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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mi 19.05.2010 | | Autor: | frato |
Hallo Leute,
Wir müssen im Studium eine Doppelstunde über ein uns zugeteiltes Thema aus einem Buch ("Ebene Geometrie" von M. Koecher und A. Krieg) halten. Ich bin momentan dabei meine Stunde vorzubereiten. Jetzt hätte ich aber mal zwei Fragen (ich denke es werden noch weitere Folgen  ):
1. <c-a,c-b> = [mm] |c|^{2} [/mm] - <a+b,c> + <a,b> = |c- [mm] \bruch{1}{2}(a+b)|^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}|a-b|^{2}
[/mm]
Der erste Schritt ist mir hier schon klar. Aber wie komme ich auf das Hintere? Ich glaube ich stehe aufm Schlauch.
Und 2.In meinen Unterlagen heißt es: Die bekannte Formel [mm] sin3w=3sinw-4sin^{3}w [/mm] schreibt sich auch in der Form [mm] sin3w=4*sinw*[sin^{2}\bruch{\pi}{3} [/mm] - [mm] sin^{2}w]. [/mm] Ich kenne diese Formel nicht (zumindest denke ich das)...kann mir da jemand weiter helfen und wie komme ich auf die andere Form?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Do 20.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute,
> Wir müssen im Studium eine Doppelstunde über ein uns
> zugeteiltes Thema aus einem Buch ("Ebene Geometrie" von M.
> Koecher und A. Krieg) halten. Ich bin momentan dabei meine
> Stunde vorzubereiten. Jetzt hätte ich aber mal zwei Fragen
> (ich denke es werden noch weitere Folgen ):
>
> 1. <c-a,c-b> = [mm]|c|^{2}[/mm] - <a+b,c> + <a,b> = |c-
> [mm]\bruch{1}{2}(a+b)|^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{4}|a-b|^{2}[/mm]
>
> Der erste Schritt ist mir hier schon klar. Aber wie komme
> ich auf das Hintere? Ich glaube ich stehe aufm Schlauch.
rechne es "zurück" (von rechts nach links):
[mm] $$|c-\frac{1}{2}(a+b)|^2-\frac{1}{4}|a-b|^2=\langle c-\frac{1}{2}(a+b),\,c-\frac{1}{2}(a+b)\rangle-\frac{1}{4}\langle a-b,\,a-b\rangle=\ldots$$
[/mm]
> Und 2.In meinen Unterlagen heißt es: Die bekannte Formel
> [mm]sin3w=3sinw-4sin^{3}w[/mm] schreibt sich auch in der Form
> [mm]sin3w=4*sinw*[sin^{2}\bruch{\pi}{3}[/mm] - [mm]sin^{2}w].[/mm] Ich kenne
> diese Formel nicht (zumindest denke ich das)...kann mir da
> jemand weiter helfen und wie komme ich auf die andere
> Form?
Es ist [mm] $\sin(x)=\text{Im}(e^{ix})$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Ferner gilt
[mm] $$e^{i*(3w)}=(e^{iw})^3=(\cos(w)+i\sin(w))^3=\cos^3(w)+3\cos^2(w)*i\sin(w)+3\cos(w)(i \sin(w))^2+(i\sin(w))^3\,.$$
[/mm]
Durch weiteres ausrechnen und umsortieren nach Real- und Imaginärteil folgt
[mm] $$\text{Im}(e^{i*3w})=3\cos^2(w)\sin(w)-\sin^3(w)=\sin(w)(3\cos^2(w)-\sin^2(w))=\sin(w)(3\cos^2(w)+3\sin^2(w)-4\sin^2(w))\,,$$
[/mm]
und mit [mm] $\sin^2(w)+\cos^2(w)=|e^{iw}|^2=1$ [/mm] folgt
[mm] $$(\*)\;\;\;\sin(3w)=\text{Im}(e^{i*3w})=\sin(w)(3-4\sin^2(w))=3\sin(w)-4\sin^3(w)\,.$$
[/mm]
Um nun auch
[mm] $$\sin(3w)=4\cdot{}\sin(w)\cdot{}[\sin^{2}\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] - [mm] \sin^{2}(w)]$$
[/mm]
einzusehen, reicht es wegen
[mm] $$4\cdot{}\sin(w)\cdot{}[\sin^{2}\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] - [mm] \sin^{2}w]=4*\sin^2(\pi/3)\sin(w)-4\sin^3(w)\,,$$
[/mm]
und einem Blick in [mm] $(\*)$, [/mm] nachzuweisen, dass
[mm] $$4*\sin^2(\pi/3)=3$$
[/mm]
gilt.
Wenn man das nicht weiß, kann man sich (mit der Interpretation des Sinus bzw. Kosinus) im Einheitskreis überlegen, dass [mm] $\cos(\pi/3)=1/2$ [/mm] ist (Herleitung: betrachte ein rechtwinkliges Dreieck mit einem 60°-Winkel (entspricht Bogenmaß [mm] $\pi/3$) [/mm] und überlege Dir, dass durch Spiegelung dieses Dreiecks an der Kathete, wo der 30°-Winkel anliegt, ein gleichseitiges entsteht). Wegen [mm] $\sin^2(\pi/3)+\cos^2(\pi/3)=1$ [/mm] ist [mm] $\sin^2(\pi/3)=1-\cos^2(\pi/3)=1-(1/4)=3/4$ [/mm] und daher
[mm] $$4*\sin^2(\pi/3)=4*(3/4)=3\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Mo 24.05.2010 | | Autor: | frato |
Super! Vielen Dank!
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