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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Skizziere die komplexe Menge
Skizziere die komplexe Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Skizziere die komplexe Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Di 27.11.2018
Autor: Paivren

Hi zusammen,

stehe etwas auf dem Schlauch:

Wie würde man die Menge der komplexen Zahlen z (außer 0) zeichnen, für die gilt, dass [mm] Re(\bruch{1}{z})\le [/mm] 5 ist?

Also die Zahlen [mm] \bruch{1}{z} [/mm] liefern quasi die gesamte linke Halbebene + der Teil der rechten Halbebene, dessen Realteil kleiner 5 ist.
Aber was passiert bei Kehwertbildung?

Gruß
Paivren

        
Bezug
Skizziere die komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 27.11.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie würde man die Menge der komplexen Zahlen z (außer 0)
> zeichnen, für die gilt, dass [mm]Re(\bruch{1}{z})\le[/mm] 5 ist?


Hallo Paivren

Mein Tipp:

Setze  z:= x + i y

und stelle den Kehrwert  1/z  ebenfalls in der Form  u + i v
(mit reellen u, v) dar.

Dann geht es nur noch darum, in der x-y-Ebene den Bereich
darzustellen, in welchem die Ungleichung  $\ u(x,y)\ [mm] \le\ [/mm] 5$  gilt.

Für diesen Teil betrachtest du dann wohl am besten zunächst
einmal die Kurve, die sich aus der Gleichung  $\ u(x,y)\ =\ 5$  ergibt.
Stichwort: Kreisgleichung .....

LG ,   Al-Chw.



Bezug
        
Bezug
Skizziere die komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Di 27.11.2018
Autor: fred97

Ergänzend zu Al:

wenn ich die Bezeichnungen von Al übernehme, komme ich auf u(x,y) [mm] \le [/mm] 5.

Diese Ungleichung liefert [mm] x^2+y^2 \ge [/mm] blablablubber....

Wie lautet blablablubber ?

Jetzt ist quadratische Ergänzung angesagt.

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Bezug
Skizziere die komplexe Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 27.11.2018
Autor: Paivren

Hallo Leute,

danke für die wertvollen Tipps!

z=x+iy -> [mm] \bruch{1}{z}= \bruch{x}{x^{2}+y^{2}} [/mm] - [mm] i\bruch{y}{x^{2}+y^{2}} [/mm]

Also
[mm] \bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \le [/mm] 5
[mm] \gdw x^{2}-\bruch{1}{5}x+y^{2}\ge0 [/mm]
[mm] \gdw (x-\bruch{1}{10})^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100} [/mm]

Das ist ein um 1/10 vom Urpsrung nach rechts verschobener Kreis dessen Radius größer als 1/100 sein muss. Das heißt, ich muss die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme des Inneren dieses Kreises zeichnen (und 0). Richtig?


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Bezug
Skizziere die komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Di 27.11.2018
Autor: fred97


> Hallo Leute,
>  
> danke für die wertvollen Tipps!
>  
> z=x+iy -> [mm]\bruch{1}{z}= \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}[/mm] -
> [mm]i\bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>  
> Also
>   [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 5
>  [mm]\gdw x^{2}-\bruch{1}{5}x+y^{2}\ge0[/mm]
>  [mm]\gdw (x-\bruch{1}{10})^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100}[/mm]
>  
> Das ist ein um 1/10 vom Urpsrung nach rechts verschobener
> Kreis dessen Radius größer als 1/100 sein muss. Das
> heißt, ich muss die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme des
> Inneren dieses Kreises zeichnen (und 0). Richtig?

Fast. Obige Ungleichung beschreibt das Aussere des Kreises mit  Radius 1/10.

>  


Bezug
                                
Bezug
Skizziere die komplexe Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Di 27.11.2018
Autor: Al-Chwarizmi


>  Fast. Obige Ungleichung beschreibt das Aussere des Kreises mit  Radius 1/10.


Fast. Denn fast die gesamte Kreislinie selbst gehört ebenfalls
noch zur Lösungsmenge. Zur Lösungsmenge der letzten
angegebenen Ungleichung

       $\ [mm] \left(x-\bruch{1}{10}\right)^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100} [/mm] $

würde sogar die gesamte Kreislinie (inklusive Punkt  z=0)  gehören.

Gruß ,   Al
  

Bezug
                        
Bezug
Skizziere die komplexe Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 27.11.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Leute,
>  
> danke für die wertvollen Tipps!
>  
> z=x+iy -> [mm]\bruch{1}{z}= \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}\ -\ i\ \bruch{y}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>  
> Also
>   [mm]\bruch{x}{x^{2}+y^{2}} \le[/mm] 5
>  [mm]\gdw x^{2}-\bruch{1}{5}x+y^{2}\ge0[/mm]
>  [mm]\gdw (x-\bruch{1}{10})^{2}+y^{2} \ge \bruch{1}{100}[/mm]
>  
> Das ist ein um 1/10 vom Urpsrung nach rechts verschobener
> Kreis dessen Radius größer als 1/100 sein muss. Das
> heißt, ich muss die ganze komplexe Ebene mit Ausnahme des
> Inneren dieses Kreises zeichnen (und 0). Richtig?


Der Randkreis des Lösungsgebietes hat nicht den Radius [mm] $\frac{1}{100}$ [/mm] ,
sondern [mm] $\frac{1}{10}$ [/mm] . Dieser Kreis verläuft also durch den
Koordinatennullpunkt des komplexen Koordinatensystems.

Dieser Punkt  (z=0)  gehört selber nicht zum Lösungsgebiet, da
1/0  auch in [mm] $\IC$ [/mm]  nicht definiert ist. Der gesamte Rest des
Kreises zusammen mit dessen Äußerem bildet das Lösungsgebiet.

LG ,    Al-Chw.  

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Skizziere die komplexe Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:18 Di 27.11.2018
Autor: Paivren

Vielen Dank Leute,

klar, 1/100 war [mm] r^{2} [/mm] und nicht r.

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