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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Skalarprodukt konstant
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Skalarprodukt konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 15.12.2014
Autor: Trikolon

Aufgabe
Es sei A: I--> [mm] \IR^{nxn} [/mm] eine stetige matrixwertige Funktion auf einem Intervall I [mm] \subset \IR. [/mm] Für t [mm] \in [/mm] I bezeichnet [mm] A(t)^T [/mm] die transponierte Matrix. zeige: Ist [mm] x_1: [/mm] I--> [mm] \IR^n [/mm] eine Lösung von x'=A(t)x und [mm] x_2 [/mm] : I --> [mm] \IR^n [/mm] eine Lösung von [mm] x'=-A(t)^T [/mm] x, so ist das Skalarprodukt [mm] [/mm] konstant.


Hallo!

Hat jemand eine Idee, wie ich obige Aufgabe lösen kann? Eventuell ein Integral ins Spiel bringen und zeigen, dass es 0 ist?

        
Bezug
Skalarprodukt konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Mo 15.12.2014
Autor: andyv

Hallo,

Leite die Funktion $ [mm] [/mm] $ ab.
Ich vermute mal, dass du eine Transposition an einer Stelle vergessen hast?

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mo 15.12.2014
Autor: Trikolon

Genau, habe das entsprechend verbessert. Aber ich verstehe nicht ganz wie ich das skalarprodukt ableiten soll?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mo 15.12.2014
Autor: andyv

Gehen wir vom kanonischen SKP aus, so ist [mm] $=x_1^Tx_2$, [/mm] das kann man bequem mit Produktregel ableiten.

Liebe Grüße

Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Mo 15.12.2014
Autor: Trikolon

Die Ableitung ist dann [mm] ((x_1)')^Tx_2+x_1^Tx_2'. [/mm] Und nun?

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Mo 15.12.2014
Autor: andyv

[mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] sind Lösungen gewisser DGL, benutze diese Information.

Liebe Grüße

Bezug
                                                
Bezug
Skalarprodukt konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Di 16.12.2014
Autor: Trikolon

Soll ich dann z.B. für [mm] x_1' [/mm]  
[mm] A(t)x_1 [/mm] einsetzen?

Bezug
                                                        
Bezug
Skalarprodukt konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Di 16.12.2014
Autor: leduart

Hallo
kannst du das nicht selbst sehen. wozu sollten die Dgl denn dienen, wenn du sie nicht verwendest?
Gruß leduart

Bezug
                                                                
Bezug
Skalarprodukt konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Di 16.12.2014
Autor: Trikolon

Dann erhalte ich [mm] (x_1)^T A(t)^T x_2 [/mm] - [mm] (x_1)^T A(t)^T x_2= [/mm] 0

Bezug
                                                                        
Bezug
Skalarprodukt konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Di 16.12.2014
Autor: fred97


> Dann erhalte ich [mm](x_1)^T A(t)^T x_2[/mm] - [mm](x_1)^T A(t)^T x_2=[/mm] 0

Ja.

FRED


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