiben. So siehst du, dass es zu jeder Linearform genau ein $v$ gibt, so dass die Linearform mit $x [mm] \mapsto \langle [/mm] x, v [mm] \rangle$ [/mm] uebereinstimmt.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 16.05.2007 | | Autor: | SEcki |
> Hat jemand einen Ansatz?
Die Aufgabe ist nur für endlich-dim. VR richtig, hier kann man dann zeigen dass [m]V\to V^\star,x \mapsto (y\mapsto \phi(x,y))[/m] ein Iso zw. VR und seinem Dualraum ist (Injektiv + Dim.). Daraus folgt die Beh. sofort. (Im unendlichen Fall ist es blos eine injektive Abb. die ohne weitere Bedingungne an [m]\phi[/m] nicht surjektiv ist)
SEcki
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