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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt ex.
Skalarprodukt ex. < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Skalarprodukt ex.: richtige Skizze?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Do 11.10.2012
Autor: clemenum

Aufgabe
Seien $W$ und $W'$ zwei komplementäre Teilräume eines endlich dimensionalen reellen Vektorraum V, d.h. $V = W [mm] \oplus [/mm] W'$. Zeige, dass ein inneres Produkt auf $V$ existiert, für das [mm] $W^{\perp} [/mm] = W'$ gilt. Formuliere und beweise das Analogon für Komplexräume.


Dazu habe ich mir folgende Beweisskizze überlegt:
Seien [mm] $w\in [/mm] W, [mm] w'\in [/mm] W'$

ich definiere mir ein skalarbrodukt:
[mm] $\langle w_1 [/mm] + w'_1 , [mm] w_2 [/mm] + [mm] w'_2\rangle [/mm] := [mm] \langle w_1,w_2\rangle [/mm] + [mm] \langle w'_1,w'_2\rangle [/mm] $

(darstellung ist eindeutig für alle $v [mm] \in [/mm] V$)
das rechte ist ein beliebiges skalarprodukt
und davon rechne man nach:
1) es ist ein skalarprodunkt
2) [mm] $\langle [/mm] w,w' [mm] \rangle [/mm] = 0$ für alle $w [mm] \in [/mm] W$ und $w' [mm] \in [/mm] W'$

Für komplexe VR beachte man einfach die entsprechenden Regeln (konjugiert komplex..)

Frage:
Ist diese Skizze in Ordnung oder laufe ich einen Irrweg entlang?

        
Bezug
Skalarprodukt ex.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:55 Do 11.10.2012
Autor: fred97


> Seien [mm]W[/mm] und [mm]W'[/mm] zwei komplementäre Teilräume eines endlich
> dimensionalen reellen Vektorraum V, d.h. [mm]V = W \oplus W'[/mm].
> Zeige, dass ein inneres Produkt auf [mm]V[/mm] existiert, für das
> [mm]W^{\perp} = W'[/mm] gilt. Formuliere und beweise das Analogon
> für Komplexräume.
>  
> Dazu habe ich mir folgende Beweisskizze überlegt:
> Seien [mm]w\in W, w'\in W'[/mm]
>
> ich definiere mir ein skalarbrodukt:
>  [mm]\langle w_1 + w'_1 , w_2 + w'_2\rangle := \langle w_1,w_2\rangle + \langle w'_1,w'_2\rangle[/mm]

Nein, so geht das nicht. Wie sind denn die beiden Summanden rechts def. ???????



>  
> (darstellung ist eindeutig für alle [mm]v \in V[/mm])
>  das rechte
> ist ein beliebiges skalarprodukt
>  und davon rechne man nach:
>  1) es ist ein skalarprodunkt
>  2) [mm]\langle w,w' \rangle = 0[/mm] für alle [mm]w \in W[/mm] und [mm]w' \in W'[/mm]
>
> Für komplexe VR beachte man einfach die entsprechenden
> Regeln (konjugiert komplex..)
>  
> Frage:
> Ist diese Skizze in Ordnung oder laufe ich einen Irrweg
> entlang?  

Schau mal hier:

https://matheraum.de/read?t=916450

FRED


Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt ex.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:59 Do 11.10.2012
Autor: clemenum

Ohh, dankeschön, Fred! :-)

Das hat mir geholfen, dieser Link!

Bezug
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