Skatspiel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Zusammen!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
| Aufgabe | Drei Spieler spielen Skat. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
a) Spieler A erhält alle vier Buben.
b) Irgendein Spieler erhält alle vier Buben.
c) Spieler A erhält mindestens ein As.
d) Es liegen ein Bube und ein As im Skat. |
Ich dachte zuerst, daß ich wenigstens a) und b) richtig gerechnet habe, war mir dann aber nicht sicher. Also habe ich ein ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") kleines Programm geschrieben, welches 537 Skatspiele simuliert (-- jedenfalls wenn ich's richtig programmiert habe --) und die absoluten Häufigkeiten für a) - d) herausfindet. Die stochastischen Daten für das Programm habe ich von der Seite ![[]](/images/popup.gif) www.random.org bekommen, und etwas aufbereitet. Im Programm habe ich die Zahlen 1,...,4 für den Kartentyp 'Bube' und 5,...,8 für den Kartentyp As festgelegt. Läßt man es dann laufen, erhält man aus den gegenwärtigen Daten folgende relative Häufigkeiten:
zu a): [mm]\approx 0.005[/mm]
zu b): [mm]\approx 0.022[/mm]
zu c): [mm]\approx 0.812[/mm]
zu d): [mm]\approx 0.028[/mm]
Na ja, und das stimmt halt nicht mit meinen Lösungsversuchen überein. Also:
zu a)
Die Anzahl aller Möglichkeiten aus 32 Karten ohne Wiederholung und ohne Zurücklegen 10 zu wählen ist:
[mm]\binom{32}{10}[/mm]
Das wären dann alle möglichen Ereignisse. Und jetzt brauche ich noch die für mich günstigen Ereignisse. Und da hatten wir in der Vorlesung folgendes Beispiel:
Lotto (6 aus 49)
Beim Lotto werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Für das Ereignis
[mm]A = \texttt{genau }k\texttt{ Richtige getippt}[/mm]
gilt
[mm]P(A) = \frac{\binom{6}{k}\binom{43}{6-k}}{\binom{49}{6}}[/mm]
Jedenfalls dachte ich, daß dasselbe auch fürs Skatspiel gilt:
[mm]P(A) = \frac{\binom{10}{4}\binom{22}{6}}{\binom{32}{10}} \approx 0.243[/mm]
Allerdings ist das schon ein großer Unterschied zur relativen Häufigkeit. Mir ist dann aufgefallen, daß von allen Zahlen, die ich bei meiner Rechnung so benutze, der Kehrwert der Zahl [mm]\binom{10}{4}[/mm] ungefähr die relative Häufigkeit liefert. Gilt also vielleicht:
[mm]P(A) = \frac{1}{\binom{10}{4}}?[/mm]
Aber was wäre hier die richtige Überlegung, vorrausgesetzt das stimmt? Und wieso sind die restlichen Karten (im Gegensatz zur obigen Rechnung) hier nicht mit einbezogen. Hier wird doch offenbar nur mit Karten gerechnet, die ich schon gezogen habe, oder? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
zu b)
Ich dachte mir, daß ich hier 3 gleichwahrscheinliche aber unabhängige Ereignisse habe. Entweder erhält Spieler 1 4 Buben, oder Spieler 2, oder Spieler 3. Also gilt für das gesuchte Ereignis [mm]G[/mm]:
[mm]P(G) = 3\cdot{0.005} = 0.015[/mm]
Das aber ist etwas kleiner als die relative Häufigkeit. Also habe ich etwas nicht beachtet?
Bei c) und d) fehlen mir leider Ansätze. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Ich wäre jedenfalls froh, wenn man mir da Tipps geben könnte.
Liebe Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: zip) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Karl,
> zu a)
>
>
> Die Anzahl aller Möglichkeiten aus 32 Karten ohne
> Wiederholung und ohne Zurücklegen 10 zu wählen ist:
>
>
> [mm]\binom{32}{10}[/mm]
>
>
> Das wären dann alle möglichen Ereignisse. Und jetzt brauche
> ich noch die für mich günstigen Ereignisse. Und da hatten
> wir in der Vorlesung folgendes Beispiel:
>
>
> Lotto (6 aus 49)
>
> Beim Lotto werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne
> Beachtung der Reihenfolge gezogen. Für das Ereignis
>
>
> [mm]A = \texttt{genau }k\texttt{ Richtige getippt}[/mm]
>
>
> gilt
>
>
> [mm]P(A) = \frac{\binom{6}{k}\binom{43}{6-k}}{\binom{49}{6}}[/mm]
>
>
> Jedenfalls dachte ich, daß dasselbe auch fürs Skatspiel
> gilt:
>
>
> [mm]P(A) = \frac{\binom{10}{4}\binom{22}{6}}{\binom{32}{10}} \approx 0.243[/mm]
Der Vergleich mit dem Lotto hinkt weil beim Lottospielen egal ist welche der 6 Zahlen die 3 richtigen sind. Hier will man aber genau die 4 Buben haben. Die günstigen Möglichkeiten bekommt mn indem man sagt. Die restlichen 6 Karten sind egal. Man kann also aus den 28 restlichen 6 auswählen.
> zu b)
>
>
> Ich dachte mir, daß ich hier 3 gleichwahrscheinliche aber
> unabhängige Ereignisse habe. Entweder erhält Spieler 1 4
> Buben, oder Spieler 2, oder Spieler 3. Also gilt für das
> gesuchte Ereignis [mm]G[/mm]:
>
>
> [mm]P(G) = 3\cdot{0.005} = 0.015[/mm]
>
>
> Das aber ist etwas kleiner als die relative Häufigkeit.
> Also habe ich etwas nicht beachtet?
Die Ereignisse sind nicht ganz unabhängig. Wenn Spieler A die Buben hat hat Sie Spieler B nicht oder?
Hier fehlt mir aber auch gerade die Idee.
> Bei c) und d) fehlen mir leider Ansätze. Ich
> wäre jedenfalls froh, wenn man mir da Tipps geben könnte.
c)
Würde ich über das Gegenereignis "kein Ass" probieren.
d)
Dies würde ich wieder über günstige Ereignisse durch mögliche Ereignisse lösen. Aus 32 Karten 2 ziehen und die günstigen Fälle kann man imho durchzählen.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo mathemaduenn,
> > zu a)
> >
> >
> > Die Anzahl aller Möglichkeiten aus 32 Karten ohne
> > Wiederholung und ohne Zurücklegen 10 zu wählen ist:
> >
> >
> > [mm]\binom{32}{10}[/mm]
> >
> >
> > Das wären dann alle möglichen Ereignisse. Und jetzt brauche
> > ich noch die für mich günstigen Ereignisse.
> Der Vergleich mit dem Lotto hinkt weil beim Lottospielen
> egal ist welche der 6 Zahlen die 3 richtigen sind. Hier
> will man aber genau die 4 Buben haben.
> Die günstigen
> Möglichkeiten bekommt mn indem man sagt. Die restlichen 6
> Karten sind egal. Man kann also aus den 28 restlichen 6
> auswählen.
Das leuchtet ein. Das wäre dann also:
[mm]P(A) = \frac{\binom{28}{6}}{\binom{32}{10}}[/mm]
Alle günstigen Möglichkeiten wären hier also solche, wo ich bereits die 4 richtigen Karten gezogen habe, quasi "fest in der Hand halte". Ok, und deshalb betrachte ich nur noch alle Möglichkeiten, wo ich aus den falschen Karten noch meine restlichen 6 Karten bekommen kann. Also ich denke, ich versteh's jetzt, und es stimmt auch sehr schön mit der relativen Häufigkeit überein.
> > zu b)
> >
> >
> > Ich dachte mir, daß ich hier 3 gleichwahrscheinliche aber
> > unabhängige Ereignisse habe. Entweder erhält Spieler 1 4
> > Buben, oder Spieler 2, oder Spieler 3. Also gilt für das
> > gesuchte Ereignis [mm]G[/mm]:
> >
> >
> > [mm]P(G) = 3\cdot{0.005} = 0.015[/mm]
> >
> >
> > Das aber ist etwas kleiner als die relative Häufigkeit.
> > Also habe ich etwas nicht beachtet?
> Die Ereignisse sind nicht ganz unabhängig. Wenn Spieler A
> die Buben hat hat Sie Spieler B nicht oder?
> Hier fehlt mir aber auch gerade die Idee.
Also hier ist mir noch nicht ganz klar, wieso diese Ereignisse nicht ganz unabhängig sind. Meine Überlegung war ja bloß, daß ich ja im Grunde für jeden Spieler bei a) dieselbe Überlegung anstelle. Und deshalb habe ich mit 3 multipliziert. Irgendwie stimmt das aber nicht.
> > Bei c) und d) fehlen mir leider Ansätze. Ich
> > wäre jedenfalls froh, wenn man mir da Tipps geben könnte.
> c)
> Würde ich über das Gegenereignis "kein Ass" probieren.
Ich habe jetzt übrigens noch eine Datenreihe ausgewertet (618 Spiele) und komme dann auf eine etwas niedrigere rel. Häufigkeit von 0.798. Also "kein Ass" bedeutet: Ich wähle mir aus den restlichen 28 Karten, die keine Asse beinhalten, 10 Karten aus. Da dies ja ein Gegenereignis war, erhalten wir damit:
[mm]P(C) = 1-\frac{\binom{28}{10}}{\binom{32}{10}} \approx 0.7965[/mm]
Also ich würde sagen, das stimmt, denn das Ergebnis ist ja jetzt sogar empirisch untermauert! 
> d)
> Dies würde ich wieder über günstige Ereignisse durch
> mögliche Ereignisse lösen. Aus 32 Karten 2 ziehen und die
> günstigen Fälle kann man imho durchzählen.
Also ich denke mal, das wäre dann
[mm]P(D) = \frac{4\cdot{4}}{\binom{32}{2}} \approx 0.032[/mm]
richtig? (Jedenfalls ist es nicht so weit von der relativen Häufigkeit entfernt.  )
Viele Grüße
Karl
[P.S. Bei einer weiteren Datenreihe mit 936 Spielen ist die rel. Häufigkeit bei b) bereits 0.0085.]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 15.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]P(A) = \frac{\binom{28}{6}}{\binom{32}{10}}[/mm]
Ja.
> Alle günstigen Möglichkeiten wären hier also solche, wo ich
> bereits die 4 richtigen Karten gezogen habe, quasi "fest in
> der Hand halte". Ok, und deshalb betrachte ich nur noch
> alle Möglichkeiten, wo ich aus den falschen Karten noch
> meine restlichen 6 Karten bekommen kann. Also ich denke,
> ich versteh's jetzt, und es stimmt auch sehr schön mit der
> relativen Häufigkeit überein.
Übung für dich: wie hoch ist die w'keit das ein Spieler 3 buben erhält?
> Also hier ist mir noch nicht ganz klar, wieso diese
> Ereignisse nicht ganz unabhängig sind.
Das ist trivial - sie sind stochastisch offenbar nicht unabhängig. Dazu setze einfach in die Definition von dieser ein, und betrachte das die Ereignisse selber disjunkt sind, vgl. unten.
> Meine Überlegung war
> ja bloß, daß ich ja im Grunde für jeden Spieler bei a)
> dieselbe Überlegung anstelle. Und deshalb habe ich mit 3
> multipliziert. Irgendwie stimmt das aber nicht.
Es stimmt aber. Sei [m]A_i=\{\mbox{Der i-te Spieler bekommt 4 Buben}\}[/m] Dann sind diese Ereignisse disjunkt. (Also die Mengen im ereignisraum, die diesen ereignissen zugeordnet werden, sind offenbar paarweise verschieden). Desweitere ist das Ereignis B, das ein Spieler alle 4 buben bekommt, offenbar die Vereinigung obiger Menge, also [m]P(B)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)[/m].
> Also ich würde sagen, das stimmt, denn das Ergebnis ist ja
> jetzt sogar empirisch untermauert!
Der Weg ist richtig, empirisch untermauert mit den paar Auswertungen würde ich nicht sagen. Warum lässt du das nicht mit 100000 Händen durchlaufen? Man braucht dafür auch keine echten Zufallszahlen, die vom Computer genereirten r"schlechten" eichen da aus
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 15.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> welches 537 Skatspiele simuliert (-- jedenfalls wenn ich's
imo viel zu wenig, ich lasse mein Perl Programm gerade mit einer Million Mischungen laufen für a) und b)
> zu a): [mm]\approx 0.005[/mm]
Theoretischer Wert: 0.005839822024
Empirische Werte: 0.005887 0.005925 0.005788
> zu b): [mm]\approx 0.022[/mm]
Theoretischer Wert: 0.01751946607
Empirischer Wert: 0.0176
Ziemlich nah dran.
SEcki
|
|
|
|
