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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | | Für welche Werte [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist durch [mm] =<\vektor{x1 \\ x2},\vektor{y1 \\ y2}> [/mm] = x1y1 + [mm] \alpha [/mm] x1y2 + [mm] \alpha [/mm] x2y1 + 7x2y2 ein Skalarprodukt auf [mm] \IR [/mm] ²definiert? |
kann mir jemand einen tipp geben wie man auf die alphas kommt?
wir haben in unserem skript ein ähnliches beispiel nur leider ohne erklärung mit den "Vorzahlen" 1,5,5,26...weiß aber leider auch garnicht mehr wie wir da draufkamen :(
bin für jede hilfe dankbar!!
lg tamara
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Hallo tmili,
> Für welche Werte [mm]\alpha \in \IR[/mm] ist durch
> [mm]=<\vektor{x1 \\ x2},\vektor{y1 \\ y2}>[/mm] = x1y1 +
> [mm]\alpha[/mm] x1y2 + [mm]\alpha[/mm] x2y1 + 7x2y2 ein Skalarprodukt auf [mm]\IR[/mm]
> ²definiert?
> kann mir jemand einen tipp geben wie man auf die alphas
> kommt?
> wir haben in unserem skript ein ähnliches beispiel nur
> leider ohne erklärung mit den "Vorzahlen" 1,5,5,26...weiß
> aber leider auch garnicht mehr wie wir da draufkamen :(
> bin für jede hilfe dankbar!!
Nun, das Skalarprodukt muss positiv definit sein, d.h.
[mm]=<\vektor{x1 \\ x2},\vektor{x1 \\ x2}> = x1*x1 +
\alpha x1*x2 + \alpha x2*x1 + 7*x2*x2 \ge 0[/mm]
Das Skalarprodukt ist dann nun nur dann 0, wenn [mm]\pmat{x1 \\ x2}=\pmat{0 \\ 0}[/mm].
Alternativ kannst Du die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{1 & \alpha \\ \alpha & 7}[/mm]
berechnen.
Diese Eigenwerte müssen alle positiv sein.
> lg tamara
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
also irgendwie versteh ich nur bahnhof..sorry :(
warum hast du jetzt <x,x> genommen statt <x,y> und wie soll ich auf das [mm] \alpha [/mm] kommen wenn ich von dieser matrix eigenwerte ausrechne?
oh man semesterferien sind was ganz ganz schlimmes^^ mein kopf ist wie gelöscht...
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Hallo tmili,
> also irgendwie versteh ich nur bahnhof..sorry :(
> warum hast du jetzt <x,x> genommen statt <x,y> und wie
Weil das das Betragsquadrat eines Vektors ist,
und dieser Betrag muss größer gleich Null sein.
> soll ich auf das [mm]\alpha[/mm] kommen wenn ich von dieser matrix
> eigenwerte ausrechne?
Die Eigenwerte sind abhängig von [mm]\alpha[/mm]
Dann weisst Du, daß diese Eigenwerte positiv sein müssen.
Hieraus ergibt sich eine Bedingung an das [mm]\alpha[/mm].
> oh man semesterferien sind was ganz ganz schlimmes^^ mein
> kopf ist wie gelöscht...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
ok das klingt einleuchtend :)
schonmal danke...nur beim ausrechnen der eigenwerte bin ich dann auf das nächste problem gestoßen :(
-> durch das nullsetzen des charakteristischen polynoms kam ich auf folgende zeile :
[mm] \lambda²-8\lambda [/mm] + 7- [mm] \alpha²=0
[/mm]
und dann durch die mitternachtsformel auf folgende zwei eigenwerte:
[mm] \lambda1/2= (8\pm \wurzel {36+\alpha²})/2
[/mm]
und dann durch das größer null setzen komm ich auf die bedingungen dass [mm] \alpha [/mm] einmal größer und einmal kleiner [mm] \wurzel{28} [/mm] sein müssen...
da kann was nicht stimmen..wär liebe wenn du nochmal drüber schaust!
vielen dank!!
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Hallo tmili,
> ok das klingt einleuchtend :)
> schonmal danke...nur beim ausrechnen der eigenwerte bin
> ich dann auf das nächste problem gestoßen :(
>
> -> durch das nullsetzen des charakteristischen polynoms kam
> ich auf folgende zeile :
> [mm]\lambda²-8\lambda[/mm] + 7- [mm]\alpha²=0[/mm]
> und dann durch die mitternachtsformel auf folgende zwei
> eigenwerte:
> [mm]\lambda1/2= (8\pm \wurzel {36+\alpha²})/2[/mm]
Nach der Mitternachtsformel ergibt sich doch:
[mm]\lambda_{1,2}=\bruch{-\left(-8\right)\pm\wurzel{\left(-8\right)^{2}-4*\left(7-\alpha^{2}\right)}}{2}[/mm]
Demnach:
[mm]\lambda_{1,2}=\bruch{8\pm\wurzel{64-28+4*\alpha^{2}}}{2}=\bruch{8\pm\wurzel{36+\red{4}*\alpha^{2}}}{2}[/mm]
Daher hast Du unter der Wurzel einen Faktor 4 beim [mm] [mm[\apha^{2}[/mm] [/mm] vergessen.
> und dann durch
> das größer null setzen komm ich auf die bedingungen dass
> [mm]\alpha[/mm] einmal größer und einmal kleiner [mm]\wurzel{28}[/mm] sein
> müssen...
> da kann was nicht stimmen..wär liebe wenn du nochmal
> drüber schaust!
> vielen dank!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
autsch stimmt natürlich..danke :)
jetzt hab ich dann für [mm] \alpha [/mm] einmal größer und einmal kleiner 7 heraus..heißt das dann, dass es für [mm] \alpha=7 [/mm] ein skalarprodukt ist?
liebe grüße
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Hallo tmili,
> autsch stimmt natürlich..danke :)
> jetzt hab ich dann für [mm]\alpha[/mm] einmal größer und einmal
> kleiner 7 heraus..heißt das dann, dass es für [mm]\alpha=7[/mm]
Rechne das mal nach, und prüfe die Eigenwerte für [mm]\alpha > 7[/mm]
> ein skalarprodukt ist?
Nein, das heisst es nicht.
> liebe grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
hey ich hoffe ich bringe dich nicht noch auf die palme heute abend!
was soll ich nachrechnen? und soll ich [mm] \alpha>7 [/mm] in die Eigenwerte einsetzen? oh man ich fühl mich grad echt heilos überfordert :(
wäre lieb, wenn du mir nochmal helfen würdest!!
liebe grüße
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Hallo tmili,
> hey ich hoffe ich bringe dich nicht noch auf die palme
> heute abend!
> was soll ich nachrechnen? und soll ich [mm]\alpha>7[/mm] in die
> Eigenwerte einsetzen? oh man ich fühl mich grad echt
Ein beliebiges [mm]\alpha > 7[/mm] in die Formeln
für die Eigenwerte einsetzten und auf größer 0 überprüfen.
> heilos überfordert :(
> wäre lieb, wenn du mir nochmal helfen würdest!!
> liebe grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
oh kann das sein, dass ich mich schon wieder verrechnet habe^^
da kommt beim auflösen doch raus [mm] \alpha [/mm] größer bzw kleiner [mm] \wurzel{7}...was [/mm] den hauptkonflikt bei mir nur leider auch nicht ändert :(
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Hallo tmili,
> oh kann das sein, dass ich mich schon wieder verrechnet
> habe^^
> da kommt beim auflösen doch raus [mm]\alpha[/mm] größer bzw
> kleiner [mm]\wurzel{7}...was[/mm] den hauptkonflikt bei mir nur
> leider auch nicht ändert :(
Es kann nur eine Bedinung erfüllt werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
nochmal kurz zu meiner mitteilung...wenn man [mm] \lambda1 [/mm] = [mm] (8+\wurzel{36+4\alpha²})/2>0 [/mm] auflöst kommt für [mm] \alpha>\wurzel{7} [/mm] raus.
also hab ich jetzt dein tipp ausgeführt und einmal für [mm] \alpha [/mm] größer und einmal für kleiner [mm] \wurzel{7} [/mm] in die zwei eigenwerte eingesetzt und siehe da, es sind nur beide größer null bei [mm] \alpha [/mm] < [mm] \wurzel [/mm] {7} :)
stimmt das?
vielen lieben dank im vorraus!!
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Hallo tmili,
> nochmal kurz zu meiner mitteilung...wenn man [mm]\lambda1[/mm] =
> [mm](8+\wurzel{36+4\alpha²})/2>0[/mm] auflöst kommt für
> [mm]\alpha>\wurzel{7}[/mm] raus.
> also hab ich jetzt dein tipp ausgeführt und einmal für
> [mm]\alpha[/mm] größer und einmal für kleiner [mm]\wurzel{7}[/mm] in die
> zwei eigenwerte eingesetzt und siehe da, es sind nur beide
> größer null bei [mm]\alpha[/mm] < [mm]\wurzel[/mm] {7} :)
> stimmt das?
Es gibt zwei Eigenwerte:
[mm]\lambda_{1}=\bruch{8-\wurzel{36+4\alpha^{2}}}{2}[/mm]
[mm]\lambda_{2}=\bruch{8+\wurzel{36+4\alpha^{2}}}{2}[/mm]
Setze [mm]\alpha > \wurzel{7}[/mm] in [mm]\lambda_{1}[/mm] ein.
Wähle hier z.B [mm]\alpha=3[/mm].
> vielen lieben dank im vorraus!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
ja genau das gleiche beispiel habe ich auch gerechnet mit [mm] \alpha=3...dann [/mm] ist der erste eigenwert jedoch kleiner null, was also heißt, dass diese bedingung für [mm] \alpha [/mm] nicht stimmen kann.
durch das nullsetzen des anderen eigenwertes habe ich ja aber auch noch die bedingung, dass [mm] \alpha<\wurzel{7} [/mm] sein soll und wenn man da als beispiel [mm] \alpha=2 [/mm] in beide eigenwerte einsetzt, dann sind beide positiv...was ja richtig wäre..nur verwirrend finde ich, dass ich dann in einen eigenwert ein [mm] \alpha [/mm] einsetze was ich durchs nullsetzen schon ausgeschlossen habe :(
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Hallo tmili.
> ja genau das gleiche beispiel habe ich auch gerechnet mit
> [mm]\alpha=3...dann[/mm] ist der erste eigenwert jedoch kleiner
> null, was also heißt, dass diese bedingung für [mm]\alpha[/mm]
> nicht stimmen kann.
> durch das nullsetzen des anderen eigenwertes habe ich ja
> aber auch noch die bedingung, dass [mm]\alpha<\wurzel{7}[/mm] sein
> soll und wenn man da als beispiel [mm]\alpha=2[/mm] in beide
> eigenwerte einsetzt, dann sind beide positiv...was ja
> richtig wäre..nur verwirrend finde ich, dass ich dann in
> einen eigenwert ein [mm]\alpha[/mm] einsetze was ich durchs
> nullsetzen schon ausgeschlossen habe :(
Das habe ich Dich nur machen lassen,
um Dir zu zeigen, daß nur eine Bedingung zu trifft.
Nach den obigen Ausführungen ist nur
die Bedingung [mm]\vmat{\alpha} < \wurzel{7}[/mm] richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 13.04.2011 | | Autor: | tmili |
ja nach den rechnungen ist mir das auch ersichtlich :)
aber verwirrend finde ich immer noch warum ich in einen eigenwert bei dem durch nullsetzen die bedingung rauskam dass [mm] \alpha>\wurzel{7} [/mm] sein muss, das gegenteilige einsetzen muss.
meine letzte frage für heute abend - dann hast du deine ruhe ;) - ist jetzt noch warum du den betrag von [mm] \alpha [/mm] nimmst für die lösung..also [mm] |\alpha|>\wurzel{7} [/mm] und nicht nur [mm] \alpha>\wurzel{7}?
[/mm]
wünsche dir noch einen schönen abend und vielen lieben dank für deine hilfe!
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Hallo tmili,
> ja nach den rechnungen ist mir das auch ersichtlich :)
> aber verwirrend finde ich immer noch warum ich in einen
> eigenwert bei dem durch nullsetzen die bedingung rauskam
> dass [mm]\alpha>\wurzel{7}[/mm] sein muss, das gegenteilige
> einsetzen muss.
> meine letzte frage für heute abend - dann hast du deine
> ruhe ;) - ist jetzt noch warum du den betrag von [mm]\alpha[/mm]
> nimmst für die lösung..also [mm]|\alpha|>\wurzel{7}[/mm] und nicht
> nur [mm]\alpha>\wurzel{7}?[/mm]
Die Bedingung lautet doch zunächst so: [mm]\alpha^{2} < 7[/mm]
Zieht man hier die Wurzel, und beachtet, daß die Wurzel aus
einer positvien reellen Zahl per Definition stets positiv ist,
so ergibt sich:
[mm]\wurzel{\alpha^{2}}=\vmat{\alpha}[/mm]
> wünsche dir noch einen schönen abend und vielen lieben
Danke, gleichfalls.
> dank für deine hilfe!
Gruss
MathePower
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