Skalarprodukt, unitärer VR < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (V,<.>) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und F [mm] \in [/mm] End(V) mit <F(v),v>= 0 für alle v [mm] \in [/mm] V.
Zeige: Ist V unitärer Vektorraum, so ist F die Nullabbildung. |
V sei also unitärer VR. D.h. für v [mm] \in [/mm] V ist v= a + bi
Es gilt <F(v),v>=0
also 0 = <F(a+bi), a+bi>
da F linear = <F(a) + F(bi), a+bi>
= <F(a),a> + <F(a), bi> + <F(bi), a> + <F(bi),bi)>
da <F(a),a>=0, <F(bi),bi)> = 0 laut Voraussetzung
= <F(a), bi> + <F(bi), a>
[mm] \gdw [/mm] <F(a), bi> = - <F(bi), a>
An dieser Stelle muss ich also zeigen, dass das nur gilt, wenn F die Nullabbildung ist.
Dass es gilt, wenn F die Nullabbildung ist, ist mir klar. Aber dass es nur dann gilt kann ich leider nicht zeigen.
Hat jemand eine Idee, wie ich das zeigen könnte?
Ich habe die Gleichung auch schon mehrere Male umgeformt, nach den Regeln, die es für Skalarprodukte im unitärern VR gibt, aber es hat nichts genützt.
Wäre super, wenn jemand eine Idee hat!
Viele Grüße
broergoer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 18.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Sagt Dir der Begriff "Polarisationsgleichung" etwas ?
Wie kannst Du die hermitesche Form durch die quadratische Form ausdrücken ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Mi 18.06.2008 | | Autor: | broergoer |
Hallo!
Also von der "Polarisationsgleichung" habe ich noch nie etwas gehört und wir hatten das auch mit Sicherheit noch nicht in der Vorlesung.
Ginge das damit, ja... Hmm. Da muss wohl ein anderer Weg her.
Und was meinst du mit "hermitische, bzw. quadratische Form"?
hermitisch und quadratisch, das ist mir ein Begriff.
Aber welche "Form" meinst du da?
Danke erstmal für das Interesse!
Und für die schnelle Reaktion!
Leider habe ich das erst jetzt gelesen :(
Hättest du eine Idee, wie ich es sonst zeigen kann?
Falls nicht, werde ich auch auf jeden Fall innerhalb der nächsten Woche die Lösung posten, die ich ja bis dahin von meinem Tutor bekommen werde. Nur für den Fall, dass es dich oder andere interessiert.
Viele Grüße
broergoer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Do 19.06.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei (V,<.>) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und F [mm]\in[/mm]
> End(V) mit <F(v),v>= 0 für alle v [mm]\in[/mm] V.
> Zeige: Ist V unitärer Vektorraum, so ist F die
> Nullabbildung.
> V sei also unitärer VR. D.h. für v [mm]\in[/mm] V ist v= a + bi
Nein. Das ist nicht die Definition für einen unitären VR.
Ein unitärer VR ist ein [mm]\IC[/mm]-VR mit einer positiv-definiten hermiteschen Sesquilinearform [mm]<\cdot,\cdot>:V\to\IC[/mm], d.h. es gilt:
i) [mm]<\lambda x + \mu y, z>=\lambda + \mu[/mm] für alle x,y,z
ii) [mm]=\overline{}[/mm] für alle x,y
iii) [mm]\ \ge 0[/mm] und [mm]=0\Leftrightarrow x=0[/mm] für alle x
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> > Sei (V,<.>) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und F [mm]\in[/mm]
> > End(V) mit <F(v),v>= 0 für alle v [mm]\in[/mm] V.
> > Zeige: Ist V unitärer Vektorraum, so ist F die
> > Nullabbildung.
> > V sei also unitärer VR. D.h. für v [mm]\in[/mm] V ist v= a + bi
> Nein. Das ist nicht die Definition für einen unitären VR.
> Ein unitärer VR ist ein [mm]\IC[/mm]-VR mit einer positiv-definiten
> hermiteschen Sesquilinearform [mm]<\cdot,\cdot>:V\to\IC[/mm], d.h.
> es gilt:
>
> i) [mm]<\lambda x + \mu y, z>=\lambda + \mu[/mm] für
> alle x,y,z
> ii) [mm]=\overline{}[/mm] für alle x,y
> iii) [mm]\ \ge 0[/mm] und [mm]=0\Leftrightarrow x=0[/mm] für alle
> x
>
Das dass nicht die Definition ist, ist mir schon bewusst. Ich wollte an dieser Stelle nur den Vektor v aus V als Kombination von Realteil (a) + Imaginärteil (b) ausdrücken, um später bei der Rechnung alles auseinander nehmen zu können.
Tut mir Leid, wenn das so rüberkam, als wäre dies meine Definition. Das war nur eine Folgerung, weil V ja in dem Fall ein Vektorraum über [mm] \IC [/mm] ist.
Viele Grüße
Cathi
Ach und an der Lösung bastel ich gleich doch nochmal mit der Polarisierung rum, aber ich denke ich werde dann zu müde sein, um das auch noch zu posten. Kommt aber in den nächsten Tagen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Do 19.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > > Sei (V,<.>) ein Vektorraum mit Skalarprodukt und F [mm]\in[/mm]
> > > End(V) mit <F(v),v>= 0 für alle v [mm]\in[/mm] V.
> > > Zeige: Ist V unitärer Vektorraum, so ist F die
> > > Nullabbildung.
> > > V sei also unitärer VR. D.h. für v [mm]\in[/mm] V ist v= a +
> bi
>
>
> > Nein. Das ist nicht die Definition für einen unitären VR.
> > Ein unitärer VR ist ein [mm]\IC[/mm]-VR mit einer
> positiv-definiten
> > hermiteschen Sesquilinearform [mm]<\cdot,\cdot>:V\to\IC[/mm], d.h.
> > es gilt:
> >
> > i) [mm]<\lambda x + \mu y, z>=\lambda + \mu[/mm] für
> > alle x,y,z
> > ii) [mm]=\overline{}[/mm] für alle x,y
> > iii) [mm]\ \ge 0[/mm] und [mm]=0\Leftrightarrow x=0[/mm] für
> alle
> > x
> >
>
> Das dass nicht die Definition ist, ist mir schon bewusst.
> Ich wollte an dieser Stelle nur den Vektor v aus V als
> Kombination von Realteil (a) + Imaginärteil (b) ausdrücken,
> um später bei der Rechnung alles auseinander nehmen zu
> können.
> Tut mir Leid, wenn das so rüberkam, als wäre dies meine
> Definition. Das war nur eine Folgerung, weil V ja in dem
> Fall ein Vektorraum über [mm]\IC[/mm] ist.
So eine Zerlegung musst du aber trotzdem erstmal definieren (nimm z.B. den [mm] \IC-VR [/mm] aller Funktionen [mm] \IC\to\IC. [/mm] Ich seh hier so spontan keine kanonische Zerlegung).
Ausserdem brauchst du sie hier absolut nicht (auch aus dem Grund, dass du hier in der Linearen Algebra bist, und nicht in der Analysis) - sie macht die ganze Sache sogar wesentlich komplizierter als sie ist.
>
> Viele Grüße
>
> Cathi
>
> Ach und an der Lösung bastel ich gleich doch nochmal mit
> der Polarisierung rum, aber ich denke ich werde dann zu
> müde sein, um das auch noch zu posten. Kommt aber in den
> nächsten Tagen.
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Hmm... aber wenn ich das nicht mache, dann fallen doch nicht so viele Therme weg?
Außerdem, ist es nicht so, dass sich ein Vektor aus C immer durch a + bi ausdrücken lässt, mit a,b in R?
Ich muss jetzt ins Bett.
Gute Nacht :)
Und danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Do 19.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hmm... aber wenn ich das nicht mache, dann fallen doch
> nicht so viele Therme weg?
Ist es denn leichter geworden dadurch? Es sind zwar Terme weggefallen, aber du hast ja auch durch das Zerlegen welche erstmal hinzugefügt am Anfang.
> Außerdem, ist es nicht so, dass sich ein Vektor aus C
> immer durch a + bi ausdrücken lässt, mit a,b in R?
Ich kann mir vorstellen, dass man so ein Zerlegung immer definieren kann.
> Ich muss jetzt ins Bett.
> Gute Nacht :)
Gute Nacht.
>
> Und danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Fr 20.06.2008 | | Autor: | broergoer |
So eine "Zerlegung" hat man immer, weil ein Vektor aus C nun mal aus einem Realteil und einem Imaginärteil besteht.
Ich poste die Lösung innerhalb der nächsten Woche. Muss die Ergebnisse abwarten, habe keine eigene Lösung.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ein Vektor aus V ist aber keine komplexe Zahl die du einfach so in a+bi mit [mm] a,b\in\IR [/mm] zelegen kannst.
Ich meinte bisher immer eine Zerlegung in a+bi mit [mm] a,b\in [/mm] V. Das was ganz anderes als du bisher machen wolltest, denn deine Zerlegung ist falsch (z.B. betrache wie gesagt den [mm] \IC-VR [/mm] aller Funktionen [mm] \IC\to\IC. [/mm] Wie willste eine Funktion davon in a+bi zerlegen mit [mm] a,b\in\IR [/mm] ???).
Und das posten der Musterlösung kannste dir sparen... ich kenn sie doch schon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Sa 21.06.2008 | | Autor: | broergoer |
Hmmm... Ja mit dem Funktionenbeispiel hast du wohl Recht.
Also wenn die Lösung nicht so lang ist und du ein bisschen Zeit hast, könntest du sie dann bitte posten?
Ich hab sie nämlich nicht...
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