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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mo 26.03.2007 | | Autor: | anitram |
| Aufgabe | | Ist U ein echter Untervektorraum von [mm] K^n [/mm] und v aus [mm] K^n\U, [/mm] so gibt es ein z aus [mm] K^n [/mm] mit <u,z> =0 für alle u aus U und <v,z> [mm] \not= [/mm] 0 |
guten nachmittag!
ich hab so probiert diese aufgabe zu lösen:
[mm] {u_{\lambda}} [/mm] ist Basis von U, also [mm] {u_{\lambda}} \cup [/mm] {z} linear unabhängig und erweiterbar zu einer Basis von [mm] K^n.
[/mm]
Dann gibt es einen Satz der besagt, dass es dann eben 2 Skalarprodukte gibt nämlich
<u,z> =0 und <v,z> [mm] \not= [/mm] 0.
Mach ich es mir mal wieder zu einfach, oder ist das der ganze zauber??
bin dankbar für eure tipps!!
vielen dank!
lg anitram
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> Ist U ein echter Untervektorraum von [mm]K^n[/mm] und v aus [mm]K^n \ U,[/mm]
> so gibt es ein z aus [mm]K^n[/mm] mit <u,z> =0 für alle u aus U und
> <v,z> [mm]\not=[/mm] 0
> guten nachmittag!
>
> ich hab so probiert diese aufgabe zu lösen:
>
> [mm]{u_{\lambda}}[/mm] ist Basis von U, also [mm]{u_{\lambda}} \cup[/mm] {z}
> linear unabhängig und erweiterbar zu einer Basis von [mm]K^n.[/mm]
Hallo,
da sind richtige Gedanken drin, nur ist es noch nicht so ganz ausgegoren.
Immer wenn da etwas steht von Skalarprodukt =0, sollten die Alarmglocken klingeln. Man kann dan in der Regel anfangen, irgendetwas Orthogonales zu suchen.
So auch hier...
Man weiß, daß jeder endl. dimensionale Vektorraum ein ONB hat, ebenso gibt es einen Satz, welcher besagt, daß man die ONB eines Unterraumes zu einer ONB des Vektorraumes erweitern kann.
Nimm Dir also eine ONB [mm] (u_1,...u_m] [/mm] von U, erweitere sie durch [mm] (u_{m+1},...,u_n) [/mm] zu einer ONB von [mm] K^n.
[/mm]
Nun überleg Dir mal folgendes: wenn Du irgendein Element aus U mit irgendeinem Element aus [mm] [/mm] skalarmultiplizierst, was kommt da raus?
Nun soll v ein beliebiger Vektor aus [mm] K^n [/mm] \ U sein.
Wie sieht er aus?
Wie mußt Du Dein z bauen, damit [mm] \not= [/mm] 0?
> Dann gibt es einen Satz der besagt, dass es dann eben 2
> Skalarprodukte gibt nämlich
> <u,z> =0 und <v,z> [mm]\not=[/mm] 0.
Das verstehe ich überhaupWie lautet der genau? Welche zwei Skalarprodukte?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Mi 28.03.2007 | | Autor: | anitram |
hallo angela!
zuerste einmal danke für deine tipps!
> Nun überleg Dir mal folgendes: wenn Du irgendein Element
> aus U mit irgendeinem Element aus [mm][/mm]
> skalarmultiplizierst, was kommt da raus?
ich schätze dann doch, dass da 0 herauskommt?
>
> Wie mußt Du Dein z bauen, damit [mm]\not=[/mm] 0?
z muss dann also nicht orthogonal sein oder?
>
> Das verstehe ich überhaupWie lautet der genau? Welche zwei
> Skalarprodukte?
>
der satz lautet so:
ist F ein echter unterraum des vektorraumes E und liegt y nicht in F, so gibt es eine Linearform f auf E, die in allen Punkten von F verschwindet und in y den Wert 1 annimmt.
und den beweis von diesem satz habe ich sozusagen kopiert, also umgeschrieben.
und dachte das passt dann....
vielleicht kannst du mir noch einmal deine gedanken dazu schreiben?
vielen dank schon mal!
lg anitram
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Mi 28.03.2007 | | Autor: | SEcki |
> der satz lautet so:
> ist F ein echter unterraum des vektorraumes E und liegt y
> nicht in F, so gibt es eine Linearform f auf E, die in
> allen Punkten von F verschwindet und in y den Wert 1
> annimmt.
Weisst du auch das im endlich-dim. die Abbildung [m]V\to V^\star, v\mapsto (x \mapsto )[/m] ein Isomorphismus ist? Nimm doch mal jetzt das eindeutige Urbild unter dieser Abbildung von f - tadaaa!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 29.03.2007 | | Autor: | anitram |
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> Weisst du auch das im endlich-dim. die Abbildung [m]V\to V^\star, v\mapsto (x \mapsto )[/m]
> ein Isomorphismus ist? Nimm doch mal jetzt das eindeutige
> Urbild unter dieser Abbildung von f - tadaaa!
hallo secki!
kann sein, dass ich im moment ein bisschen zu dumm bin deinen letzten satz zu verstehen (der sinn ist mir nicht ganz klar...)
das eindeutige urbild unter dieser abbildung von f
hmmm... ich hab leider nicht mal den hauch einer ahnung was das bedeuten soll...
kannst du mir das bitte noch einmal ein bisschen genauer erklären?
vielen dank!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 29.03.2007 | | Autor: | SEcki |
> das eindeutige urbild unter dieser abbildung von f
> hmmm... ich hab leider nicht mal den hauch einer ahnung
> was das bedeuten soll...
Na, unter einer Bijektion das Urbild der Linearform f ...
> kannst du mir das bitte noch einmal ein bisschen genauer
> erklären?
Sie [m]\phi[/m] mein obiger Isomorphismus und f die von dir beschriebene Linearform, dann sei [m]v:=\phi(f)[/m], das heisst es gilt dann [m]f(x)=[/m].
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Do 29.03.2007 | | Autor: | anitram |
ok! jetzt ist es klar!
vielen dank!
lg anitram
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