matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-NumerikSkizzieren einer Menge
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Numerik" - Skizzieren einer Menge
Skizzieren einer Menge < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Skizzieren einer Menge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 So 18.11.2018
Autor: Belserich

Aufgabe
Gegeben sei die Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 4 } [/mm]
Skizzieren Sie die Menge [mm] \left \{ Ax \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \} [/mm]

Hallo,
ich tu mich momentan etwas schwer damit zu begreifen, was genau meine Aufgabe ist. Unter "skizzieren" kann man ja Vieles verstehen. Da die Matrix 2-dimensional ist stellt sich die Frage ob etwa eine grafischen Darstellung gefordert ist, oder ob ich einfach einen allgemeinen Vektor x angeben soll, für den die obige Bedingung gilt oder gar beides. Ich habe damit begonnen einen allgemeinen Term aufzustellen, für den die Bedingung der Mengenbeschreibung immer wahr ist, nämlich:

$Ax = A [mm] \frac{u}{\left\|u\right\|}$ [/mm]

Nach meinem Verständnis könnte man die rechte Seite jetzt auch schon als "Skizze" interpretieren, da sie die Mengenbeschreibung in anschaulicherer Form präsentiert.
Meine Fragen sind nun folgende: Gibt es etwas wie eine allgemeine Bedeutung fürs "skizzieren" im Kontext einer solchen Aufgabe oder ist das echt reine Interpretationssache? ist meine Formel richtig? Muss ich diese für eine akzeptable "Skizze" noch weiter vereinfachen oder evtl. in eine andere Form überführen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Skizzieren einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 So 18.11.2018
Autor: leduart

Hallo
ich denke schon, dass du allgemein zeigen solltest, was aus einem Vektor auf dem Einheitskreis, also [mm] (cos(/\phi),sin(\phi)) [/mm] wird.  wie wird er gedreht, wie verlängert.
|x|=1 als u/|u| schreiben ist ja gegenüber A*x mit |x|=1 keine Skizze einer Menge. eigentlich sollst du wohl zeigen, was aus dem Kreis wird. Wenn deine Darstellung das wirklich "anschaulich" machte müsste du ja die Menge "sehen"

Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Skizzieren einer Menge: Rückfrage und Bemerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 So 18.11.2018
Autor: meili

Hallo Belserich

und [willkommenmr]

> Gegeben sei die Matrix
>  A = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 4 }[/mm]
>  Skizzieren Sie die Menge
> [mm]\left \{ Ax \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \}[/mm]

Ist A eine reelle Matrix und x aus [mm] $\IR^2$? [/mm]

Wenn mit [mm] $\left\|x\right\|_1$ [/mm] die []Summennorm gemeint ist, ist [mm] $\left \{ x \in \IR^2 \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \}$ [/mm] kein Kreis
sondern der Rand eines Quadrates mit den Eckpunkten (1;0), (0;1), (-1;0),(0;-1).

Und auf welche Figur wird das durch A abgebildet?

>  
> Hallo,
>  ich tu mich momentan etwas schwer damit zu begreifen, was
> genau meine Aufgabe ist. Unter "skizzieren" kann man ja
> Vieles verstehen. Da die Matrix 2-dimensional ist stellt
> sich die Frage ob etwa eine grafischen Darstellung
> gefordert ist, oder ob ich einfach einen allgemeinen Vektor
> x angeben soll, für den die obige Bedingung gilt oder gar
> beides. Ich habe damit begonnen einen allgemeinen Term
> aufzustellen, für den die Bedingung der Mengenbeschreibung
> immer wahr ist, nämlich:
>  
> [mm]Ax = A \frac{u}{\left\|u\right\|}[/mm]
>  
> Nach meinem Verständnis könnte man die rechte Seite jetzt
> auch schon als "Skizze" interpretieren, da sie die
> Mengenbeschreibung in anschaulicherer Form präsentiert.
> Meine Fragen sind nun folgende: Gibt es etwas wie eine
> allgemeine Bedeutung fürs "skizzieren" im Kontext einer
> solchen Aufgabe oder ist das echt reine
> Interpretationssache? ist meine Formel richtig? Muss ich
> diese für eine akzeptable "Skizze" noch weiter
> vereinfachen oder evtl. in eine andere Form überführen?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Skizzieren einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 18.11.2018
Autor: Belserich

Vielen Dank erstmal für die beiden Antworten!
Ich habe das was leduard geschrieben hat leider auch nach mehrmaligem Lesen nicht verstanden, doch es wurde sehr viel klarer nach meili's Antwort.

Hier also meine Ergebnisse: [mm] x_1=(0,1), x_2=(-1,0), x_3=(0,-1) [/mm] und [mm] x_4=(0,1) [/mm] sind jene Vektoren der gegebenen Menge, für die der Betrag von genau einer Komponente maximal ist [mm] (\left\|x_i\right\|_1=1), [/mm] sie bilden die Eckpunkte der geometrischen Form meiner Skizze. Für die Werte u auf der Geraden, die zwei benachbarte Eckpunkte verbindet gilt ebenfalls [mm] \left\|u\right\|_1=1, [/mm] da sie aus Linearinterpolation zwischen den entsprechenden Punkten entstanden sind und somit ihre Komponenten verhältnisgleich bleiben. Veranschaulichen wir die Menge in einem kartesischen Koordinatensystem entspricht ihr Bild dem Rand eines, um 45 Grad rotierten Quadrats. Transformieren wir nun die Eckpunkte und sämtliche Werte u durch die lineare Transformationsmatrix A, wird unser Quadratrand skaliert und geschert. Unser Quadrat ist nun lediglich ein Parallelogramm.

Klingt das schlüssig?

Bezug
                        
Bezug
Skizzieren einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Mo 19.11.2018
Autor: fred97


> Vielen Dank erstmal für die beiden Antworten!
>  Ich habe das was leduard geschrieben hat leider auch nach
> mehrmaligem Lesen nicht verstanden, doch es wurde sehr viel
> klarer nach meili's Antwort.
>
> Hier also meine Ergebnisse: [mm]x_1=(0,1), x_2=(-1,0), x_3=(0,-1)[/mm]
> und [mm]x_4=(0,1)[/mm] sind jene Vektoren der gegebenen Menge, für
> die der Betrag von genau einer Komponente maximal ist
> [mm](\left\|x_i\right\|_1=1),[/mm] sie bilden die Eckpunkte der
> geometrischen Form meiner Skizze. Für die Werte u auf der
> Geraden, die zwei benachbarte Eckpunkte verbindet gilt
> ebenfalls [mm]\left\|u\right\|_1=1,[/mm] da sie aus
> Linearinterpolation zwischen den entsprechenden Punkten
> entstanden sind und somit ihre Komponenten
> verhältnisgleich bleiben. Veranschaulichen wir die Menge
> in einem kartesischen Koordinatensystem entspricht ihr Bild
> dem Rand eines, um 45 Grad rotierten Quadrats.
> Transformieren wir nun die Eckpunkte und sämtliche Werte u
> durch die lineare Transformationsmatrix A, wird unser
> Quadratrand skaliert und geschert. Unser Quadrat ist nun
> lediglich ein Parallelogramm.
>  
> Klingt das schlüssig?

Ja, was sind die Eckpunkte dieses  Parallelogramms ?


Bezug
                        
Bezug
Skizzieren einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mo 19.11.2018
Autor: HJKweseleit


> Gegeben sei die Matrix
>  A = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ -2 & 4 }[/mm]
>  Skizzieren Sie die Menge
> [mm]\left \{ Ax \ \middle | \ \left\|x\right\|_1 = 1 \right \}[/mm]
>  

Laut Wikipedia ist [mm] \left\|x\right\|_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i|. [/mm] Dann wären die 2-dim. Vektoren [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] mit [mm] \left\|x\right\|_1 [/mm] = 1 diejenigen, für die gilt:

x+y=1 oder
x-y=1 oder
-x+y=1 oder
-x-y=1, also von der Form

[mm] \vektor{x \\ 1-x}, \vektor{x \\ -1+x}, \vektor{x \\ 1+x}, \vektor{x \\ -1-x} [/mm]
und somit nicht die Ecken eines Quadrates, sondern - als Ortsvektoren aufgefasst -  Geraden mit den Gleichungen

[mm] g_1: \vec{x}= \vektor{0 \\ 1}+x\vektor{1 \\ -1} [/mm]

[mm] g_2: \vec{x}= \vektor{0 \\ -1}+x\vektor{1 \\ 1} [/mm]

[mm] g_3: \vec{x}= \vektor{0 \\ 1}+x\vektor{1 \\ 1} [/mm]

[mm] g_4: \vec{x}= \vektor{0 \\ -1}+x\vektor{1 \\ -1} [/mm]

wobei diese Geraden paarweise parallel sind und sich  paarweise in (1|0) bzw. (1|1) bzw. (1|0), (0|1), (-1|0) und  (0|-1) schneiden, wobei sie ein Quadrat begrenzen.

Diese Geraden kannst du nun der Multiplikation mit A unterwerfen und so 4 Bildgeraden finden. Sind die auch paarweise parallel? Begrenzen sie auch ein Quadrat? (hier reicht es, A mit den 4 o.a. Schnittpunkten zu multiplizieren.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 13h 28m 9. matux MR Agent
UStoc/Kombinatorik Beispiele
Status vor 15h 04m 2. Gonozal_IX
UAnaR1FolgReih/Reihen
Status vor 17h 26m 1. nkln
ZahlTheo/multivariante Polynome Nullste
Status vor 1d 22h 28m 4. matux MR Agent
OpRe/Simplexalgorithmus
Status vor 1d 23h 04m 5. asg
ULinAMat/Beweis von Kern
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]