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Hallo.
Könnte mal wieder Unterstützung gebrauchen.
Sei A = [mm] \pmat{ 4 & 1+i \\ 1-i & 2 } \in \IC^{2x2}. [/mm] Zu Zeigen ist, daß [mm] \gamma(u,v) [/mm] = (Au,v) ein Skalarprodukt auf [mm] \IC^2 [/mm] ist.
Fällt vielleicht einem von euch was ein?
Danke schonmal.
Lieben Gruß Katja.
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Hallo katjamaus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Allgemeine Definition
* Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum V ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform [mm] \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb \IR, [/mm] d.h. für [mm] x,y,z\in [/mm] V und [mm] \lambda\in\mathbb \IR [/mm] gelten die folgenden Bedingungen:
1. bilinear:
o [mm] \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
[/mm]
o [mm] \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
[/mm]
o [mm] \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle
[/mm]
2. symmetrisch: [mm] \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle
[/mm]
3. positiv definit: [mm] \langle x,x\rangle\geq0, [/mm] und [mm] \langle x,x\rangle=0 [/mm] nur für x = 0
* Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum V ist eine hermitesche positiv definite Sesquilinearform [mm] \langle{\cdot},{\cdot}\rangle\colon V\times V\to\mathbb \IC, [/mm] d.h. für [mm] x,y,z\in [/mm] V und [mm] \lambda\in\mathbb \IC [/mm] gelten die folgenden Bedingungen (was du prüfen sollst, um zu zeigen, dass durch [mm] \gamma:V\times V\to \IC, \gamma(u,v)= [/mm] ein (komplexes) Skalarprodukt definiert wird):
1. sesquilinear:
o [mm] \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle
[/mm]
o [mm] \langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle
[/mm]
o [mm] \langle x,\bar\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle=\langle\lambda x,y\rangle
[/mm]
2. hermitesch: [mm] \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}
[/mm]
3. positiv definit: [mm] \langle x,x\rangle\geq0, [/mm] und [mm] \langle x,x\rangle=0 [/mm] nur für x = 0.
Im komplexen Fall ließe sich das Skalarprodukt alternativ als semilinear im ersten und linear im zweiten Argument definieren; auch hier ist in der Literatur die im ersten Argument lineare Version die übliche.
Sei A = $ [mm] \pmat{ 4 & 1+i \\ 1-i & 2 } \in \IC^{2x2}. [/mm] $ Zu Zeigen ist, daß $ [mm] \gamma(u,v) [/mm] $ = (Au,v) ein Skalarprodukt auf $ [mm] \IC^2 [/mm] $ ist.
Also, seien [mm] x,y,z\in [/mm] V, [mm] \lamda\in \IC. [/mm] Versuche durch einsetzen von A zu zeigen, dass [mm] \gamme [/mm] (1.) sesquilinear, (2.) hermitesch, (3.) positiv definit ist. Merke dir, dass A konjugiert komplex [mm] A^{\*}=A^T. [/mm] Der Rest dürfte nicht mehr kompliziert sein.
gruss,
logarithmus
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