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Skalarproduktdefinition Wieso?: Herleitung
Status: (Question) answered Status 
Date: 00:37 Sa 15/12/2018
Author: gregorMath

hallo!

hat man zwei vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] im [mm] \IR^{2}, [/mm] kann man mit hilfe des kosinussatz den winkel berechnen, welche die beiden vektoren umschließen.

formt man etwas um kommt man zu dem ergebnis:


[mm] \bruch{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=cos(\gamma) [/mm]

Jetzt kamen einige schlaue mathematiker auf die idee und haben festgelegt das wenn man vektoren miteinander multipliziert folgendes gelten soll:

[mm] \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} [/mm] = [mm] a_{1} b_{1} [/mm] + [mm] a_{2} b_{2} [/mm]


Ich weiss nicht wieso es sinnvoll das skalarprodukt so zu definieren und wieso wir dann einfach so mit dieser definition weiter arbeiten können.

beispielsweise kann man die formel der projektion von vektoren herleiten, wenn man die definition des skalarprodukts nimmt, jedoch sagt mir niemand wieso das sinnvoll ist, wieso das korrekt ist und wieso das erlaubt ist.

ich hoffe ihr könnt mir da weiter helfen

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=589333]

        
Bezug
Skalarproduktdefinition Wieso?: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:52 Sa 15/12/2018
Author: Al-Chwarizmi

In der Mathematik steht es einem grundsätzlich frei, für bestimmte Zwecke neue Definitionen einzuführen und dann zu benützen.
Wichtig ist dabei in erster Linie, dass die Definition klar und eindeutig beschrieben wird (wie das in der Mathematik generell üblich ist) und insbesondere nicht widersprüchlich ist.
Niemand kann einem also verwehren, dem aus zwei Vektoren [mm] $\vec [/mm] {a}$ und [mm] $\vec{b}$ [/mm]  gebildeten Wert  [mm] $\summe_{i=1}^{n} a_i \cdot b_i$ [/mm]  eine spezielle Notation zu widmen und dabei von dem "Skalarprodukt" der beiden Vektoren zu sprechen.
Dass man in diesem speziellen Fall dann von einem "Produkt" spricht, hat gute Gründe, denn algebraisch gesehen hat dieser Ausdruck im Raum der n-Vektoren tatsächlich gewisse Eigenschaften, welche denen des gewöhnlichen Produkts im (eindimensionalen) Raum der reellen Zahlen gleichen  (Beispiele: Kommutativität, Distributivgesetz; allerdings gibt es für das Skalarprodukt etwa keine "Eins", denn dies ist schon aus formalen Gründen unmöglich).
Dass dieses Skalarprodukt geometrisch gesehen mit dem Cosinuswert des zwischen den Vektoren eingeschlossenen Winkel zu tun hat, hast du schon richtig angegeben. Dies kann man geometrisch zeigen, wenn man einfach von der Komponenten-Definition des Skalarprodukts ausgeht und dann die euklidische Geometrie im Raum [mm] $\IR^n$ [/mm] inkl. Trigonometrie anwendet.
Der Weg von da aus zum "Projektionssatz", in welchem das Skalarprodukt auch vorkommt, ist dann eine relativ leichte Übungsaufgabe.



LG,  Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Skalarproduktdefinition Wieso?: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 17:37 Sa 15/12/2018
Author: gregorMath

mir ist das immer noch nicht klar.

ich nehme vektoren, addiere diese und es ist klar vektor + vektor = vektor.

ich nehme jetzt zwei vektoren, multipliziere diese und eine zahl kommt raus.
alle mathematiker der welt sagen dass die art wie ich die vektormultiplikation definiert habe ist logisch und gut.
vorallem wieso das mathematisch okay ist.

meine haubtsächliche frage ist wie wurde die vektormultiplikation motiviert, dass man dieses als skalar auffassen kann?

Bezug
                        
Bezug
Skalarproduktdefinition Wieso?: andere Produkte mit Vektoren
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:32 Sa 15/12/2018
Author: Al-Chwarizmi

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> mir ist das immer noch nicht klar.
>  
> ich nehme vektoren, addiere diese und es ist klar vektor +
> vektor = vektor.
>  
> ich nehme jetzt zwei vektoren, multipliziere diese und eine
> zahl kommt raus.
>  alle mathematiker der welt sagen dass die art wie ich die
> vektormultiplikation definiert habe ist logisch und gut.
>  vorallem wieso das mathematisch okay ist.
>  
> meine haubtsächliche frage ist wie wurde die
> vektormultiplikation motiviert, dass man dieses als skalar
> auffassen kann?


Guten Abend !

Es gibt für Vektoren noch weitere Operationen, die man ebenfalls als "Multiplikationen" unterschiedlicher Art betrachten kann.

Zuerst wäre da die einfache "Streckmultiplikation", welche einen gegebenen Vektor mit einem Zahlenfaktor streckt.
Beispiel:   Wenn etwa  $\vec{a}\,=\, \pmat{4\\-3}$ , dann ist  $\ 5\cdot \vec{a}\,=\, \pmat{20\\-15}$
Dies ist sehr leicht zu erklären:
  
      $\ 5\cdot \vec{a}\,=\, \underbrace{\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}}_{5\  {Summanden}$

Diese Streckmultiplikation hat also die Form  "Zahl \cdot Vektor = Vektor".

Eine weitere Art der Multiplikation (für die man zur Unterscheidung als Multiplikationszeichen ein Kreuz benützt) hat die Form  "Vektor \times Vektor = Vektor". Hier spricht man vom vektoriellen Produkt oder auch "Kreuzprodukt" zweier gegebener Vektoren. Auch diese Operation teilt gewisse Eigenschaften mit jenen der Multiplikation von Zahlen (ist aber z.B. nicht kommutativ und hat auch keine Eins) und hat interessante geometrische Eigenschaften im Raum $\IR^3$ , die man in der analytischen Geometrie gut gebrauchen kann.

Die Einführung des Skalarprodukts ("Punktprodukt") der Form "Vektor \cdot Vektor = Skalar", das du zuerst angesprochen hast, wird einfach dadurch motiviert, dass es erlaubt, wichtige Berechnungen (wie eben etwa Winkelberechnung und Projektion eines Vektors auf einen anderen) elegant darzustellen und damit einiges an Gehirnschmalz einzusparen.

Man sollte allerdings nicht gerade so weit gehen, zu behaupten, "in der Mathematik heilige der Zweck die Mittel", aber doch etwa dies:
  
Eine Definition erweist sich dann als sinnvoll und nützlich, wenn sie bei (möglichst vielen) Anwendungen erlaubt, gewisse Überlegungen und Berechnungen zu vereinfachen bzw. übersichtlicher darzustellen als ohne diese Definition.

LG ,    Al-Chwarizmi

Bezug
        
Bezug
Skalarproduktdefinition Wieso?: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:10 Sa 15/12/2018
Author: HJKweseleit


> hallo!
>  
> hat man zwei vektoren [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{b}[/mm] im [mm]\IR^{2},[/mm] kann man mit hilfe des
> kosinussatz den winkel berechnen, welche die beiden
> vektoren umschließen.
>  
> formt man etwas um kommt man zu dem ergebnis:
>  
>
> [mm]\bruch{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=cos(\gamma)[/mm]
>  
> Jetzt kamen einige schlaue mathematiker auf die idee und
> haben festgelegt das wenn man vektoren miteinander
> multipliziert folgendes gelten soll:
>  
> [mm]\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}[/mm] = [mm]a_{1} b_{1}[/mm] + [mm]a_{2} b_{2}[/mm]
>  
>
> Ich weiss nicht wieso es sinnvoll das skalarprodukt so zu
> definieren und wieso wir dann einfach so mit dieser
> definition weiter arbeiten können.

[mm]\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}[/mm] ist einfach nur eine Abkürzung für [mm]a_{1} b_{1}[/mm] + [mm]a_{2} b_{2}[/mm], genau so, wie  [mm]\overrightarrow{a} [/mm] eine Abkürzung für [mm] \vektor{a_1 \\ a_2} [/mm] bzw [mm] \vektor{a_1 \\ a_2\\a_3} [/mm] ist.

Falls dir allerdings nicht klar ist, wie man [mm]\bruch{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=cos(\gamma)[/mm] aus dem Kosinussatz herleitet, frag noch mal nach.

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