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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Di 21.12.2004 | | Autor: | Logan |
Hallo Leute,
ich habe wiedereinmal Probleme bei der Lösung einiger Aufgaben und hoffe, dass ihr mir behilflich sein könnt.
Aufgabe 1: Bei der Herleitung von Satz 5 (siehe unten) setzten wir stillscheiweigend voraus, dass die Vektoren [mm] \vec{v}[/mm] und [mm]\vec{u}[/mm] weder orthogonal noch parallel sind. gilt die Formel auch in den ausgeschlossenen Fällen?
Sazt 5: [mm]\vec{u} \* \vec{v} = \left | u \right | * \left | v \right | cos \alpha[/mm]
Wie kann ich das überprüfen, ob die Formel auch für die ausgeschlossenen Fälle gilt?
Aufgabe 2: Was bedeutet es geometrisch, wenn für Vektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec {v}[/mm] gilt: [mm]\vec{u} \* \vec{v} = \left | u \right | * \left | v \right |[/mm]
Das bedeutet doch eigentlich folgendes:
Das Produkt der Beträge zweier Vektoren ist gleich dem Skalarprodukt zweier Vektoren?
Jedoch ist das nicht umbedingt eine geometrische Begründung.
Aufgabe 6: Gegeben ist ein Vektor z.B. [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
Berechne seinen Richtungsunterschie [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} [/mm] zu den Koordinatenachsen.
Welche Zahlen wähle ich hier für die Koordinatenachsen?
Logan
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Also euer "Satz" 5 ist eigentlich ne Definition; so wird eigentlich das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert.
Die Formel [mm]\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3[/mm] ergibt sich dann aus dieser Definition.
Falls ihr schon vorher hattet, dass [mm]\vec{a} \cdot \vec{b} = 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\vec{a}[/mm] senkrecht [mm]\vec{b}[/mm], dann führt das schon auf Aufgabe 1:
der Fall "senkrecht" heißt ja, dass [mm]\alpha=90°[/mm], und dann ist der cos =0.
Also ist der Fall "senkrecht" auch mit dabei.
Wenn sie parallel sind, dann gilt [mm]\alpha=0°[/mm], und somit [mm]cos(0°)=1[/mm], und somit [mm]\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|[/mm].
Bei "antiparallel" ist [mm]\alpha=180°[/mm], und somit [mm]cos(180°)=-1[/mm].
Aufgabe 2: siehe Aufgabe 1. Dann sind sie parallel (und zwar in die gleiche Richtung zeigend; parallel mit "in verschiedene Richtungen zeigend" heißt auch "antiparallel").
Aufgabe 6: sorry, mit dem Begriff "Richtungsunterschied" kann ich nicht viel anfangen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:38 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan!
> ich habe wiedereinmal Probleme bei der Lösung einiger
> Aufgaben und hoffe, dass ihr mir behilflich sein
> könnt.
>
> Aufgabe 1: Bei der Herleitung von Satz 5 (siehe unten)
> setzten wir stillscheiweigend voraus, dass die Vektoren
> [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{u}[/mm] weder orthogonal noch parallel sind.
> gilt die Formel auch in den ausgeschlossenen Fällen?
>
> Sazt 5: [mm]\vec{u} \* \vec{v} = \left | u \right | * \left | v \right | cos \alpha[/mm]
>
>
> Wie kann ich das überprüfen, ob die Formel auch für die
> ausgeschlossenen Fälle gilt?
Das dürfte jetzt klar sein.
> Aufgabe 2: Was bedeutet es geometrisch, wenn für Vektoren
> [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\vec {v}[/mm] gilt: [mm]\vec{u} \* \vec{v} = \left | u \right | * \left | v \right |[/mm]
>
>
> Das bedeutet doch eigentlich folgendes:
>
> Das Produkt der Beträge zweier Vektoren ist gleich dem
> Skalarprodukt zweier Vektoren?
>
> Jedoch ist das nicht umbedingt eine geometrische
> Begründung.
Damit ist wohl Satz 4 gemeint
Es ergibt ja durch Vergleich der beiden Formeln, dass [mm] $\cos\alpha=1$ [/mm] gilt. Und das ist wiederum für [mm] $\alpha=0°$ [/mm] der Fall, was bedeutet, dass die Vektoren parallel sind und ein positives Vielfaches voneinander sind (also gleiche Orientierung haben).
> Aufgabe 6: Gegeben ist ein Vektor z.B. [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Berechne seinen Richtungsunterschie [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}[/mm]
> zu den Koordinatenachsen.
Da ja [mm] $\alpha_1$ [/mm] Winkel sind, nehme ich an, dass hier der Winkel zwischen dem gegebenen Vektor und dem jeweiligen Richtungsvektor der Koordinatenachsen gesucht ist.
Die [mm] $x_1$-Achse [/mm] hat die Parameterform [mm] $x_1: \vec x=r*\vektor{1\\0\\0}$, [/mm] also den Richtungsvektor [mm] $\vektor{1\\0\\0}$.
[/mm]
> Welche Zahlen wähle ich hier für die Koordinatenachsen?
Du setzt also [mm] $u:=\vektor{2\\1\\4}$ [/mm] und [mm] $v:=\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] in die obigen Formel ein.
Viele Grüße,
Marc
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