Skalarprodukt , Orthonormal < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Skalarprodukt
[mm] <*,*>_{g}:R_{\le2}[x]\timesR_{\le2} [/mm] --> [mm] _{g}:=p_{2}q_{2}+2p_{1}q_{1}+p_{1}q_{0}+p_{0}q_{1}+2p_{0}q_{0} [/mm] auf [mm] R_{\le 2}[0] [/mm]
sowie die Basis B [mm] =(x^2,\bruch{1}{\wurzel{2}}(-x+1),\bruch{1}{\wurzel{6}}(x+1)) [/mm] des [mm] R_{\le}[x]
[/mm]
Zeige, dass B eine Orthonormalbasis bzgl <*,*>des [mm] R_{\le2}[x] [/mm] ist. |
Die Schreibweise verwirrt mich.
Orhonormalbasis heißt, dass ich zeigen muss B Orthogonal und normiert ist bzgl. des [mm] R_{\le 2}[x]
[/mm]
Wie geht man vor?
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> Gegeben sei das Skalarprodukt
> [mm] <*,*>_{g}:R_{<=2}[x]xR_{<=2}-->
[/mm]
>
> [mm] _{g}=p_{2}q_{2}+2p_{1}q_{1}+p_{1}q_{0}+p_{0}q_{1}+2p_{0}q_{0} [/mm]
> auf [mm] R_{<=2}[0] [/mm] sowie die Basis B [mm] =\{x^2,\bruch{1}{\wurzel{2}(-x+1)},\bruch{1}{\wurzel{6}(x+1)}\} [/mm]
> des [mm] R_{<=2}[x]
[/mm]
> Zeige, dass B eine Orthonormalbasis bzgl <*,*>des
> [mm] R_{<=2}[x] [/mm] ist.
> Die Schreibweise verwirrt mich.
> Orhonormalbasis heißt, dass ich zeigen muss B Orthogonal
> und normiert ist bzgl. des [mm] R_{<=2}[x]
[/mm]
> Wie geht man vor?
Ja, die Schreibweise verwirrt mich auch.^^
Aber ich glaube das ist eine Frage der Formatierung hier im Forum.
Ich hab mal versucht die Klammern etwas zu verbessern, guck mal ob das so sein soll wie es oben im Zitat steht und sonst erzähl nochmal wie es sein soll.
Abgesehen davon zu deiner Frage:
Die Basis ist orthogonal, wenn <p,q> = 0 [mm] $\forall [/mm] p,q [mm] \in [/mm] B, p [mm] \not= [/mm] q$ gilt.
Weiterhin, damit sie normiert ist, muss <p,p> = 1 [mm] $\forall [/mm] p [mm] \in [/mm] B$ gelten.
Wenn beides zusammen gilt ist B eine Orthonormalbasis bezüglich des angegebenen Skalarprodukts.
Also setz die Basis ins Skalarprodukt ein, rechne ob alles passt und der Beweis ist erledigt. ;)
MfG
Schadowmaster
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In der Basis stehen drei Komponenten , in der Gleichnung finden sich aber nur [mm] p_{2},........q_{0}
[/mm]
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> In der Basis stehen drei Komponenten , in der Gleichnung
> finden sich aber nur [mm]p_{2},........q_{0}[/mm]
Das sind die Teile der Vektoren aus deinem Vektorraum.
Du hast ja den Raum der Polynome vom Grad [mm] $\leq$ [/mm] 2 (oder so deute ich das zumindest^^).
Diese haben alle die Form [mm] $ax^2 [/mm] + bx + c$ für geeignete Skalare a,b,c.
Und die [mm] $p_2, p_1, p_0$ [/mm] sind einfach diese Skalare.
Ich frage mich aber gerade, ob deine Basis nicht eher so aussieht:
B $ [mm] =\{x^2,\bruch{1}{\wurzel{2}}(-x+1),\bruch{1}{\wurzel{6}}(x+1)\} [/mm] $
Wäre nämlich für das was ich erzähle etwas praktischer. xD
Also stell nochmal ganz klar was genau in der Aufgabenstellung steht.
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Ja, sie sehen so aus , wie du sie aufgeschrieben hast.
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Na dann rechne mal schön ne Runde. ;)
Wie gesagt, die [mm] $p_2,p_1,p_0$ [/mm] sind die Vorfaktoren im Polynom, also guck mal was da schönes rauskommst wenn du die Basiselemente einsetzt.
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Wenn ich die Basiselemente einsetze , komme ich doch auf folgendes :
Ausgangsgleichung : [mm] p=p_{2}X^2+p_{1}x+p_{0}
[/mm]
Somit : p= [mm] x^2x^2+\bruch{1}{\wurzel{2}}(-x+1]x+\bruch{1}{\wurzel{6}}(x+1)
[/mm]
Das habe ich dann versucht zusammenzufassen.................aber ich bin nicht zu einem wirklichen Ergebnis gekommen, eigentlich müsste mn es ja Null setzen, oder?
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Hallo,
ich habe mir mal erlaubt, Dein Eingangspost in eine lesbare Form zu versetzen.
> Wenn ich die Basiselemente einsetze ,
Wenn Du sie wo einsetzt?
Am besten schauen wir die Aufgabenstellung nochmal an.
Das Ganze spielt im [mm] \IR_{\le 2}[x].
[/mm]
Dort ist ein Skalarprodukt definiert durch
$ [mm] :=p_{2}q_{2}+2p_{1}q_{1}+p_{1}q_{0}+p_{0}q_{1}+2p_{0}q_{0} [/mm] $ f.a. [mm] p:=p_0+p_1x+p_2x^2, q:=q_0+q_1x+q_2x^2.
[/mm]
Gegeben ist Dir dort eine Basis B:=$ [mm] =(b_1:=x^2,b_2:=\bruch{1}{\wurzel{2}}(-x+1),b_3:=\bruch{1}{\wurzel{6}}(x+1)) [/mm] $ .
Du sollst nun zeigen, daß dies eine ONB bzgl des gegebenen Skalarproduktes ist.
Was ist eine ONB? Was ist dafür zu zeigen? Das solltest Du wissen, vor allem, falls Du demnächst bei einem Klausurtermin vorbeispazieren möchtest...
Aus der Kenntnis dessen, was eine ONB ist, ergibt sich dann zwanglos das, was zu tun ist:
Du mußt nachrechnen, daß [mm] =1 [/mm] für i=1,2,3,
und daß [mm] =0, =0, =0.
[/mm]
Nun zum Wie.
Es ist [mm] b_1=x^2=1*x^2+0*x+0, [/mm]
[mm] b_2=0*x^2+(-\bruch{1}{\wurzel{2}})x+\bruch{1}{\wurzel{2}}, [/mm]
[mm] b_3=....
[/mm]
Naja, und jetzt berechnest Du nach der vorgebenen Vorschrift die Skalarprodukte.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank erst einmal, was [mm] b_{1},b_{2} [/mm] und [mm] b_{3} [/mm] sind habe ich jetzt verstanden.
Wie man normalweiser ein Skalarprodukt ausrechnet, weiß ich eigentlich auch, aber wozu existitiert in der Aufgabenstellung noch das [mm] q_{n}?
[/mm]
Setze ich denn für das Skalarprodukt jetzt wirklich nur [mm]
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Sorry für mein überschnelles reagieren, ich hab es jetzt verstanden 
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Jetzt muss ja noch die Normierung, also Länge 1gezeigt werden, wegen derOrthonormalbasis.
[mm] b_{1}hat [/mm] zwar die Länge 1, aber [mm] b_{2} undb_{3}nicht [/mm] .
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Wie zeigt man diese Länge 1?
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Hallo photonendusche,
> Wie zeigt man diese Länge 1?
Skalarprodukte einfach ausrechnen. Ein Beispiel für [mm] b_2=1/\sqrt{2}(1-x). [/mm] Es ist hier [mm] p_2=q_2=0, p_1=q_1=-1/\sqrt{2} [/mm] und [mm] p_0=q_0=1/\sqrt{2}. [/mm] Also:
[mm] _g=0^2+2*\left(-1/\sqrt{2}\right)^2+1/\sqrt{2}*(-1)/\sqrt{2}+1/\sqrt{2}*(-1)/\sqrt{2}+2\left(1/\sqrt{2}\right)^2=1-1/2-1/2+1=1
[/mm]
LG
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Ok, aber bei [mm] [/mm] kommt doch nicht 1raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 So 11.09.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Ok, aber bei [mm][/mm] kommt doch nicht 1raus.
Dann rechne bitte einmal vor.
LG
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Ich habe folgendes raus:
[mm] 0^2+2*\bruch{1}{\wurzel{6}}* bruch{1}{\wurzel{6}}+ bruch{1}{\wurzel{6}}* bruch{1}{\wurzel{6}}*+2* bruch{1}{\wurzel{6}}* bruch{1}{\wurzel{6}}*=0+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{6}#1
[/mm]
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> Ich habe folgendes raus:
> [mm]0^2+2*\bruch{1}{\wurzel{6}}* bruch{1}{\wurzel{6}}+ bruch{1}{\wurzel{6}}* bruch{1}{\wurzel{6}}*+2* bruch{1}{\wurzel{6}}* bruch{1}{\wurzel{6}}*=0+\bruch{2}{3}+\bruch{1}{6}#1[/mm]
Hallo,
bitte schau Dir vor dem Absenden in Zukunft die Vorschau des Posts an und bring es in genießbare Form..
Vielleicht sagst Du auch, was Du gerade ausrechnest. Für nicht so gut Eingeweihte wäre das eine Hilfe.
Vergleiche Dein Tun mit der Vorschrift fürs Skalarprodukt.
Fällt Dir auf, daß es dort 5 Summanden gibt, Du aber nur 4 hast?
Gruß v. Angela
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Danke für den Tip mit den Summanden ich hatte einen einfach übersehen.
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