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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Spur folgende Eigenschaften hat:
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(kA) = k tr(A)
[mm] tr(A^T) [/mm] = tr(A)
tr(AB) = tr(BA)
Verwenden Sie das um zu zeigen, dass für quadratische Matrizen durch [mm] tr(AB^T) [/mm] ein Skalarprodukt gegeben ist. |
Hallo!
Ich komme leider nicht weiter hiermit.
Dass die Spur die vier Eigenschaften hat, kann ich zeigen.
Aber was hat es mit dem Skalarprodukt auf sich? In dem Buch, aus dem die Aufgabe stammt, gibt es ein paar Kapitel davor eine Definition dessen, was ein Skalarprodukt ist:
Ist V ein reeller Vektorraum, so nennt man eine Abbildung <., .> : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] R ein Skalarprodukt, falls sie für alle a, b [mm] \in [/mm] V und k, h |in R folgende Eigenschaften erfüllt:
<a, a> > 0, wenn a [mm] \not= [/mm] 0 (Positivität)
<a, b> = <b, a> (Symmetrie)
<a, kb + hc> = k<a, b> + h<a, c> (Linearität)
Wie kann ich jetzt zeigen, dass durch [mm] tr(AB^T) [/mm] ein Skalarprodukt gegeben ist?
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> Zeigen Sie, dass die Spur folgende Eigenschaften hat:
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> tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
> tr(kA) = k tr(A)
> [mm]tr(A^T)[/mm] = tr(A)
> tr(AB) = tr(BA)
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> Verwenden Sie das um zu zeigen, dass für quadratische
> Matrizen durch [mm]tr(AB^T)[/mm] ein Skalarprodukt gegeben ist.
> Hallo!
> Ich komme leider nicht weiter hiermit.
> Dass die Spur die vier Eigenschaften hat, kann ich
> zeigen.
> Aber was hat es mit dem Skalarprodukt auf sich?
Hallo,
der zu betrachtende Vektorraum ist nun der Raum [mm] V=\IR^{n\times n}, [/mm] der Vektorraum der Quadratischen Matrizen. Die Elemente dieses Vektorraumes, die Vektoren, sind Matizen.
Nun wird eine Abbildung aus dem [mm] \IR^{n\times n}\times\IR^{n\times n} [/mm] in die reellen Zahlen definiert durch
[mm] :=tr(AB^T) [/mm] für alle [mm] A,B\in\IR^{n\times n},
[/mm]
und Du sollst nun vorrechnen, daß alle Eigenschaften des Skalarproduktes, die Du unten notiert hast, erfüllt sind.
LG Angela
> In dem
> Buch, aus dem die Aufgabe stammt, gibt es ein paar Kapitel
> davor eine Definition dessen, was ein Skalarprodukt ist:
>
> Ist V ein reeller Vektorraum, so nennt man eine Abbildung
> <., .> : V [mm]\times[/mm] V [mm]\to[/mm] R ein Skalarprodukt, falls sie für
> alle a, b [mm]\in[/mm] V und k, h |in R folgende Eigenschaften
> erfüllt:
>
> <a, a> > 0, wenn a [mm]\not=[/mm] 0 (Positivität)
> <a, b> = <b, a> (Symmetrie)
> <a, kb + hc> = k<a, b> + h<a, c> (Linearität)
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> Wie kann ich jetzt zeigen, dass durch [mm]tr(AB^T)[/mm] ein
> Skalarprodukt gegeben ist?
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> <a, a> > 0, wenn a [mm]\not=[/mm] 0 (Positivität)
> <a, b> = <b, a> (Symmetrie)
> <a, kb + hc> = k<a, b> + h<a, c> (Linearität)
Umschreiben!:
[mm] ==tr(AA^T) [/mm] > 0, wenn A [mm]\not=[/mm] 0 (Positivität)
<A,B> [mm] =tr(AB^T)==tr(BA^T)= [/mm] <B,A> (Symmetrie)
<A,kB+hC> [mm] =tr(A(kB+hC)^T)== k*tr(AB^T)+h*tr(AC^T)=k [/mm] + h<A,C> (Linearität)
a) Wieso entspricht das dem Problem?
b) Du must nur noch die Gleichheit zeigen, die ich mit Doppelgleichheitszeichen gekennzeichnet habe.
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