Skalarprodukt selbstadjungiert < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Die folgenden reellen Matrizen beschreiben (bzgl. der Standardbasis)eweils einen Endomorphismus des [mm] R^2. [/mm] Kann man jeweils ein Skalarprodukt auf [mm] R^2 [/mm] so wählen, dass dieser Endomorphismus normal bzw. selbstadjungiert ist? Geben Sie gegebenenfalls ein solches an.
a) [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Eine wahrscheints einfach nur dämliche Frage aber was hat das Skalarprodukt mit dem Endomorphismus zu tun??? :-[ ... ist das nicht derart definiert, dass es zwei Elemente aus einem VR auf den ihm zugrunde liegenden Körper abbildet??? Wo kommt da der Endomorphismus ins Spiel?
Und wie finde ich dann dieses Skalarprodukt? Und zeige ob es normal bzw selbstadjungiert ist? ...
Auf dt ich habe keinen Schimmer was hier überhaupt gesucht bzw. zu tun ist.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wie lauten die Definitionen für "normal" und "selbstadjungiert" in Bezug auf Endomorphismen? Kommt das Skalarprodukt ins Spiel?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Di 15.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay also die Definition für selbstadjungiert ist:
[mm] \varphi [/mm] ist selbsadjungiert, wenn gilt:
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] <\varphi (v),w>== [/mm]
und für normal:
[mm] \varphi [/mm] ist normal, wenn gilt:
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] <\varphi (v),\varphi (w)>=<\varphi^{\*} (v),\varphi^{\*}(w)>
[/mm]
Also muss ich jeweils ein solches Skalarprodukt finden.
Also im Fall a) dass gilt:
selbstadjungiert:
< [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*(v),w>==
[/mm]
normal:
[mm] <\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*(v),\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*(w)>=<\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }*(v),\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }*(w)>
[/mm]
Wenn ich nun v,w als die Basis von [mm] \IR^2 [/mm] annehme, dann hätte ich:
selbstadjungiert:
< [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 1 }>=<\pmat{ 1 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 1 }>
[/mm]
=
[mm] <\pmat{ 1 \\ 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }*\pmat{ 0 \\ 1 }>=<\pmat{ 1 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 1 }>
[/mm]
=
[mm] <\pmat{ 1 \\ 0 }, \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 0 \\ 1 }>=<\pmat{ 1 \\ 0 }, \pmat{ 2 \\ 1 }>
[/mm]
=> wenn diese drei gleich sind ist [mm] \varphi [/mm] selbstadjungiert
normal:
[mm] <\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 },\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 0 \\ 1 }>=<\pmat{ 1 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 1 }>
[/mm]
[mm] <\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }*\pmat{ 1 \\ 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }*\pmat{ 0 \\ 1 }>=<\pmat{ 1 \\ 2 }, \pmat{ 0 \\ 1 }>
[/mm]
=> wenn diese zwei gleich sind ist [mm] \varphi [/mm] normal
Ist der Gedankengang soweit richtig? und wenn ja wie definiere ich dann ein Skalarprodukt???
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Das sieht doch schon ziemlich gut aus. Du weisst, dass man ein Skalarprodukt als positiv definite Bilinearform auffassen kann? Und eine solche lässt sich wiederum durch eine Matrix [mm]P[/mm] darstellen. Also [mm] = x^T P y [/mm]
Du musst jetzt ein geeignetes P finden und zeigen, dass es positiv definit ist - bzw. im umgekehrten Fall, dass es eben kein solches P geben kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Mi 16.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
D.h. also wieder für a)
Selbstadjungiertheit:
[mm] \pmat{ 1 & 0 }*\pmat{ p_1 & p_2 \\ p_3 & p_4 }*\pmat{ 0 \\ 1 }= \pmat{ p_1 & p_2 }*\pmat{ 0 \\ 1 }=\pmat{ p_2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 }*\pmat{ p_1 & p_2 \\ p_3 & p_4 }*\pmat{ 2 \\ 1 }= \pmat{ p_1 & p_2 }*\pmat{ 2 \\ 1 }=\pmat{ 2p_1+p_2 }
[/mm]
Damit ein Skalarprodukt vie gefordert existiert muss gelten [mm] p_2=2p_1+p_2 [/mm] also [mm] p_1=0 [/mm] und Eigenwerte von P>0.
Jetzt ist aber ja nur ein Wert der Matrix definiert... und die Eigenwerte kann ich so schlecht berechnen ... beim auspobieren habe ich immer entweder 0 und einen positiven oder einen pos und einen neg bekommen also gäbe es kein Skalarprodukt. Ich habe auch gedacht dass ich ja sagen könnte [mm] p_2 [/mm] sei 0 => Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen und damit wäre einer auf jeden Fall =0 ... geht das?
Und bei normal:
[mm] \pmat{ 1 & 0 }*\pmat{ p_1 & p_2 \\ p_3 & p_4 }*\pmat{ 0 \\ 1 }= \pmat{ p_1 & p_2 }*\pmat{ 0 \\ 1 }=\pmat{ p_2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 }*\pmat{ p_1 & p_2 \\ p_3 & p_4 }*\pmat{ 0 \\ 1 }=\pmat{ p_1 + p_2 & p_3 + 2p_4 }*\pmat{ 0 \\ 1 }=\pmat{p_3 + 2p_4 }
[/mm]
Es muss also gelten:
[mm] p_2=p_3 [/mm] + [mm] 2p_4 [/mm] und die Eigenwerte müssen >0 sein.
Wie mache ich hier weiter??? Ich habe ja noch weniger Aussagen gegeben über die Matrix.
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Prima soweit.
Zur Selbstadjungiertheit: Du hast schon [mm] p_1=0 [/mm] - was passiert, wenn du das Hauptminoren-Kriterium anwendest?
Analog bei Normalität: Hier kann man [mm] p_1>0 [/mm] wählen, damit hätte man eine Sorge weniger. Mir scheint aber, du hast einen kleinen Rechenfehler gemacht. Müsste in der zweiten Zeile nicht [mm] p_2+2p_4 [/mm] herauskommen? Dann wäre [mm] p_4=0.
[/mm]
Wie muss ich jetzt [mm] p_2 [/mm] , [mm] p_3 [/mm] wählen, damit die det(P)>0 wird?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 17.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
wenn ich das Hauptminorantenkriterum andwende kann ich dann also sagen, dass die Hauptminorante = 0 ist ... und damit nicht positiv definit => kein skalarprodukt zu definieren.
Unb bei der normalität kann ich dann sagen: [mm] p_2=(-x)p_3 x\in\IR^+ [/mm] dann ist die Determinante positiv. Und ein solches Skalarprodukt wäre beispielsweise [mm] P=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Ist das dann so korrekt?
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Also für mich klingt's gut :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
dankeschön :)
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